Course Syllabus
Obiettivi
Il Corso si pone come obiettivo l’apprendimento di concetti, metodi e di modelli per la fisica dei solidi cristallini, perfetti ed infiniti. A tal fine, una prima parte del Corso è dedicata alla trattazione di quei fenomeni più semplicemente descrivibili in termini di particelle non interagenti, con particolare attenzione alle tecniche di calcolo delle grandezze macroscopiche, sulla base di variabili microscopiche. La seconda analizza invece quei fenomeni più complessi, originati dalla interazione tra particelle, che danno luogo a rilevanti proprietà macroscopiche dei solidi perfetti ed infiniti. In questa fase viene posta l’attenzione sulla comprensione di concetti poco intuitivi e sulla linea ideale del ragionamento, privilegiando - anche qui - il carattere metodologico rispetto a quello antologico. La complementazione di un Testo principale con diversi altri, a seconda dell’argomento, costituisce parte importante dell’insegnamento metodologico, che questo Corso della Laurea Magistrale intende dispensare.
Contenuti sintetici
Prima parte
BREVE RASSEGNA DELLE STRUTTURE CRISTALLINE E RETICOLI DI BRAVAIS
DINAMICA RETICOLARE IN TRE DIMENSIONI
PROPRIETA' TERMICHE DEI SOLIDI NELL' APPROCCIO ARMONICO ED ANARMONICO
GAS DI ELETTRONI LIBERO ED INDIPENDENTI
FONDAMENTI E CALCOLO DELLE BANDE ELETTRONICHE
TRASPORTO DI CARICA IN METALLI
PARAMAGNETISMO E DIAMAGNETISMO; LIVELLI DI LANDAU
Seconda parte
CALCOLO DELLE BANDE ELETTRONICHE CON METODI DA PRINCIPI PRIMI
SCREENING ELETTRONICO ED ENERGIE STRUTTURALI NEI METALLI
FERROMAGNETISMO ITINERANTE E PER SPIN LOCALIZZATI
LA SUPERCONDUTTIVITÀ E LA TEORIA DI BCS
Programma esteso
STRUTTURE CRISTALLINE E DIFFRAZIONE
_ Brevi richiami di reticolo diretto.
_ Costruzione di reticolo reciproco e zona di Brillouin di un fcc e di un bcc; calcolo della distanza tra Γ e W in silicio.
DINAMICA RETICOLARE
_ Matrice delle costanti di forza e sue simmetrie
_ Matrice dinamica ed equazioni di moto
_ Costruzione e diagonalizzazione matrice dinamica per fcc monoatomico: autovalori e displacement patterns
_ Catena lineare biatomica
_ Curve di dispersione di cristalli reali
_ Scattering inelastico di radiazione
_ Misura della dispersione da scattering neutronico
PROPRIETÀ TERMICHE
_ Dai modi normali ai fononi come quasiparticelle
_ Densità di stati vibrazionali
_ Calore specifico di Debye e di Einstein
_ Potenziali anarmonici
_ Equazione di stato di un solido
_ Espansione termica e parametro di Gruneisen
_ Conducibilità termica
GAS DI ELETTRONI LIBERI
_ Richiami sul gas elettronico a T = 0, repulsione sterica
_ Densità di stati in 1, 2 e 3 dimensioni
_ Andamento del potenziale chimico in T
_ Contributo elettronico al calore specifico e i Fermioni pesanti
_ La funzione lavoro e l’emissione termica di elettroni
BANDE ELETTRONICHE
_ Espansione in onde piane ed equazione centrale
_ Onde di Bloch e nuovo significato del momento p
_ Costruzione dello schema a bande in reticolo vuoto
_ Apertura del gap a bordo zona e sua interpretazione
_ Espansione dell'onda di Bloch in orbitali atomici: tight binding
_ Energia di banda in funzione di parametri TB e dei vicini. Costruzione e diagonalizzazione matrice tight binding a primi vicini per silicio.
