- Differential Geometry
- Summary
Course Syllabus
Obiettivi
Lo scopo dell'insegnamento è introdurre lo studente alla teoria delle varietà riemanniane, ossia le varietà differenziali dotate di una metrica riemanniana, che consiste nell’assegnazione di un prodotto scalare euclideo a ogni spazio tangente, che vari in modo liscio con il punto base. Il corso si propone di far familiarizzare lo studente con gli strumenti di base della geometria differenziale, a partire dalla nozione essenziale di connessione - la generalizzazione a varietà astratte della derivata di un campo vettoriale - insieme ai concetti annessi di geodetiche e curvatura. Si introdurrà inoltre il linguaggio dei gruppi di Lie, che permette di descrivere le simmetrie di una metrica riemanniana a livello infinitesimo (gruppo di olonomia) e a livello globale (gruppo di isometrie).
I risultati di apprendimento attesi includono:
- la conoscenza e la comprensione delle definizioni e degli enunciati fondamentali, nonché delle strategie di dimostrazione basilari utilizzate in geometria differenziale; la conoscenza e la comprensione di alcuni esempi chiave in cui si esplica la teoria;
- la capacità di applicare le conoscenze astratte acquisite alla risoluzione di semplici esercizi di calcolo e problemi teorici, richiamando in modo corretto e conseguente i risultati utilizzati; la capacità di applicare il bagaglio concettuale appreso alla costruzione e discussione di esempi concreti e alla risoluzione di semplici esercizi; la capacità di esporre, comunicare e argomentare in modo chiaro, pertinente e preciso i contenuti teorici del corso.
Contenuti sintetici
Metriche e distanza riemanniana, connessioni e curvatura, geodetiche e mappa esponenziale, gruppi e algebre di Lie, metriche invarianti, gruppo di isometrie e gruppo di olonomia.
Prerequisiti
Calcolo differenziale in più variabili, nozioni di base sulle varietà differenziabili, algebra lineare e multilineare.
Modalità didattica
Lezioni frontali (8 CFU)
Fino all’esaurimento della corrente emergenza sanitaria, le lezioni del presente insegnamento si svolgeranno completamente da remoto, mediante lezioni videoregistrate sincrone e/o asincrone, che saranno disponibili agli studenti sulla piattaforma e-learning. Ai fini di facilitare il coinvolgimento degli studenti, le lezioni da remoto verranno integrate calendarizzando alcuni eventi che potranno svolgersi da remoto in videoconferenza sincrona, oppure in presenza, con gli studenti suddivisi in gruppi, ove opportuno.
Materiale didattico
J. Lee. Introduction to Riemannian manifolds. Springer.
P. Petersen, Riemannian geometry. Springer.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Secondo semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Esame orale.
La prova orale consisterà nello svolgimento di un breve esercizio e in alcune domande teoriche. L'esercizio consisterà in un calcolo esplicito di uno degli oggetti introdotti durante il corso (per esempio, la curvatura di una metrica assegnata). Le domande teoriche verteranno su
definizioni, enunciati di teoremi, dimostrazioni, costruzione di esempi e
controesempi e semplici problemi teorici.
Fino all’esaurimento della corrente emergenza sanitaria, la prova d’esame si svolgerà da remoto mediante la piattaforma WebEx o analogo, con accesso reso disponibile dalla pagina e-learning dell’insegnamento.
Orario di ricevimento
A causa dell'emergenza sanitaria, il ricevimento si svolgerà in modalità telematica mediante piattaforma WebEx o analoga.
Aims
The aim of the course is to introduce the student to the theory of Riemannian manifolds, namely differentiable manifolds endowed with a Riemannian metric, consisting of a Euclidean scalar product assigned to each tangent space, depending smoothly on the base point. The course aims at making the student familiar with the basic tools of differential geometry, starting from the essential notion of connection - the generalization to abstract manifolds of the derivative of a vector field - along with the related concepts of geodesics and curvature. The language of Lie groups will then be introduced, enabling one to describe the symmetries of a Riemannian metric at the infinitesimal (holonomy group) and global level (isometry group).
The expected learning outcomes include the following:
- the knowledge and understanding of the basic definitions and statements, as well as the basic strategies of proof in differential geometry; the knowledge and understanding of some of the key examples in which the theory manifests itself;
- the ability to apply the acquired abstract knowledge to the solution of simple computational exercises and theoretical problems, referring in a precise and well-organized manner to the pertinent results; the ability to apply the theoretical background to the construction and discussion of simple examples and solution of simple exercises; the ability to expose and communicate effectively and clearly the theoretical content of the course.
Contents
Riemannian metrics and distance, connections and curvature, geodesics and exponential map, Lie groups and algebras, invariant metrics, isometry group and holonomy group.
Detailed program
Vector bundles. Connections, torsion, geodesics, exponential map. Riemannian manifolds, Levi-Civita connection. Curvature of a connection; Bianchi identities; sectional, Ricci and scalar curvature. Curvature of a submanifold; Teorema Egregium. Lie algebras; adjoint representation. Lie groups; Lie group - Lie algebra correspondence. Invariant metrics on a Lie group. Holonomy group; Ambrose-Singer theorem, De Rham theorem. Killing fields and isometry group.
Prerequisites
Differential calculus in several variables, basic notions of differentiable manifolds, linear and multilinear algebra.
Teaching form
Lectures (8 CFU)
Pending the current health emergency, lectures will be held remotely, in the form of recorded lectures, either synchronous or asynchronous, which will be made available to the students on the e-learning webpage. In order to improve student involvement, online lectures will be integrated with synchronous events which may be held remotely by videoconference, or, if appropriate, in the lecture room, with students divided in groups.
Textbook and teaching resource
J. Lee. Introduction to Riemannian manifolds. Springer.
P. Petersen, Riemannian geometry. Springer.
Lecture notes on the e-learning webpage.Semester
Second semester
Assessment method
Oral exam
The oral exam will consist in a short exercise and some theoretical questions. The exercise will consist in an explicit computation of one of the objects introduced during the course (for instance, the curvature of a given metric). Theoretical questions will cover definitions, theorem statements, proofs, construction of examples or counterexamples and simple theoretical problems.
Pending the current health emergency, the exam will be held remotely through WebEx or similar, with access made available on the e-learning webpage of the course.
Office hours
By appointment. Due to the current health emergency, student reception will be carried out online through WebEx or analogous.
Key information
Staff
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Diego Conti