- Basic Calculus - 2
- Summary
Course Syllabus
Obiettivi formativi
Fornire allo studente gli strumenti matematici di base per la trattazione di semplici modelli matematici
in economia: in particolare con questo corso si intende fornire allo
studente i fondamenti del calcolo infinitesimale in una variabile, ivi
compreso lo studio completo di funzioni, con cenni al calcolo in due
variabili.
Contenuti sintetici
Funzioni reali di variabile reale e cenni alle funzioni reali di due variabili
Programma esteso
Numeri reali. Estremo superiore e inferiore, massimo e minimo di sottoinsiemi di R. Il sistema ampliato dei numeri reali R*. Funzioni reali di una variabile reale. Generalità, dominio, codominio. Estremo superiore, inferiore, e massimo e minimo assoluto di una funzione. Funzioni iniettive, suriettive e biettive. Funzione composta e funzione inversa. Funzioni elementari. Grafici deducibili dal grafico delle funzioni elementari. Topologia di R. Definizione di limite. Limiti per eccesso e per difetto. Teorema di unicità del limite. Teorema di permanenza del segno. Teoremi di esistenza del limite: il teorema del confronto, il teorema di esistenza del limite per funzioni monotone. Continuità di una funzione. Punti di discontinuità. Proprietà delle funzioni continue su un insieme chiuso e limitato. Teorema di Weierstrass. Teorema degli zeri. Teorema dei valori intermedi (o di Darboux). Calcolo dei limiti. Forme di indecisione. Limiti notevoli e applicazioni. Infiniti, infinitesimi e loro confronto. Simboli di Landau: o (o piccolo), ~ (asintotico). Asintoti. Definizione di derivata. Significato geometrico della derivata ed equazione della retta tangente. Punti di non derivabilità. Relazione tra derivabilità e continuità. Derivate delle funzioni elementari. Regole di derivazione. Derivate di ordine superiore. Teorema di de l'Hôpital. Derivata di funzione composta, inversa. Condizione sufficiente per la derivabilità. Teorema di Fermat (condizione necessaria per l'esistenza di punto di estremo relativo interno di funzione derivabile). Teoremi di Rolle. Teorema di Lagrange. Conseguenze del teorema di Lagrange. Formula di Taylor e di Mc Laurin e applicazioni. Convessità, concavità e punti di flesso. Studio di funzioni. Funzioni reali di due variabili reali: dominio, segno, derivate parziali.
Prerequisiti
Algebra e geometria analitica elementari.
Metodi didattici
Tradizionali: lezioni frontali ed esercitazioni.
Modalità di verifica dell'apprendimento
Scritto con esercizi che coprono tutto il programma e alcune domande di teoria. Orale facoltativo. L'eventuale orale può contribuire sia in maniera
positiva sia in maniera negativa al voto finale.
Testi di riferimento
Torriero, A., Scovenna M., Scaglianti, L.: Manuale di matematica. Metodi e applicazioni. CEDAM
Scovenna, M., Grassi, R.: Matematica – Esercizi e temi d’esame. CEDAM.
Ulteriori testi a cui far eventuale riferimento
Guerraggio, A. (2009): Matematica. Prentice Hall, seconda edizione.
Monti, G., Pini, R.: Lezioni di matematica generale: funzioni reali di variabile reale, L.E.D.
Periodo di erogazione dell’insegnamento
Primo semestre, primo anno.
Lingua di insegnamento
Italiano
Learning objectives
The course aims at giving to the student the basical mathematics tools in order to treat simple mathematical models
in economics: after the course the student must have capability in
infinitesimal calculus in one variables, with outlines to the calculus
in two variables.
Contents
Real functions of real variables and outlines of real functions of two real variables.
Detailed program
Real
numbes. Supremum an infimum of subsets in R. The expanded System of real numbers R*
Real functions of one real variable. General
facts, domain, codomain. Supremum, infimum, absolute maximum and
minimum of a function. Injective, surjective and bijective functions. Composite function and inverse function. Elementary functions. Graphs of functions that can be deduced from graphs of elementary functions. Topology in R. Definition of limit. Excess limit and limit by default. Theorem on the uniqueness of the limit. Theorem of sign permanence. Theorems on the existence of the limit: comparison theorem, existence theorem for monotone functions. Continuity for a function. Discontinuity points. Properties of continuous functions in a bounded and closed interval. Weierstrass Theorem. Darboux Theorem. Evaluation of the limits. Indeterminate forms. Notable special limits and applications. Infinite, infinitesimal and their comparison. Landau symbols, asymptotic expansion. Asymptotes. Derivative: definition and geometric meanings, equation of the tangent line. Points of non differentiability. Relation between differentiability and continuity. Derivatives of the elementary functions. Derivation rules. Derivatives of higher order. De l'Hôpital theorem. Derivatives of composite and inverse functions. Sufficient condition for differentiability. Fermat Theorem( necessary condition for the existence of local extreme points inside the domain of a differentiable function). Rolle and Lagrange Theorems. Consequences of the Lagrange Theorem. Taylor and Mc Laurin formula and their applications. Concavity, convexity and inflections points. Study of functions. Real functions of two real variables: domain, sign and partial derivatioves.
Prerequisites
Algebra and analytic geometry at an elementary level
Teaching methods
Traditional: lectures and exercise class.
Assessment methods
Written exam with exercises and theory questions and a possible oral
exam. The oral exam can contribute in a positive or negative way to the
final evaluation.
Textbooks and Reading Materials
Torriero, A., Scovenna M., Scaglianti, L.: Manuale di matematica. Metodi e applicazioni. CEDAM
Scovenna, M., Grassi, R.: Matematica – Esercizi e temi d’esame. CEDAM.
Other possible textbooks are
Guerraggio, A. (2009): Matematica. Prentice Hall, seconda edizione.
Monti, G., Pini, R.: Lezioni di matematica generale: funzioni reali di variabile reale, L.E.D.
Semester
First semester, first year
Teaching language
Italian