- Geometry III
- Summary
Course Syllabus
Obiettivi
I risultati di apprendimento attesi includono:
- Conoscenze: la conoscenza e la comprensione delle definizioni e degli enunciati fondamentali, nonché delle strategie di dimostrazione basilari utilizzate in nella teoria del primo gruppo fondamentale e delle forme differenziali; la conoscenza e la comprensione di alcune sue applicazioni, in particolare allo studio di mappe lisce proprie tra varietà differenziali e del loro grado; la conoscenza e la comprensione di alcuni esempi chiave in cui si esplica la teoria;
- Capacità: la capacità di applicare le conoscenze astratte acquisite alla risoluzione di semplici esercizi di calcolo e problemi teorici, richiamando in modo corretto e conseguente i risultati utilizzati; la capacità di maneggiare il calcolo algebrico, differenziale e integrale delle forme differenziali e di utilizzarlo nello studio di alcune semplici situazioni concrete, quali lo studio del gruppo fondamentale di alcuni semplici spazi e di mappe proprie lisce tra varietà differenziali; la capacità di applicare il bagaglio concettuale appreso alla costruzione e discussione di esempi concreti e alla risoluzione di esercizi; la capacità di esporre, comunicare e argomentare in modo chiaro, pertinente e preciso i contenuti teorici del corso.
Programma esteso
Rivestimenti topologici e primo gruppo fondamentale; teoremi di sollevamento; teorema di Seifert-Van Kampen; varietà differenziali; campi vettoriali e fibrati tangenti; forme differenziali; tirato indietro e differenziale esterno; derivata di Lie e formula magica di Cartan; varietà orientate e teoria dell’integrazione; domini lisci e Teorema di Stokes; mappe proprie e loro grado; omotopie proprie; applicazioni (esempio: ritrazioni, campi vettoriali su sfere).
Prerequisiti
Il contenuto dei corsi di Geometria I e II, di Analisi I e (in parte) II, di Algebra Lineare e Geometria.
Modalità didattica
Lezioni frontali: 6 cfu;
Materiale didattico
Due testi particolarmente attinenti al contenuto del corso sono i seguenti:
- W. Fulton, Algebraic Topology, a first course, Springer Verlag 1995
- V. Guillemin and P. Haine, Differential forms, World Scientific 2019
Altre letture consigliate sono:
- M. Do Carmo, Differential forms and applications, Springer Verlag 1996;
- V. Guillemin, A. Pollack, Differential Topology 1974;
Periodo di erogazione dell'insegnamento
II semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Durante lo svolgimento del corso, verranno offerte due prove in itinere, attinenti alla prima e alla seconda metà del corso, rispettivamente, ciascuna delle quali consisterà in una combinazione flessibile ma bilanciata di esercizi computazionali e domande teoriche, sulla falsariga di quanto viene proposto nelle prove degli appelli regolari (vedasi descrizione qui sotto). Le domande teoriche verteranno su definizioni, enunciati di teoremi, dimostrazioni, costruzione di esempi e controesempi e semplici problemi teorici. Per superare l'esame mediante le prove in itinere, lo studente deve ottenere la sufficienza (18/30) in entrambe. Le due prove in itinere contribuiranno in egual misura alla formazione del voto finale.
Gli studenti che non superano l'esame mediante le prove in itinere potranno sostenere gli appelli regolari. In occasione di ogni sessione d’esame, verranno offerte due prove scritte, attinenti, come le prove in itinere alla prima metà e alla seconda metà del corso, rispettivamente e strutturate nello stesso modo. Ogni prova scritta consisterà quindi di una combinazione flessibile ma bilanciata di esercizi computazionali e di domande teoriche.
Attraverso gli esercizi computazionali, verrà valutata la capacità dello studente di maneggiare con padronanza e precisione il formalismo introdotto e di utilizzarlo per eseguire semplici calcoli, nonché di mettere all'opera le conoscenze teoriche trasmesse, richiamandole in modo preciso e pertinente.
Attraverso le domande teoriche verranno valutate la conoscenza e la comprensione dell'impianto concettuale del corso, nonché la capacità di organizzare in modo lucido, efficace e ben strutturato un’esposizione coerente e puntuale.
Per superare l'esame negli appelli regolari, lo studente ottenere la sufficienza di 18/30 in ciascuna delle due prove scritte. Non è necessario che le prove vengano superate nel medesimo appello d’esame. E’ altresì consentito superare una delle due prove in corrispondenza di una prova in itinere e un’altra in occasione di un appello regolare.