_ Interpretazione di bande reali e loro densità di stati
_ Misura della dispersione di bande per fotoemissione risolta in angolo
TRASPORTO DI CARICA
_ Il modello semiclassico dei pacchetti di onde di Bloch
_ Il tensore di massa efficace e il concetto di buca positiva
_ L'equazione di Boltzman: bilancio tra processi di drift e quelli di scattering
_ L'approssimazione del tempo di rilassamento per i processi di scattering
_ Meccanismi microscopici che presiedono allo scattering di cariche
_ Il modello classico del trasporto di Drude e i suoi limiti
_ La conducibilità elettrica come integrale della superficie di Fermi
_ Dipendenza della resistività dalla temperatura nei solidi metallici
_ Relazione di Wiederman-Franz
_ Trasporto di calore da elettroni
_ Effetti termoelettrici (Peltier e Seebeck)
PROPRIETÀ MAGNETICHE DEI SOLIDI
_ Definizione di M e χ; introduzione alla Hamiltoniana con potenziale vettore
_ Diamagnetismo e paramagnetismo di isolanti, valori trascurabili
_ Paramagnetismo di Pauli, derivazione stati di Landau e diamagnetismo del gas di elettroni liberi
_ Effetto de Haas - van Alphen
OLTRE L'ELETTRONE SINGOLO
_ Dal sistema a più elettroni all'equazione di campo medio: Hartree
_ L'equazione di Hartree-Fock e il significato del termine di scambio
_ Energia del gas di elettroni liberi e interagenti come funzionale di densità
_ Il teorema di Hohenberg e Kohn e l'equazione di Kohn-Sham
_ Il metodo del funzionale di densità nella approssimazione locale DFT-LDA
_ Il calcolo autoconsistente delle funzioni di particella indipendente
_ Il metodo cellulare, il potenziale muffin-tin e lo sviluppo in onde piane aumentate
_ L'ortogonalizzazione sugli stati di core: onde piane ortogonalizzate e pseudopotenziale
LO SCHERMO DL GAS DI ELETTRONI
_ Dalle equazioni di Poisson alle relazioni tra ε e χ: modello classico
_ Il modello di schermo elettrostatico di Thomas-Fermi (suscettività costante)
_ Il modello di schermo elettrostatico di Linhard (suscettività dipende da q)
_ La interpretazione quantistica della inefficacia dello schermo per q > 2kF e le onde di densità di carica
_ Dal modello a Jellium al metallo reale: calcolo perturbativo al primo ordine
_ Energia di coesione per diverse strutture nei metalli semplici: il potenziale a due corpi efficace.
IL FERROMAGNETISMO
_ Modello di Stoner del ferromagnetismo itinerante per solidi metallici
_ Effetto della temperatura nel modello di Stoner, temperatura di Curie
_ Origine delle interazioni ferromagnetiche nei solidi e modello di Heisemberg
_ Ferromagnetismo di isolanti, temperatura di Curie e suscettibilità vs T
_ Stati eccitati magnetici: onde di spin. Altre eccitazioni collettive nei solidi
LA SUPERCONDUTIVITÀ
_ Esperienza di Onnes e introduzione alla superconduttività
_ Effetto Meissner Ochsenfeld: espulsione del campo magnetico
_ Termodinamica della transizione a superconduttore: entropia e calore specifico
_ Equazioni di London e London : spessore di penetrazione di correnti e di campo
_ Origine attrazione nella coppia di Cooper; instabilità del mare di Fermi
_ Derivazione dello stato fondamentale BCS da metodo variazionale
_ Esistenza del gap, sua natura e definizione di stati eccitati
_ Dipendenza di gap da T, relazione tra Tc e gap a T = 0; effetto isotopico
_ La supercorrente come stato stazionario e valore critico di corrente e campo magnetico
DIFETTI NEI SOLIDI
_ Stato dell'impurezza sostituzionale in semiconduttori mediante onde di Bloch
Prerequisiti
Struttura della materia, fisica quantistica di atomi e di molecole
Introduzione elementare alla fisica dei solidi, o dei materiali
Elementi di analisi complessa, funzioni speciali, serie e trasformate
Modalità didattica
Lezioni frontali
Materiale didattico
TESTO PRINCIPALE
H. IBACH AND H. LUTH, Solids State Physics, Springer Verlag
CAPITOLI AGGIUNTIVI PRESI DAI SEGUENTI TESTI:
N.W ASHCROFT AND N.D. MERMIN, Solid State Physics, Saunders College Publishing
F. BASSANI E U. GRASSANO, Fisica dello Stato Solido, Casa Editrice Boringhieri
G. GROSSO AND G. PASTORI PARRAVICINI, Solid state Physics, Academic Press
A.P. SUTTON, Electronic Structure of Materials, Oxford University Press
J.R. HOOK and H.E. Hall, Solid State Physics, John Wiley & Sons
S. BLUNDELL, Magnetism in Condensed Matter, Oxford University Press.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo e secondo semestre a diversa periodicità di lezioni
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L'esame consiste in un colloquio finale, eventualmente segmentabile in due tranche, in cui si verifica la capacita' di sviluppare derivazioni e interpretazioni scritte, relative alla prima parte, formalmente più semplice, del corso e una descrizione, sempre orale, della seconda parte, più complessa, del corso stesso.
