Obiettivi

Raggiungere una conoscenza avanzata sui metodi e risultati del calcolo delle variazioni.

Contenuti sintetici

  • Il problema dell'esistenza di una soluzione. Il metodo diretto. Le superfici minime nel caso non-parametrico.
  • Le condizioni necessarie.
  • La regolarità delle soluzioni.
  • Collegamenti con il problema del controllo ottimo.

Programma esteso

  • Problemi di minimo senza soluzioni.
  • Il fenomeno di Lavrentiev. L'esempio di Manià.
  • Topologia debole. Il Lemma di De la Vallé Poussin. Il Lemma di mazur.
  • Il metodo diretto. Esistenza di soluzioni per funzionali dipendenti da x e dal gradiente.
  • Il teorema di Lusin; il teorema di Severini-Egorov. Il teorema di Scorza Dragoni.
  • Esistenza di soluzioni nel caso generale.
  • Equazione di Eulero-Lagrange. Validità nel caso di crescita p.
  • Validità nel caso di crescita generale.
  • Mancanza di Differenziabilità.
  • Il teorema di rappresentazione di Riesz generalizzato. Applicazione del teorema di Hahn-Banach per la dimostrazione dell'equazione di Eulero-Lagrange senza differenziabilità.
  •  Problema dell'area minima, esistenza e non-esistenza.
  • Teoremi di confronto. Sovrasoluzioni. Proprietà della funzione distanza dal bordo. Costruzione di una sovrasoluzione per il problema dell'area minima.
  • Spazi di Sobolev; esistenza di derivate deboli e proprietà del rapporto incrementale.
  • Regolarità delle soluzioni, esistenza delle derivate seconde deboli Il caso di crescita quadratica.
  • Regolarità per crescita p con p>2.
  • Problemi di controllo
  • Il principio del massimo di Pontriagin, dimostrazione nel caso del problema di Bolza con condizioni finali libere.
  • Confronto tra il principio di massimo e l'equazione di Eulero-Lagrange generalizzata.
  • Il problema del tempo minimo. Esempi di soluzioni.

Prerequisiti

Basi di Analisi matematica e di analisi funzionale lineare.

Modalità didattica

Lezioni frontali.

Materiale didattico

Note dell'insegnante.

Periodo di erogazione dell'insegnamento

Secondo semestre.

Modalità di verifica del profitto e valutazione

Esame orale. Si richiedono le dimostrazioni dei teoremi presentati a lezione.

Orario di ricevimento

A richiesta.

Aims

To reach and advanced knowledge on methods and results of the Calculus of Variations.

Contents

  • The problem of the existence of a solution. The Direct Method. The non-parametric minimal surface problem.
  • Necessary conditions.
  • Regularity of solutions.
  • Connections with  optimal control.

Detailed program

  • Minimization problems without solutions.
  • Lavrentiev's phenomenon.
  • The example of Manià.
  • Weak topology: The lemma of De la Vallèe Poussin. Mazur's lemma
  • The Direct Method. Existence of solutions for functional depending on x and on the gradient.
  • Lusin's Thoerem. Severini-Egorov's Theorem. The theorem of Scorza Dragoni.
  • Existence of solutions in the general case.
  • The Euler-lagrange equation; its validity for p-growth.
  • Validity in the case of general growth.
  • The lack of differentiability.
  • Riesz's representation thorem in a general case. Application of Hahn-Banach theorem  to prove the validity of the Euler-lagrange equation
  •  in the general case.
  • The non-parametric minimal surface problem. Existence and non-existence of solutions.
  • Comparison results. properties of the function distance to the boundary.
  • Supersolutions; construction of a supersolution for the non-parametric minimal surface problem.
  • Sobolev spaces: relation between the existence of weak derivatives and the properties of the differential quotient.
  • Regularity: the existence of weak second derivatives in the quadratic case.
  • regularity in case of pgrowth with p>2.
  • Control problems; the pontriagin Maximum pèrinciple
  • Its proof for bolza problems with free right-end conditions.
  • Comparison between the Pontriagin maximum principle and the Euler-lagrange equation.
  • The minimal time problem. Examples of problems solved.

Prerequisites

Basic Analysis and linear functional analysis.

Teaching form

Lectures.

Textbook and teaching resource

Notes.

Semester

Second semester.

Assessment method

Oral exam. Proofs of the results presented in class will be requested.

Office hours

On demand.