A ogni esercizio/quesito (o problema) teorico di ciascuna prova verrà attribuito un punteggio parziale massimo, in ragione della sua difficoltà e lunghezza; nella valutazione dello studente verrà assegnato un punteggio in corrispondenza di ogni esercizio/quesito (o problema) teorico non superiore a quello massimo previsto, in ragione dell'esattezza, della completezza, del rigore, della chiarezza e dell'organicità dello svolgimento.
L’esatta suddivisione del corso nelle due parti verrà comunicata durante lo stesso e con ampio anticipo rispetto alle prove.
Orario di ricevimento
Su appuntamento
Aims
The aim of the course is to introduce the study of topological spaces by means of their most basic algebraic invariant, that is, the first fundamental group, and to develop the foundations of the theory of differential forms on differential manifolds, which is a much more general and flexible framework than the one considered in Geometry II.
The expected learning outcomes include the following:
- the knowledge and understanding of the basic definitions and statements, as well as of the basic strategies of proof in the theory of first fundamental group and of differential forms; the knowledge and understanding of some of the most relevant basic applications, notably to the study of smooth proper maps between differentiable manifolds; the knowledge and understanding of some of the key foundational examples of the theory;
- the ability to apply the acquired abstract knowledge to the solution of simple computational exercises and theoretical problems, referring in a precise and well-organized manner to the pertinent results being used; the ability to master the algebraic, differential and integral calculus of differential forms, and to use it in the some simple practical situations, such as the study of the first fundamental group of some simples spaces and of proper maps between differentiable manifolds; the ability to apply the theoretical background to the construction and discussion of simple examples and solution of exercises; the ability to expose and communicate effectively and clearly the theoretical content of the course.
Contents
Topological coverings and first fundamental group; differentiable manifolds; tangent bundles; vector fields and their associated flows; differentiable manifolds; Stokes ‘ Theorem; De Rham theory; proper maps and degree theory.
Detailed program
Topological coverings and the universal cover; first fundamental group; lifting theorems; Seifert-Van Kampen Theorem; differentiable manifolds; vector fields and tangent bundles; differential forms; pull-back and differential; exterior derivative; Lie derivative and Cartan’s magic formula; oriented manifolds and integration; smooth domains and Stokes’ Theorem; proper maps and degree theory; proper homotopies; applications (e.g., retractions, vector fields on spheres).
Prerequisites
The content of the courses of Analysis I and II, Linear Algebra and Geometry, Geometry I and II.
Teaching form
Lectures: 6 CFU
Textbook and teaching resource
Reference text: teacher's notes on e-learning
Recommended reading:
the following books are especially pertinent to the content of this course:
- V. Guillemin and P. Haine, Differential forms, World Scientific 2019
- W. Fulton, Differential Topology, a first course, Springer Verlag 1995
· M. Do Carmo, Differential forms and applications, Springer
Verlag 1996;
· V. Guillemin, A. Pollack,
Differential Topology 1974;
· .
Semester
2nd semester
Assessment method
During the course, two written partial tests will be offered, each referred to one half of the course. Each partial test will consist of a balanced flexible combination of computational exercises and theoretical questions. The exercises and theoretical questions in these tests will be along the lines of those offered in the practical and theoretical tests of the regular exam sessions (see below). The two partial tests will contribute equally to the final grade. To pass the exam through the partial tests, the student needs to pass each of them, thus obtaining a grade of at least 18/30 in both.
Alternatively, students may pass the exam through the regular exam sessions that follow the end of the course, and exactly the same pattern will be offered in every exam session. Thus, each session comprises two written tests, each referred to one half of the course, and consisting of a balanced combination of computational exercises and theoretical questions. The theoretical questions will involve definitions, statements of theorems, proofs, construction of examples and counterexamples, and simple theoretical problems.
The exercises will measure the student's ability to master the acquired formalism and apply it to some simple computations, to build on the acquired theoretical knowledge, and to invoke it in a pertinent and precise manner.
The theoretical questions will evaluate the knowledge and understanding of the conceptual framework of the course, as well as the ability to expose it in a well-organized, consistent and effective manner.
In order to pass the exam in one of the regular sessions, the student needs to obtain a grade of at least 18/30 in each of the two texts, which will contribute equally to the final grade. The two tests needn’t be undertaken in the same session. It is also allowed to pass one the tests during the course and the other in a regular exam session.
To each exercise/theoretical question (or problem) a maximum partial grade will be assigned by the commission, depending on its difficulty and length. In the evaluation, every student will be given a grade in correspondence to each exercise/theoretical question (or problem) up to the maximum one, measuring the exactness, the completeness, the rigour, the clarity and the overall coherence of the development.
The exact subdivision of the course in two parts will be communicated well in advance during its duration.
Office hours
Upon appointment.