Orario di ricevimento
Per appuntamento scrivendo una e-mail a leo.miglio@unimib.it. Normalmente di Lunedì, Mercoledì o Venerdì nella settimana stessa.
Aims
A first part of the course is devoted to the treatment of simpler phenomena, as described in terms of non-interacting particles ( Electrons or phonons ), with particular attention in teaching the skill of developing analytical models , which allow to solve complicated problems by ingenious simplifications. The second part analyzes more complex phenomena, generated by the interaction among particles, which give rise to significant macroscopic properties of the perfect and infinite solid. In this part, the focus is placed on the understanding of non-intuitive concepts and the ideal line of reasoning, preferring - also here - the methodological approach rather than the taxonomic one. The complementation of a main text with several others, depending on the topic, is an important aspect of the teaching method , that is, to acquire the habit of consulting different sources and comparing them critically.
Contents
First Part
BRIEF REVIEW OF CRYSTAL STRUCTURES AND BRAVAIS LATTICES
LATTICE DYNAMICS IN THREE DIMENSIONS
THERMAL PROPERTIES OF SOLIDS IN THE AND HARMONIC AND ANHARMONIC APPROACH
FREE AND INDEPENDENT ELECTRON GAS
FUNDAMENTALS AND CALCULATION OF ELECTRONIC BANDS
CHARGE TRANSPORT IN METALS
PARAMAGNETISM, DIAMAGNETISM AND LANDAU LEVELS
Second Part
CALCULATION OF THE ELECTRONIC BANDS WITH SELFCONSISTENT METHODS
ELECTRON SCREENING AND THE STRUCTURAL ENERGY OF METALS
FERROMAGNETISM FOR ITINERANT AND LOCALIZED SPINS
SUPERCONDUCTIVITY AND THE BCS THEORY
Detailed program
Crystal structures and diffraction
_relevant crystal structures
_construction of the reciprocal lattice and the Brillouin zones for fcc and a bcc lattices
_calculation of the distance in silicon.
Lattice dynamics
_ force constant matrix and its symmetries
_ dynamic matrix and the equations of motion
_construction and diagonalization of the dynamic matrix for one fcc monatomic: eigenvalues and displacement patterns
_ diatomic linear chain
_ dispersion curves of real crystals
_ inelastic scattering and measurement of phonon dispersion by neutron scattering
Thermal properties
_ from normal modes to phonons as quasi-particles
_ density of vibrational states
_ specific heat in Debye and Einstein models
_ anharmonic potentials and the heat capacity in Dulong Petit regime
_ thermal expansion the meaning of the Gruneisen parameter _ thermal conductivity
Free electrons
_ recalls on the electronic gas at T = 0, steric repulsion
_ density of states in 1, 2 and 3 dimensions
_ trend of the chemical potential in T
_ electronic contribution to the specific heat
_ the work function and the thermal emission of electrons
Electronic bands
_ expansion in plane waves and the central equation
_ Bloch waves and new meaning of the moment p
_ Construction of the band diagram for the empty lattice
_ opening of the gaps at the Brillouin zone borders and its interpretation
_ expansion of the Bloch wave in atomic orbital: tight binding (TB)
_ band energy as a function of TB parameters and neighbors. Construction and diagonalization of the tight binding matrix in sp3 basis and first neighbors for silicon
_ interpretation of real bands and their density of states
_ measurement of the dispersion of the bands by electron photoemission resolved in angle
Charge transport
_ The semiclassic model by packages of Bloch waves, equations of motion
_ the effective mass tensor and the concept of positive hole
_ Boltzman equation: balance between the process of drift and those of scattering
_ the relaxation time approximation in the processes of scattering
_ microscopic mechanisms that rule the scattering of charges
_ the classic model of transport by Drude and its limits
_ the electrical conductivity as the integral on the Fermi surface
