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  5. A.A. 2020-2021
  6. 2nd year
  1. Algebraic Topics For Computer Science
  2. Summary
Insegnamento Course full name
Algebraic Topics For Computer Science
Course ID number
2021-2-E3101Q129
Course summary SYLLABUS

Course Syllabus

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Obiettivi

Lo studente sarà in grado di utilizzare alcuni strumenti dell'algebra astratta per risolvere ed analizzare alcuni problemi legati al mondo dell'informatica. Ad esempio, i fondamenti che permettono di utilizzare i codici per sistemi di auto correzione di errore, e i fondamenti che vengono utilizzate per garantire la sicurezza dei piu' diffusi sistemi crittografici moderni.

Contenuti sintetici

Introduzione alle strutture algebriche di base. Aritmetica modulare, campi finiti e gruppi di permutazioni. Breve introduzione alla crittografia. Teoria dei codici, codici lineari ed esempi classici di codici lineari.

Programma esteso

Richiami di base di aritmetica. Teorema fondamentale dell'aritmetica. Scomposizione in fattori primi. Algoritmo Euclideo delle divisioni successive per il calcolo del massimo comune divisore tra tue interi.  Studio dei tempi di calcolo di questo algoritmo.

Richiami sulle relazioni di equivalenza. Congruenze modulo n. Insieme quoziente Z/nZ. Operazioni su un insieme numerico, strutture algebriche.

Strutture algebriche: gruppi e anelli. Gruppi di permutazioni: numero di permutazioni e proprieta' fondamentali del gruppo simmetrico.

Struttura di Z/nZ . Congruenze lineari. Teorema cinese del resto. Funzione phi di Eulero e il suo uso in problemi di fattorizzazione.

Teorema di Eulero generalizzato. Descrizione del sistema crittografico RSA. Test di primalita'.

Campi finiti: Z_p con p un numero primo. Anello dei polinomi su un campo. Costruzione dei campi finiti a partire dall'anello dei polinomi.

 Introduzione ai codici correttori di errore e ai codici lineari.


Prerequisiti

Sono necessarie le conoscenze matematiche della scuola media superiore e i contenuti del corso di Fondamenti dell'Informatica.

Modalità didattica

Lezioni frontali, esercitazioni, studio individuale supportato da materiali didattici in e-learning. Il corso e' erogato in italiano. Nel periodo di emergenza Covid-19 le lezioni si svolgeranno completamente da remoto sincrono e asincrono con alcuni eventi in presenza fisica.

Materiale didattico

Note del corso disponibili  sulla piattaforma e-learning.

Testi di riferimento:

Elementi di Matematica Discreta e Algebra Lineare, Francesca Dalla Volta e Marco Rigoli, Pearson Education.

A Course in Number Theory and Cryptography, Neal Koblinz, Springer Verlag.


Periodo di erogazione dell'insegnamento

Primo semestre.

Modalità di verifica del profitto e valutazione

Esame scritto.

L'esame scritto consiste in 

a) domande a risposta aperta di ragionamento e deduzione
b) nella risoluzione di esercizi che richiedono calcolo o sviluppo di una
soluzione ad un problema assegnato. 

Prove parziali

Sono previste verifiche parziali a meta' corso e a fine corso che consistono in 

a) domande a risposta aperta di ragionamento e deduzione

b) nella risoluzione di esercizi che richiedono calcolo o sviluppo di una soluzione a un problema dato. 

Il superamento delle prove parziali  sostituisce  l'esame scritto. 

Esame orale: facoltativo

Nel periodo di emergenza Covid-19 gli esami orali saranno solo telematici. Verranno svolti utilizzando la piattaforma WebEx e nella pagina e-learning dell'insegnamento verrà riportato un link pubblico per l'accesso all'esame di possibili spettatori virtuali.

Valutazione: voto finale

Orario di ricevimento

Su appuntamento.

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Aims

At the end of the course the student is able to apply some results from abstract algebra to analyse and solve problems related to computer science. For instance, the basic rules used in the error-correcting codes, and the basic rules used to guarantee a high level of security in the modern cryptographic systems.

Contents

Introduction to the elementary algebraic structures. Modular arithmetic, finite fields and permutation groups. Brief introduction to cryptography. Coding theory, linear codes and classical examples of linear codes.

Detailed program

Basic Arithmetic. Fondamental theorem of arithmetic. Decomposition of a number in prime factors.

Review of Equivalence Relations. Congruences modulo n. Quotient sets and the example Z/nZ. Review of the basic operations in number field. Algebraic structures.

Algebraic structures: groups and rings. Permutation groups: number of permutations and basic properties of the symmetric group.

The algebraic structure of the ring Z/nZ . Linear congruences and the Chinese remainder theorem. The Euler phi-function and its application to factorization problems.

Generalized Euler's theorem. Introduction on the RSA. Primality tests.

Finite fields: Z_p, with p a prime number.The ring of polynomials in one variable. Construction of finite fields using the polynomial rings.

Introduction to error-correcting  codes and linear codes.


Prerequisites

The student is supposed to be familiar with the mathematics studied in High School and with the mathematical contents in the course Fondamenti dell'Informatica

Teaching form

Lectures, exercise classes, personal study supported by the e-learning platform. The course is delivered in italian. 

Textbook and teaching resource

Course notes avalaible on the e-learning platform.

Textbooks:

Elementi di Matematica Discreta e Algebra Lineare, Francesca Dalla Volta e Marco Rigoli, Pearson Education.

A Course in Number Theory and Cryptography, Neal Koblinz, Springer Verlag.


Semester

First semester.

Assessment method

Written exam.

The written exam consists in  

a) open-ended reasoning questions 

b) solving  numerical exercises or   problems

Mid-term and  end of term exams are provided. They consist in 

a) open-ended reasoning  questions 

b) solving  numerical  exercises or  problems

The mid-term and end of term exams  substitute the written exam.

Oral exam: optional

Assessment: final mark 

Office hours

On appointment.

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Key information

Field of research
MAT/02
ECTS
8
Term
First semester
Activity type
Mandatory to be chosen
Course Length (Hours)
68
Degree Course Type
Degree Course

Staff

    Teacher

  • MA
    Marina Avitabile

Students' opinion

View previous A.Y. opinion

Bibliography

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Enrolment methods

Manual enrolments
Self enrolment (Student)
Self enrolment (Student)

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