- Area di Scienze
- Corso di Laurea Triennale
- Scienza dei Materiali [E2701Q]
- Insegnamenti
- A.A. 2019-2020
- 2° anno
- Matematica III
- Introduzione
Syllabus del corso
Obiettivi
Gli obiettivi formativi del corso sono i seguenti.
Conoscenza e capacità di comprensione. Lo studente apprenderà i principali risultati del calcolo integrale in più variabili, del calcolo vettoriale e dell’algebra lineare e si impadronirà dei relativi strumenti e tecniche di calcolo.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione. Mediante l’illustrazione di vari esempi e con lo svolgimento di esercizi, lo studente svilupperà la capacità di applicare i risultati teorici esposti nelle lezioni a problemi di integrazione multipla, calcolo vettoriale e algebra lineare.
Autonomia di giudizio. Lo studente saprà affrontare in modo critico problemi di integrazione multipla, calcolo vettoriale e algebra lineare, individuando autonomamente i metodi più appropriati tra quelli appresi.
Abilità comunicative. L’acquisizione del linguaggio e del formalismo matematico introdotto renderà lo studente in grado di comunicare con rigore e chiarezza le conoscenze acquisite.
Capacità di apprendimento. Lo studente sarà in grado di applicare le conoscenze acquisite a contesti differenti da quelli presentati durante le lezioni, in particolare nello studio di altre discipline scientifiche (quali la chimica e la fisica) che richiedano un buona preparazione matematica di base.
Contenuti sintetici
Integrazione in più variabili, calcolo vettoriale e algebra lineare.
Programma esteso
- Integrali doppi. Funzioni integrabili secondo Riemann in rettangoli del piano, formule di riduzione per integrali doppi su rettangoli, funzioni integrabili secondo Riemann in domini generici, formule di riduzione per integrali doppi su regioni semplici,
additività rispetto al dominio, formula di cambiamento di variabile negli integrali doppi, integrali doppi in coordinate polari.
- Integrali di superficie. Superfici in R3, parametrizzazione di una superficie, superfici regolari, versore normale ad una superficie, superfici regolari a pezzi, orientabilità di una superficie, integrale di superficie, flusso di un campo
vettoriale attraverso una superficie.
- Integrali tripli. Funzioni integrabili secondo Riemann in parallelepipedi dello spazio, formule di riduzione per integrali tripli su parallelepipedi, formule di riduzione per integrali su regioni semplici (integrazione per fili e per strati), formula
di cambiamento di variabile negli integrali tripli, integrali tripli in coordinate cilindriche, integrali tripli in coordinate sferiche.
- Calcolo vettoriale. Teorema di Green, Teorema del rotore o di Stokes, Teorema della divergenza o di Gauss.
- Algebra lineare. Spazi vettoriali reali e complessi, dipendenza e indipendenza lineare, sistemi di generatori e basi di uno spazio vettoriale, dimensione di uno spazio vettoriale. Teorema del completamento della base. Sottospazi vettoriali. Applicazioni
lineari, nucleo e immagine di un'applicazione lineare, Teorema nullità + rango, matrice associata ad un'applicazione lineare tra spazi vettoriali di dimensione finita. Cambiamento di base, applicazioni lineari invertibili, determinante, formula di
Laplace, formula di Binet, calcolo della matrice inversa. Autovalori ed autovettori, endomorfismi diagonalizzabili. Prodotti scalari, prodotti hermitiani, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, norma, ortogonalità, basi ortogonali e ortonormali, esistenza
di basi ortogonali e processo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Trasposto di un endomorfismo, endomorfismi simmetrici, aggiunto di un endomorfismo, endomorfismi hermitiani (o auto-aggiunti), aggiunta di una matrice, matrice auto-aggiunta
(o hermitiana). Autovalori e autovettori di endomorfismi hermitiani, Teorema Spettrale per endomorfismi hermitiani, diagonalizzazione simultanea di endomorfismi hermitiani commutanti.
Prerequisiti
I contenuti dei corsi di matematica del primo anno.
Modalità didattica
Lezioni frontali (6 cfu), esercitazioni (2 cfu).
Materiale didattico
- J. Stewart, Calcolo. Funzioni di più variabili, Apogeo.
- M. Abate, Algebra lineare, McGraw-Hill.
