- Area Economico-Statistica
- Corso di Laurea Triennale
- Statistica e Gestione delle Informazioni [E4102B]
- Insegnamenti
- A.A. 2019-2020
- 2° anno
- Analisi Matematica II
- Introduzione
Syllabus del corso
Obiettivi formativi
Lo scopo di questo insegnamento è fornire una preparazione rigorosa sulle serie di Fourier e sul calcolo differenziale ed integrale in d variabili, con un particolare accento sui problemi in molte variabili.
Conoscenza e comprensione
Questo insegnamento fornisce conoscenze e capacità di comprensione relativamente a:
- Problemi nei quali l'analisi di Fourier ha un ruolo significativo
- Regolarità delle funzioni di più variabili e studio delle loro principali proprietà e applicazioni
- Natura e proprietà degli integrali di più variabili rilevanti in statistica
Alla fine dell'insegnamento e del loro lavoro personale le studentesse / gli studenti saranno in grado di:
- Approssimare funzioni periodiche attraverso polinomi trigonometrici; applicare la legge di Benford allo studio, ad esempio, delle frodi fiscali
- Usare il calcolo differenziale in più variabili per studiare problemi di massimo e minimo, ad esempio la retta di regressione
- Usare il calcolo integrale in più variabili per studiare problemi di media, ad esempio il metodo Monte Carlo
- Capire la peculiarità che alcuni problemi di carattere geometrico o probabilistico mostrano quando la dimensione dello spazio è molto grande
L'insegnamento consente alle studentesse / agli studenti di acquisire solide basi nell'uso delle serie di Fourier e del calcolo differenziale e integrale in più variabili, necessarie in qualsiasi contesto lavorativo e che rappresentano una base imprescindibile per il prosieguo del percorso universitario.
Contenuti sintetici
Serie di Fourier.
Calcolo differenziale in R^d.
Integrazione in R^d.
Programma esteso
Serie di Fourier. Legge di Benford.
Calcolo differenziale in più variabili. Derivate parziali, differenziabilità, gradiente e piano tangente.
Massimi e minimi liberi. Derivate successive, polinomi di Taylor, matrice Hessiana. Retta di regressione.
Massimi e minimi vincolati. Funzioni definite implicitamente. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
Funzioni convesse.
Integrazione in R^d. Cambi di variabili.
Metodo Monte Carlo.
Integrali generalizzati. Integrazione di funzioni radiali su R^d.
Prerequisiti
Avere superato gli esami di Analisi Matematica I e Algebra Lineare.
Metodi didattici
Lezioni in aula. L'insegnamento è affiancato da attività di tutoraggio in cui si svolgono esercitazioni pratiche. Sono periodicamente assegnati numerosi esercizi da svolgere a casa, che vengono corretti individualmente.
Modalità di verifica dell'apprendimento
Esame scritto ed esame orale obbligatorio.
Non ci sono prove intermedie.
Un esito inferiore a 15 della prova scritta preclude l'ammissione alla prova orale corrispondente.
La prova scritta consiste di esercizi relativi al programma dell'insegnamento. Alla pagina https://elearning.unimib.it/course/view.php?id=19499 sono reperibili i testi e le soluzioni dettagliate di tutte le prove scritte a partire dal 2006.
Scopo della prova scritta è verificare la capacità di svolgere in forma corretta e completa esercizi di analisi di Fourier ed esercizi di calcolo in più variabili, evidenziando sia la capacità di calcolo sia la capacità di ragionamento e di utilizzo autonomo di strumenti acquisiti seguendo l'insegnamento. Per questo durante la prova scritta è possibile consultare libri o appunti, ma non è consentito utilizzare alcun tipo di calcolatrice. La prova orale permette di capire meglio il livello di comprensione e padronanza della materia acquisito dalle studentesse / dagli studenti. Durante la prova orale, che in parte consiste in risposte scritte ad alcune domande relative alla teoria, si richiede la conoscenza e la comprensione delle dimostrazioni dei teoremi svolte durante le lezioni, e la capacità di esporre e discutere le definizioni e le tecniche di calcolo introdotte. In relazione all'esito della prova scritta, durante la prova orale può essere richiesto anche lo svolgimento di esercizi.
