Syllabus del corso
Obiettivi
Obiettivo dell’insegnamento è fornire allo studente un secondo corso di Matematica di base (Algebra Lineare e Analisi Matematica)
Contenuti sintetici
Elementi di algebra lineare. Funzioni di più variabili. Integrali di linea. Equazioni differenziali ordinarie.
Programma esteso
Elementi di algebra lineare. Vettori e geometria dello spazio Euclideo. Rette e piani nello spazio. Matrici. Determinanti. Sistemi lineari: la regola di Cramer ed il metodo di eliminazione di Gauss. Forme quadratiche.
Funzioni di più variabili. Limiti e continuità. Derivate parziali. Differenziabilità, piano tangente e approsimazione lineare. Derivata direzionale e gradiente. Derivata di funzioni composte. Curve e superfici di livello. La formula di Taylor. Massimi, minimi e punti sella. Vincoli e moltiplicatori di Lagrange.
Integrali di linea. Curve nello spazio. Lunghezza di una curva ed integrali di linea di funzioni scalari. Campi vettoriali e integrali di linea di II specie. Indipendenza dal cammino, funzioni potenziali, campi conservativi e forme esatte.
Equazioni differenziali ordinarie. Separazione delle variabili. Equazioni differenziali lineari. Independenza lineare delle soluzioni, il Wronskiano. Il metodo di variazioni delle costanti. Il caso di coefficienti constanti. Sistemi di equazioni differenziali del primo ordine. Curve integrali. Sistemi di due equazioni lineari a coefficienti costanti: il caso di autovalori reali. Aspetti qualitativi della teoria delle equazioni differenziali ordinarie.
Prerequisiti
Matematica I
Modalità didattica
- Lezione frontale, 6 CFU
- Esercitazione, 2 CFU
Materiale didattico
1. Appunti forniti dal docente.
2. James Stewart: Calcolo vol II - Funzioni di più variabili, (Apogeo, Milano).
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Secondo semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L'esame consiste in una
prova scritta ed una orale. Tipicamente la prova scritta consiste nello svolgimento di sei esercizi: un esercizio di algebra lineare, 3 esercizi di calcolo differenziale, il calcolo di un integrale di linea o del potenziale di un campo vettoriale conservativo, la soluzione di un'equazione differenziale o di un sistema di equazioni differenziali. L'ammissione all'orale richiede un punteggio complessivo nella prova scritta non inferiore a 15 punti.
La prova orale deve essere sostenuta nella stessa sessione d'esame in cui è stata sostenuta la prova scritta o in quella successiva.
Orario di ricevimento
Su appuntamento.
Aims
The aim of this course is to provide a second course in Mathematical Analysis with elements of Linear Algebra.
Contents
Elements of linear algebra. Functions of several variables. Line integrals. Ordinary differential equations.
Detailed program
Elements of linear algebra. Vectors and geometry in the Euclidean space. Lines and planes. Matrices. Determinant. Linear systems: Cramer’s rule and Gaussian elimination. Quadratic forms.
Functions of several variables. Limits and continuity. Partial derivatives. Differentiability, tangent planes and linear approximations. Directional derivatives and gradient. The chain rule. Surfaces and level curves. Taylor’s formula. Maxima, minima, and saddle points. Constraints and Lagrange multipliers.
Line integrals. Curves in the space. Length of a curve and line integrals for scalar functions. Vector fields and line integrals. Path independence, potentials function, conservative vector fields and exact forms.
Ordinary differential equations. Separation of variables. Linear differential equations. Linear independence of the solutions, the Wronskian. The variation of the constants method. The case of constant coefficients. Systems of first order ordinary differential equations. Integral
curves. Systems of two linear equations with constant coefficients: the case of real eigenvalues. Qualitative aspects of the theory of ordinary differential equations.
Prerequisites
The course of Mathematics I
Teaching form
- Lessons, 6 credits
- Classes, 2 credits
Textbook and teaching resource
1. Lecture notes.
2. James Stewart: Multivariable Calcululs.
Semester
Second semester
Assessment method
Written
and oral examination. Usually the written examination consists in the solution of 6 problems: one problem of linear algebra, two problems of differential calculus, a line integral or the computation of the potential of a conservative vector field, a differential equation (or a system of differential equations). Minimum score to pass to the oral part: 15 points.
The oral examination can be performed in the same session of the written part, as well as in the subsequent session.
Office hours
By appointment.
Scheda del corso
Staff
-
Paolo Lorenzoni