Course Syllabus
Obiettivi formativi
L'insegnamento è articolato in due moduli:
1) Probabilità applicata
2) Statistica computazionale
Il primo modulo si propone di introdurre e illustrare i concetti e gli strumenti
del Calcolo delle probabilità e della Matematica applicata necessari per
affrontare problemi di inferenza statistica ed economia.
Il secondo modulo si propone di fornire le conoscenze per lo sviluppo di tecniche
computazionali per l'inferenza in modelli statistici. Verranno forniti
quindi gli elementi essenziali della programmazione con R per
l'implementazione di tali tecniche.
Contenuti sintetici
Modulo 1.
Eventi e misure di probabilità.
Vettori casuali discreti e continui.
Convergenza di variabili casuali e teoremi limite.
Convessità e ottimizzazione con vincoli di uguaglianza e di disuguaglianza.
Modulo 2.
Definizione di numeri casuali e pseudo-casuali.
Algoritmi per la
generazione di numeri pseudo casuali, test di casualità.
Introduzione al
metodo Monte Carlo e il principio plug-in.
Introduzione ai metodi di
ricampionamento: jacknife e bootstrap. Esempi e casi particolari.
Aspetti numerici e grafici per l'analisi di verosimiglianza.
Programma esteso
Modulo 1.
Eventi e misure di probabilità.
Vettori casuali discreti e continui.
Particolari distribuzioni multidimensionali.
Momenti e funzioni generatrici.
Convergenze di variabili casuali.
Legge dei grandi numeri e teorema centrale del limite.
Funzioni di vettori casuali. Funzioni convesse.
Ottimizzazione con
vincoli di uguaglianza e di disuguaglianza. Condizioni di Kuhn-Tucker.
Modulo 2.
Algoritmi per la generazione di numeri pseudocasuali: tecniche di inversione
della funzione di ripartizione, algoritmo accettazione-rifiuto, metodi
basati su trasformazioni di variabili casuali, metodi composti, rapporto
di uniformi.
Test di casualità.
Introduzione al metodo Monte Carlo.
Metodi
di riduzione della varianza dello stimatore Monte Carlo: il metodo
delle variabili di controllo e il metodo delle variabili antitetiche.
Metodi di ricampionamento: il bootstrap e il jackknife.
Intervalli di confidenza bootstrap.
Cenni alla verifica d'ipotesi in ambito bootstrap.
Aspetti numerici e grafici per l'analisi di verosimiglianza.
Prerequisiti
Per il primo modulo è consigliata la conoscenza degli argomenti trattati nei corsi di Calcolo delle probabilità e Analisi matematica a livello di Laurea triennale, mentre non sono previste delle propedeuticità formali per il secondo, pur essendo auspicabile una conoscenza di base dell'inferenza statistica, del calcolo delle probabilità e del linguaggio R.
Metodi didattici
Entrambi i moduli prevedono delle lezioni frontali e, inoltre, il secondo modulo prevede anche delle sessioni di laboratorio in cui i concetti teorici sono applicati e
verificati attraverso esempi concreti di simulazione e utilizzo di
algoritmi.
Modalità di verifica dell'apprendimento
Modulo 1.
L’esame è articolato in una prova scritta e in una prova orale.
La prova scritta intende valutare le capacità di “problem-solving”, mentre la prova orale è rivolta all’accertamento delle conoscenze teoriche.
Il voto complessivo è dato dalla media aritmetica dei punteggi ottenuti nelle due prove.
Esempi di quesiti tipici dell’esame sono disponibili sulla piattaforma e-learning.
Modulo 2.
L'esame finale consiste in una prova orale e una prova svolta in laboratorio informatico. Nella prova orale sono previste domande aperte, allo scopo di verificare la comprensione e rielaborazione dei contenuti del corso; la prova di laboratorio consta di esercizi computazionali volti alla verifica della padronanza computazionale delle tecniche apprese durante il corso.
