Course Syllabus
Obiettivi
Gli studenti devono comprendere gli aspetti teorici e le applicazioni analitiche di base della teoria della misura e dell'integrazione. In particolare devono impadronirsi anche in modo operativo dei teoremi di convergenza.
Contenuti sintetici
- Problemi dell'integrale di Riemann rispetto al passaggio al limite.
- Algebre, sigma-algebre e misure. Funzioni misurabili.
- Misure esterne, premisure, teorema di estensione. Misure di Borel e Lebesgue.
- Integrazione astratta. Teoremi di convergenza
- Integrazione in più variabili. Teorema di Fubini-Tonelli. Cambio di variabili.
- Completezza di L1.
Programma esteso
- Integrale di Riemann (richiami). Sue limitazioni e i problemi con il passaggio al limite. Necessità di un integrale più adatto alle operazioni di limite. Una strategia e un ostacolo, l'insieme di Vitali.
- Teoria della misura astratta. Algebre, sigma-algebre e misure. Proprietà di base ed esempi. Misure complete. La sigma-algebra di Borel. Sigma-algebra prodotto. Funzioni misurabili. Funzioni semplici. Misurabilità del limite puntuale di una successione di funzioni misurabili. Funzioni misurabili come limite puntuale di funzioni semplici.
- Come costruire le misure "importanti". Misure esterne. Una procedura standard per costruire misure esterne. Condizione e teorema di Caratheodory. Premisure e teorema di estensione. Misure di Borel e di Lebesgue.
- Integrazione astratta. Definizione di integrale per le funzioni non negative. Teorema di convergenza monotona, Lemma di Fatou. Integrazione delle funzioni a valori complessi. Teorema di convergenza dominata.
- Integrazione in più variabili. Teorema di Fubini-Tonelli. Cambio di variabili.
- Completezza di L1.
Prerequisiti
I corsi di Analisi I e II. È utile una buona conoscenza della topologia generale e una certa familiarità con l'algebra.
Modalità didattica
Lezioni frontali, possibilmente telematiche se l'emergenza Covid 19 dovesse protrarsi.
Materiale didattico
Appunti del docente, temi d'esame e materiale didattico degli anni precedenti.
Principale testo di riferimento: Folland, Real Analysis, Wiley
Altri testi:
- Ambrosio - Da Prato - Mennucci, Introduction to Measure Theory and Integration, Edizioni della Normale.
- Rudin, Real and Complex Analysis,
- Stein - Shakarchi, Real Analysis, Measure Theory, Integration and Hilbert spaces, Princeton
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Secondo semestre. Marzo-Giugno 2021.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L'esame consiste di uno scritto di esercizi e di un orale di teoria. E' necessario superare lo scritto per essere ammessi all'orale. Durante la prova orale potrà anche essere discusso lo scritto.
Per superare l'esame lo studente dovrà conoscere e saper usare i teoremi di convergenza, avere un quadro sufficientemente chiaro e preciso della teoria astratta della misura e dell'integrazione e delle misure di Borel e Lebesgue in una e più dimensioni. Il voto sarà tanto più alto quanto meglio lo studente saprà enunciare e dimostrare i teoremi più importanti.
La prova scritta e quella orale concorrono in uguale misura nella determinazione del voto finale.
Nel corso dell' anno accademico sono previsti sei appelli d'esame: giugno, luglio. settembre, novembre, febbraio/marzo, aprile.
Seguendo le indicazioni delle autorità sanitarie, se dovesse perdurare la crisi Covid 19, gli esami (scritti e orali) si svolgeranno in forma telematica secondo modalità tecniche che verranno chiarite agli studenti poco prima delle prove.
Orario di ricevimento
Per appuntamento, preferibilmente il giovedì dalle 14.00 alle 16.00
Aims
The students should understand the theoretical aspects and the basic analytic applications of Measure and Intrgration Theory. In particular they should master the Convergence Theorems.
Contents
- The Riemann integral and the problems with passing to the limit.
- Algebras, sigma-algebras and measures. Measurable functions.
- Outer measures, premeasures, extension theorem. Borel and Lebesgue measures.
- Abstract integration. Convergence theorems
- Integration in several variables. Fubini-Tonelli theorem. Change of variables.
- Completeness of L1.
Detailed program
- The Riemann integral (an overview) and the problems with passing to the limit. Need of an integral better suited to deal with pointwise convergence of sequences of functions. A possible approach and an obstacle: Vitali's set.
- Abstract measure theory. Algebras, sigma-algebras and measures. Basic properties and examples. Complete measures. Borel sigma-algebra. Product of sigma-algebras. Measurable functions. Simple functions. Measurability of the pointwise limit of a sequence of measurable functions. Measurable functions as pointwise limit of simple functions.
- How to construct relevant measures. Outer measures and a way to generate some of them. Caratheodory condition and theorem. Premeasures and the extension theorem. Borel and Lebesgue measures.
- Abstract integration. Integration of non negative functions. Monotone convergence theorem, Fatou's Lemma. Integration of complex valued functions. The dominated convergence theorem.
- Integration in several variables. Fubini-Tonelli theorem. Change of variables.
- Completeness of L1.
Prerequisites
The basic courses in Analysis of one and several real variables. A good knowledge of general topology and some abstract algebra are also recommended.
Teaching form
Frontal teaching, possibly in telematic form if the Covid 19 emergency should require it.
Textbook and teaching resource
Notes from the instructor, collections of previous written tests, teaching resource from past years.
Main reference text: Folland, Real Analysis, Wiley
Other texts:
- Ambrosio - Da Prato - Mennucci, Introduction to Measure Theory and Integration, Edizioni della Normale.
- Rudin, Real and Complex Analysis,
- Stein - Shakarchi, Real Analysis, Measure Theory, Integration and Hilbert spaces, Princeton
Semester
Spring semester. March-June 2021.
Assessment method
The exam consists of a written part (exercises) and an oral part about the theory. Passing the written test is mandatory to be admitted to the oral part. During the oral exam there can be a dicussion of the written test..
To pass the exam is required: knowledge and correct use of the convergence theorems; a clear and precise picture of the abstract theory of measure and integration; a good understanding of Borel and Lebesgue measures in one and higher dimensions. The grade will depend on the way the student will be able to state and prove the main theorems.
The written and oral tests concur with equal weight to the grade.
There will be six exam sessions in the academic year: june, july, september, november, february/march, april.
If the Covid 19 emergency will require it, the two part of the exam will be administered in telematic form. The necessary technical instructions will be given to the students shortly before the tests.
Office hours
By appointment, mostly on thursdays 14.00 - 16.00.
Key information
Staff
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Luigi Fontana