Course Syllabus
Obiettivi
L'insegnamento ha lo scopo di introdurre la teoria del gruppo fondamentale e dei rivestimenti topologici e la teoria delle varietà differenziali.
I risultati di apprendimento attesi includono:
- la conoscenza delle definizioni e dei risultati basilari nell'ambito della teoria del gruppo fondamentale e delle varietà differenziali, la conoscenza di importanti esempi illustrativi della teoria discussa;
- la comprensione delle principali tecniche dimostrative;
- la capacità di applicare le conoscenze acquisite nella risoluzione di problemi e nello studio della geometria di esempi concreti.
Contenuti sintetici
Gruppo fondamentale e rivestimenti di uno spazio topologico e loro proprietà. Varietà differenziali astratte: carte, atlanti, spazio tangente, fibrato tangente, calcolo differenziale sulle varietà. Immersioni, sommersioni, sottovarietà. Campi di vettori, flussi, parentesi di Lie. Forme differenziali, teorema di Stokes. Coomologia di de Rham.
Programma esteso
- Gruppo fondamentale di uno spazio topologico puntato. Definizione ed esempi elementari. Omomorfismo indotto da funzioni continue. Dipendenza dal punto base. Spazi connessi per archi. Gruppo fondamentale della sfera. Omotopia di applicazioni e morfismi indotti sul gruppo fondamentale. Invarianza omotopica del gruppo fondamentale. Presentazione di gruppi e prodotto libero. Teorema di Seifert - Van Kampen. Applicazioni. Definizione di rivestimento. Proprietà e legami con il gruppo fondamentale.
- Varietà topologiche e varietà differenziali. Definizione ed esempi. Applicazioni differenziabili tra varietà. Diffeomorfismi. Spazio tangente. Differenziale di una applicazione differenziabile. Vettori tangenti ad una curva. Immersioni, embedding, sommersioni. Sottovarietà regolari. Fibrato tangente e campi vettoriali. Curve integrali e flussi di campi vettoriali. Enunciato del Teorema di Poincaré-Hopf. Commutatore di campi vettoriali. Struttura di algebra di Lie sullo spazio dei campi vettoriali. Derivata di Lie di un campo vettoriale. Teorema di commutatività dei flussi. Spazio cotangente e fibrato cotangente. Campi di covettori. Accoppiamento di vettori e covettori. Forme multilineari e prodotto esterno. Forme differenziali. Algebra esterna di una varietà differenziale. Derivata esterna di forme differenziali e sue proprietà. Forme differenziali chiuse ed esatte. Coomologia di de Rham. Lemma di Poincaré. Teorema di de Rham. Paracompattezza. Partizioni dell'unità. Integrazione di forme differenziali su varietà. Varietà con bordo e teorema di Stokes. Esempi e applicazioni.
Prerequisiti
Il contenuto degli insegnamenti di Geometria I e II, di Analisi Matematica I e (in parte) II, di Algebra Lineare e Geometria.
Modalità didattica
Lezione frontale alla lavagna.
Fino all'esaurimento dell'emergenza sanitaria in corso, le lezioni si svolgeranno esclusivamente in modalità telematica. Tutte le lezioni saranno registrate e rese disponibili sulla pagina dell'insegnamento. Sarà inoltre possibile organizzare eventi o ricevimento studenti in videoconferenza sincrona.
Materiale didattico
Testi di riferimento
- per la prima parte: W. Fulton - Algebraic Topology. A first course - Springer, 1995*
- per la seconda parte: L. W. Tu - An Introduction to Manifolds (Second Edition) - Springer, 2011*
Altri testi consigliati
- L. I. Nicolaescu - Lectures on the Goemetry of Manifolds (Second Edition) - World Scientific, 2007*
- J. M. Lee - Introduction to Smooth Manifolds - Springer, 2012*
- V. Guillemin and P. Haine - Differential forms - World Scientific, 2019
*Questo testo è disponibile in formato elettronico attraverso la pagina della biblioteca di Ateneo.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
- La verifica del profitto si basa su due prove, valutate sulla base della correttezza, della completezza, del rigore e della chiarezza delle risposte fornite.
Prova scritta - Si devono risolvere alcuni esercizi in 120 minuti. La prova è valutata in trentesimi. Questa prova si intende superata ottenendo un punteggio non inferiore a 15.
Prova orale - Si deve rispondere a domande su argomenti trattati durante il corso o sugli esercizi della prova scritta, insistendo sui punti poco chiari. Per sostenere la prova orale è necessario avere superato la prova scritta. - Sono previsti esoneri dalle prove.