Testi di riferimento
M. Bramanti, C. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 2, Zanichelli.
M. Bramanti, Esercizi di Calcolo Infinitesimale e Algebra Lineare, Seconda Edizione, Progetto Leonardo, Esculapio.
M. Boella, Analisi Matematica 2, Pearson.
Appunti, video di tutte le lezioni e centinaia di esercizi svolti sono disponibili a
http://elearning.unimib.it/course/view.php?id=19499
Periodo di erogazione dell’insegnamento
Primo semestre. Primo ciclo (da settembre a novembre).
Lingua di insegnamento
Italiano
Learning objectives
This course mainly aims at providing a rigorous introduction to Fourier series and to the differential and integral calculus of functions of d variables, with an emphasis on the case of very large d.
Knowledge and understandingThis course provides knowledge and understanding of:
- Problems where Fourier Analysis plays a role
- Regularity of functions of several variables: properties and applications
- Nature and properties of multiple integrals which are relevant in Statistics
Ability to apply knowledge and understanding
At the end of the course and of their personal work the students will be able to:
- Use trigonometric approximations of periodic functions; to apply Benford's law to investigate, e.g., fiscal frauds
- Apply differential calculus in several variables to maxima/minima problems, e.g. linear regression
- Use integral calculus in several variables to study mean value problems, e.g. the Monte Carlo method
- Understand the peculiarity of several geometric and probabilistic problems when the dimension of the space is very large
The course provides a solid background of Fourier series and differential and integral calculus in several variables, needed in every working environment. Moreover such a background is absolutely necessary for the completion of statistical studies.
Contents
Fourier series.
Differential calculus on R^d.
Integral calculus on R^d.
Detailed program
Fourier series, Benford’s law.
Differential calculus on R^d.
Partial derivatives and differentiability.
Maxima and minima (with or without constraint), Lagrange multipliers.
Taylor expansion, Hessian matrix. Linear regression.
Convex functions
Integral calculuse on R^d.
Changes of variables.
Monte Carlo method.
Improper integrals.
Integration of radial functions on R^d.
Prerequisites
Differential and integral calculus in one variable. Linear Algebra.
Teaching methods
Lessons in class, tutoring in class for practising exercises. Each student is requested to do a periodical assignment which will be corrected.
Assessment methods
Written and (compulsory) oral exam.
No midterm exam.
The result of the written exam below grade 15 precludes the admission to the corresponding oral exam.
The written exam consists of math exercises concerning the content of the course. At http://elearning.unimib.it/enrol/index.php?id=19499 texts and detailed solutions of all the written exams starting from 2006 are available.
The aim of the written exam is to check the ability to solve calculus problems in a correct and detailed way, and to show math skills and ability of reasoning and applying the tools provided during the course. For this reason the students are allowed to consult books or personal notes during the written exam, but they are not allowed to use calculators. The oral exam gives a definitely better understanding of how the students master the topics of the course. The oral exam consists partly of a written test concerning the theory of the course, checks knowledge and understanding of the proofs of the theorems presented during the course, as well as the ability to introduce and discuss definitions and computational techniques. The solutions of few exercises can be part of the oral exam, depending on the outcome of the written exam.
Textbooks and Reading Materials
M. Bramanti, C. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 2, Zanichelli.
M. Bramanti, Esercizi di Calcolo Infinitesimale e Algebra Lineare, Seconda Edizione, Progetto Leonardo, Esculapio.
M. Boella, Analisi Matematica 2, Pearson.
Notes, videos of all the lessons and hundreds of solved tasks at http://elearning.unimib.it/course/view.php?id=19499
Semester
First semester (from September to November).
Teaching language
Italian
Scheda del corso
Staff
-
Giancarlo Travaglini