_ dependence of resistivity from the temperature in a metal
_ heat transport by electrons
_ the Wiedemann-Franz law
_ thermoelectric effects (Peltier and Seebeck)
Magnetic properties
_ diamagnetism and paramagnetism in solids, why negligible values for susceptibility
_ Pauli paramagnetism and Landau diamagnetism for the gas of free electrons
_ electron motion in a magnetic field
_ Landau levels and the de Haas - van Alphen effect
The many electron problem
_ the average field approaches: Hartree and Hartree-Fock equations
_ the interacting gas of free electrons and the density dependent energy
_ the Hohenberg and Kohn theorem and the equation of Kohn-Sham
_ the density functional method in the local approximation DFT-LDA
_ cellular methods, the muffin tin potential, and the augmented plane waves
_ orthogonalized valence plane waves, the pseudopotential method
Screening in the electron gas
_ from Poisson equations to relations between epsilon and susceptibility: classical model
_ the Thomas-Fermi model of the electrostatic shield (constant susceptibility)
_ the Linhard model of the electrostatic shield (susceptibility depends on q)
_ the quantum interpretation of the ineffectiveness of the screen beyond 2kF and the charge density waves
_ from the jellium model to the real metal
_ cohesion energy for different structures in metals simple: the two bodiy potential to effective.
Ferromagnetism
_ Stoner model for itinerant ferromagnetism in metallic solids
_ effect of temperature in the Stoner model, Curie temperature
_ origin of ferromagnetic interactions in insulating solids and the Heisemberg hamiltonian
_ ferromagnetism in insulators, the Curie temperature and the susceptibility vs T
_ excited magnetic states and the spin waves; other collective excitations in solids
Superconductivity
_ introduction to superconductivity
_ Meissner Ochsenfeld effect: expulsion of the magnetic field
_ the thermodynamics of the transition to the superconducting state
_ the London and London equations: penetration of currents and magnetic fields
_ origin of the attraction in the Cooper pair, instability of the ground state
_ derivation of the fundamental BCS state
_ existence of the gap, its nature, and definition of the excited states
_ dependence of gap from T, relationship between Tc and gap at T = 0; isotope effect
_ the supercorrent as steady state and the critical values of current and magnetic field
_ some phenomenology of high-temperature superconductors
The defected solid
_Shallow impurity states in semiconductors by Bloch states
Prerequisites
Atomic and molecular quantum physics
Elementary introduction to Solid State Physics
A short course in advanced calculus
Teaching form
Lessons
Textbook and teaching resource
PRINCIPAL TEXTBOOK:
H. IBACH AND H. LUTH, Solids State Physics, Springer Verlag
ADDITIONAL CHAPTERS ARE TAKEN FROM:
N.W ASHCROFT AND N.D. MERMIN, Solid State Physics, Saunders College Publishing
F. BASSANI E U. GRASSANO, Fisica dello Stato Solido, Casa Editrice Boringhieri
G. GROSSO AND G. PASTORI PARRAVICINI, Solid state Physics, Academic Press
A.P. SUTTON, Electronic Structure of Materials, Oxford University Press
J.R. HOOK and H.E. Hall, Solid State Physics, John Wiley & Sons
S. BLUNDELL, Magnetism in Condensed Matter, Oxford University Press.
Semester
First and second semester at different lesson periodicity
Assessment method
The final examination includes a discussion of written derivations for the first, more simple, part of the course, and a fully oral discussion of the second part, more complex in items. The two steps can be undertaken even in a separate sequence.
Office hours
By appointment writing one e-mail to leo.miglio@unimib.it. Usually on Monday, Wednesday and Friday in the same week.
Students' opinion
Bibliography
Staff
- Leonida Miglio