- Appunti di Algebra Lineare per il corso di Matematica III, dispense redatte
dalla docente e disponibili sul sito e-learning.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Secondo anno, primo semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L'esame consiste in una prova scritta, tesa a verificare il livello delle conoscenze e la capacità di applicarle alla risoluzione di esercizi, l’autonomia di analisi e giudizio, nonché le capacità espositive acquisite dallo studente. La prova si articola in due parti: la prima parte contiene domande di carattere teorico mentre la seconda richiede di risolvere esercizi. La determinazione del voto complessivo finale si basa per 1/3 sulla prima parte e per 2/3 sulla seconda.
Nel corso dell’anno sono previsti 6 appelli d’esame nei seguenti periodi: uno nel mese di febbraio, uno nel mese di aprile/maggio, uno nel mese di giugno, uno a luglio, uno a settembre e uno a novembre. L’esame può essere sostenuto anche con due prove scritte parziali: la prima prova parziale si terrà nella pausa didattica di novembre mentre la seconda si terrà al termine delle lezioni.
Orario di ricevimento
Su appuntamento concordato per e-mail (veronica.felli@unimib.it).
Aims
The objectives of the course are the following.
Knowledge and understanding. The student will learn the principal results of multi-variable integral calculus, vector calculus and linear algebra and will become acquainted with their tools and techniques.
Applying knowledge and understanding. By means of several examples and exercises, the student will develop the ability of applying the theorical results presented in the lectures to problems of integration in several variables, vector calculus and linear algebra.
Making judgements. The student will be able to face critically problems of integration in several variables, vector calculus and linear algebra, identifying by himself/herself the most appropriate tools among those introduced in the course.
Communication skills. The student will become familiar with the introduced language and mathematical formalism, which will make him/her able to communicate with rigor and clarity the acquired knowledge.
Learning skills. The student will be able to apply the acquired knowledge to different contexts, in particular in the study of other scientific disciplines (such as chemistry and physics) which require a good mathematical background.
Contents
Integral calculus in several variables, vector calculus, linear algebra.
Detailed program
- Double
integrals. Double integrals over
rectangles, iterated integrals, double integrals over general regions, change
of variables in double integrals, double integrals in polar coordinates.
- Surface
integrals. Surfaces in R3,
parametrization of a surface, regular surfaces, normal vector, orientation of a
surface, surface integrals, flux of a vector field across a surface.
- Triple
integrals. Triple integrals over
boxes, iterated integrals, change of variables in triple integrals, triple
integrals in cylindrical and spherical coordinates.
- Vector
calculus. Green's Theorem, Stokes'
Theorem, Divergence Theorem.
- Linear Algebra. Real and
complex vector spaces, dependent and independent sets in a linear space, subspaces. Bases and
dimension of a linear space, euclidean spaces, norms and (Hertmitian) inner
products, Cauchy-Schwarz inequality, orthogonality. Orthonormal bases. Linear
transformations: matrix representation, null space and range, nullity and rank,
matrices, matrix operations,
determinants, Binet formula, Laplace expansion; inverses of square matrices,
change of the bases. Eigenvalues and eigenvectors of endomorphisms, diagonalizability.
Adjoint endomorphism, hermitian operators, Spectral Theorem, simultaneous
diagonalization.
Prerequisites
First year math courses.
Teaching form
Lessons (6 CFU), exercise classes (2 CFU).
Textbook and teaching resource
- J. Stewart, Calcolo. Funzioni di più variabili, Apogeo.
- M. Abate, Algebra lineare, McGraw-Hill.
- Appunti di Algebra Lineare per il corso di Matematica III, lecture notes written by the teacher and available on the e-learning site.
Semester
First semester.
Assessment method
The exam consists of a written test, aimed at verifying the level of knowledge, the ability to apply it to the resolution of exercises, the student's independence in making judgements, as well as his/her communication skills. The test is divided into two parts: the first part contains theoretical questions while the second part contains exercises. The final grade depends for 1/3 on the first part of the test and for 2/3 on the second part.
During the year there are 6 exam sessions in the following periods: one in February, one in April/May, one in June, one in July, one in September and one in November. The final exam can be replaced by two intermediate written tests, the first of which will take place in November while the second one will take place at the end of the course.
Office hours
By appointment scheduled through email (veronica.felli@unimib.it).