Agli studenti frequentanti viene data l'opportunità di fare una prova parziale a metà corso, seguita da una seconda prova parziale alla fine del corso.
Il voto finale è dato dalla media aritmetica dei voti ottenuti nei due moduli.
Testi di riferimento
Modulo 1.
A. Gut, “An Intermediate Course in Probability”, Springer, 2009.
K. Lange, “Optimization”, Springer, 2013.
E.L. Lehmann, “Elements of Large-Sample Theory”, Springer, 1999.
Dispense disponibili sulla piattaforma e-learning.
Modulo 2.
Appunti delle lezioni a cura del docente del corso.
Letture consigliate per integrare le lezioni:
Robert, C.P. e Casella, G. (2009), Introducing Monte Carlo Methods with R, New York: Springer-Verlag.
Davison and Hinkley (1997). Bootstrap Methods and their Applications, Chapman and Hall.
Periodo di erogazione dell’insegnamento
L'insegnamento è erogato nel primo semestre.
Lingua di insegnamento
Italiano.
Learning objectives
The course consists of two parts:
1) Applied probability
2) Computational statistics
Part 1 aims at introducing and
illustrating the concepts and tools of probability theory and applied
mathematics needed for statistical inference and economics.
Part 2 provides an introduction to the most important computational statistical
methods. Students will be introduced to the use of R for the
implementation of the computational methods shown during the course.
Contents
Part 1.
Random events and probability measures.
Discrete and continuous random vectors.
Convergence of random variables and limit theorems.
Convexity and optimization with equality and inequality constraints.
Part 2.
Basic principles of the Monte Carlo method,.
Theoretical basis of the random numbers generators.
Fundamental concepts of resampling techniques (bootstrap
and jackknife).
Detailed program
Part 1.
Random events and probability measures.
Discrete and continuous random vectors.
Special multidimensional distribution functions.
Moments and generating functions.
Convergence of random variables.
Law of large numbers and central limit theorem.
Functions of random vectors. Convex functions.
Optimization with equality constraints. Optimization with inequality constraints. Kuhn-Tucker conditions.
Part 2
Random numbers generation for uniform, non-uniform, discrete
and continuous distributions.
Introduction to Monte Carlo simulation and Monte Carlo
Integration.
Variance reduction techniques.
Resampling Techniques: bootstrap and jackknife.
Bootstrap confidence intervals.
Bootstrap Hypothesis Testing.
Numerical and graphical aspects for likelihood inference.
Prerequisites
Part 1.
Knowledge
of the topics covered by basic courses in Probability and Calculus.
Part 2.
At least BSc courses on probability calculus, statistical inference; basic programming skills.
Teaching methods
Part 1.
Class lectures.
Part 2.
Lectures and tutorial sessions in computer laboratory.
Assessment methods
Part 1.
Written and oral exams.
The written exam aims at testing the problem-solving ability while the oral exam aims at evaluating the theoretical skills.
The overall mark is the average of the marks obtained in the two exams.
Examples of questions for
the exams are available on
the e-learning platform.
Part 2.
Oral and a computer-based exam.
The final mark is the
average of the marks obtained in the two parts.
Textbooks and Reading Materials
Part 1.
A. Gut, “An Intermediate Course in Probability”, Springer, 2009.
K. Lange, “Optimization”, Springer, 2013.
E.L. Lehmann, “Elements of Large-Sample Theory”, Springer, 1999.
Lecture notes available on the e-learning platform.
Part 2.
Lecture notes provided by the instructor.
Robert, C.P. e Casella, G. (2009), Introducing Monte Carlo Methods with R, New York: Springer-Verlag.
Davison and Hinkley (1997). Bootstrap Methods and their Applications, Chapman and Hall.
Semester
The course is scheduled in the first semester.
Teaching language
Italian.
Students' evaluation
Staff
- Gianna Serafina Monti
- Piero Quatto