Esonero dalla prova scritta - Durante il corso saranno assegnati, con cadenza regolare, tre homework. Se consegnate nei termini stabiliti, le soluzioni di questi homework saranno valutate secondo la scala decrescente A, B, C, D, dove C è la soglia di sufficienza. Chi avrà ottenuto una valutazione sufficiente per ciascun homework sarà esonerato dalla prova scritta e potrà sostenere direttamente la prova orale in uno degli appelli dell'anno accademico corrente.
Gli studenti sono incoraggiati ad interagire e a confrontarsi sulle soluzioni degli homework. Tuttavia, le soluzioni consegnate dovranno essere individuali. La prova orale potrà avere inizio con la discussione delle soluzioni degli homework, insistendo sui punti poco chiari.
Esonero dalla prova orale - Chi sostiene la prova scritta ottenendo un punteggio S non inferiore a 21 può evitare la prova orale e verbalizzare direttamente il voto minimo tra S e 27. Si noti che la prova orale è obbligatoria per chi fruisce dell'esonero dalla prova scritta. - Il superamento della prova scritta consente di sostenere la prova orale in uno qualsiasi degli appelli dell'anno accademico corrente. Il fallimento della prova orale comporta la ripetizione della prova scritta.
Nel periodo di emergenza legato all'epidemia di COVID-19 le prove d'esame si svolgeranno per via telematica, secondo modalità che saranno specificate sulla pagina e-learning dell'insegnamento.
Orario di ricevimento
Su appuntamento.
Aims
This course aims to yield an introduction to the fundamental group and differentiable manifolds.
Expected learning outcomes include:
- knowledge of definitions and basic results on the fundamental group and differentiable manifolds, knowledge of important examples;
- comprehension of the main proof techniques;
- ability to solve problems and discuss the geometric properties of concrete examples.
Contents
Fundamental group and covering spaces of a topological space. Differentiable manifolds: topological manifolds, differentiable structures, tangent space, tangent bundle, calculus on manifolds. Immersions, submersions, submanifolds. Vector fields, flows, Lie bracket. Differential forms, Stokes' theorem, De Rham cohomology.
Detailed program
- Fundamental group of a pointed topological space. Definition and elementary examples. Homomorphism induced by continuous functions. Base-point dependence and arcwise connectedness. Fundamental group of the sphere. Homotopy of continuous functions and induced homomorphism. Homotopy invariance of the fundamental group. Presentation of groups and free products. The Seifert - Van Kampen theorem and its applications. Coverings.
- Topological and smooth manifolds: definitions and elementary examples. Smooth functions between manifolds. Diffeomorphisms. Tangent space. Differential of a smooth function between manifolds. Immersions, embeddings, submersions. Regular submanifolds. Tangent bundle and vector fields. Integral curves and flow of a vector field. The Poincaré-Hopf theorem. Lie bracket. Lie algebra structure on the space of vector fields. Lie derivative of a vector field. Cotangent space and cotangent bundle. One-forms. Multilinear forms and wedge product between them. Differential forms. Exterior algebra of a smooth manifolds. Exterior derivative. Closedness and exactness. De Rham cohomology. Poincaré Lemma. De Rham Theorem. Partitions of unity. Integration of differential forms on a manifold. The Stokes' theorem and its applications.
Prerequisites
The content of the courses of Geometry I and II, Mathematical Analysis I and (in part) II, Linear Algebra and Geometry.
Teaching form
Blackboard lectures.
During the COVID-19 emergency, all lectures will be recorded and made available on the e-learning website. Discussion sessions and will be held in live streaming.
Textbook and teaching resource
Textbooks
- 1st part: W. Fulton - Algebraic Topology. A first course - Springer, 1995*
- 2nd part: L. W. Tu - An Introduction to Manifolds (Second Edition) - Springer, 2011*
Further readings
- L. I. Nicolaescu - Lectures on the Goemetry of Manifolds (Second Edition) - World Scientific, 2007*
- J. M. Lee - Introduction to Smooth Manifolds - Springer, 2012*
- V. Guillemin and P. Haine - Differential forms - World Scientific, 2019
*This book is available in electronic format at the UNIMIB library webpage.
Semester
First semester.
Assessment method
Written and oral examination. Homework during the class period (not mandatory) for getting exemption from the written part.
During the COVID-19 emergency, all examinations will be held online. More information and details shall be given on the website of the course.
Office hours
By appointment.
Key information
Staff
-
Alberto Della Vedova