- Analisi Reale ed Equazioni Differenziali
- Introduzione
Syllabus del corso
Obiettivi
Contenuti sintetici
Teoria spettrale per operatori autoaggiunti e compatti. Equazioni ellittiche: regolarità, principi del massimo, autovalori e autofunzioni del Laplaciano. Intergrale di Bochner. Equazioni alle derivate parziali di tipo parabolico e iperbolico. Sistemi iperbolici del primo ordine.
Programma esteso
Teoria spettrale: Definizioni di operatori aggiunti, autoaggiunti, compatti, spettro. Proprietà. Spettro di un operatore compatto. Teorema di decomposizione spettrale per operatori compatti autoaggiunti. Teorema dell'alternativa di Fredholm.
Equazioni ellittiche del secondo ordine: operatori ellittici, soluzioni classiche e deboli, regolarità delle soluzioni deboli, principi del massimo, autovalori e autofunzioni del Laplaciano.
Integrale di Bochner: Definizione, principali caratteristiche e spazi di Sobolev definiti tramite l'integrale di Bochner.
Equazioni di tipo parabolico: Soluzione fondamentale dell'equazione del calore e suo utilizzo. Principio di Duhamel. Soluzioni deboli per equazioni paraboliche del secondo ordine. Stime dell'energia, esistenza e unicità di soluzioni deboli. Regolarità. Principio del massimo. Equazioni paraboliche semilineari e metodo del punto fisso di Banach.
Equazioni di tipo iperbolico: Metodo delle caratteristiche applicato all'equazione del trasporto e ai sistemi lineari iperbolici di equazioni differenziali a coefficienti costanti.
Prerequisiti
Risultati principali dell'analisi funzionale, operatori lineari limitati tra spazi di Banach, topologie deboli, spazi di funzioni continue e holderiane, spazi Lp, loro duali e rispettive proprietà, spazi di Sobolev e teoremi di immersione.
Modalità didattica
Lezioni frontali in Aula in cui si illustrano definizioni, risultati ed esempi rilevanti (talvolta anche legati ad applicazioni extra-matematiche).
Corso erogato in lingua italiana con possibilità di erogazione in lingua inglese in caso di richiesta/presenza di studenti stranieri.
Fino all’esaurimento della corrente emergenza sanitaria, le lezioni del presente insegnamento si svolgeranno completamente da remoto, mediante lezioni videoregistrate asincrone, che saranno disponibili agli studenti sulla piattaforma e-learning. Se richiesti dagli studenti o ritenuti utili dal docente, potranno aver luogo eventi in videoconferenza sincrona, eventualmente ristretti a piccoli gruppi di frequentanti.
Materiale didattico
- A. Bressan. Hyperbolic systems of conservation laws: the one-dimensional Cauchy problem. Vol. 20. Oxford University Press on Demand, 2000.
- A. Bressan. Lecture Notes on Functional Analysis. With applications to linear partial differential equations. American Mathematical Society, 2013.
- H. Brezis. Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Springer Science and Business Media, 2010.
- L. C. Evans, Partial Differential Equations, AMS Graduate Studies in Mathematics, Vol.19. Second Edition, Providence 2010.
- D. Gilbarg, N. S. Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order, Reprint of the 1998 edition. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2001.
Pagina del corso: https://elearning.unimib.it/course/view.php?id=25417
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Secondo semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Saggio breve in forma scritta. Voto in trentesimi. All'esame viene richiesto di svolgere due temi su tre proposti con due ore di tempo a disposizione. L'esposizione dovrà essere precisa, dettagliata, esauriente e coerente con il tema richiesto e dovrà contenere alcune tra le dimostrazioni più significative. Verrà valutata la capacità di presentare una selezione di dimostrazioni e, soprattutto, la conoscenza critica e operativa delle definizioni e dei risultati presentati durante il corso, anche mediante l’illustrazione di esempi e controesempi.
Nel periodo di emergenza Covid-19, il saggio breve in forma scritta verrà svolto da remoto e sarà seguito da un breve orale in forma telematica utilizzando la piattaforma WebEx; nella pagina e-learning dell'insegnamento verrà riportato un link pubblico per l'accesso all'esame orale di possibili spettatori virtuali.
Orario di ricevimento
Su appuntamento.
Aims
According to the Mathematics Degree educational objectives, the course aim is the introduction to linear partial differential equations with hints to nonlinear ones. The skills needed to understand and analyse the most important techniques in the theory and the ability to solve exercises and problems will be provided.
Contents
Spectral theory for compact and selfadjoint operators. Elliptic equations: regularity, maximum principles, eigenvalues and eigenfunctions of the Laplacian. Bochner integral. Linear parabolic and hyperbolic partial differential equations. Hyperbolic systems of first order equations.
Detailed program
Spectral theory: Definitions of adjoint, selfadjoint, compact operators, spectrum. Properties. Spectrum of compact operators. Spectral decomposition of selfadjoint compact operators. Fredholm alternative.
Second order elliptic equations: elliptic operators, classical and weak solutions, regularity of weak solutions, maximum principles, eigenvalues and eigenfunctions of the Laplacian.
Bochner integral: Definition, main properties and Sobolev spaces defined with the Bochner integral.
Parabolic equations: Fundamental solution for the heat equation and its application. Duhamel's principle. Weak solutions for second order parabolic equations. Energy estimates, existence and uniqueness of weak solutions. Regularity. Maximum principle. The Banach fixed point applied to the study of Semilinear parabolic equations.
Linear hyperbolic equations: The method of characteristics applied to the transport equation and to hyperbolic linear systems of differential equations with constant coefficients.
Prerequisites
Main results in functional analysis, bounded linear operators in Banach spaces, weak topologies, spaces of continuous and H\"older continuous functions, Lp spaces, their duals and properties, Sobolev spaces and immersion theorems.
Teaching form
Lectures in classroom where definitions, results and relevant examples are illustrated (sometimes with relation to extra-mathematical applications as well).
Course delivered in Italian with the possibility of being delivered in English if foreign students request it.
During COVID-19 emergency, lessons will be held remotely asynchronously through videos available on the e-learning platform to enrolled students. If required by the students or considered as appropriate by the teacher, there may take place events in synchronous videoconference, possibly attended by small groups of students.
Textbook and teaching resource
- A. Bressan. Hyperbolic systems of conservation laws: the one-dimensional Cauchy problem. Vol. 20. Oxford University Press on Demand, 2000.
- A. Bressan. Lecture Notes on Functional Analysis. With applications to linear partial differential equations. American Mathematical Society, 2013.
- H. Brezis. Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Springer Science and Business Media, 2010.
- L. C. Evans, Partial Differential Equations, AMS Graduate Studies in Mathematics, Vol.19. Second Edition, Providence 2010.
- D. Gilbarg, N. S. Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order, Reprint of the 1998 edition. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2001.
Semester
Second semester.
Assessment method
Written examination. Mark out of thirty. The student is asked to develop two topics out of three proposed at the examination in two hours. The written discussion must be precise, detailed, comprehensive and consistent with the proposed topic. Moreover it must contain some of the most significant proofs. The ability to present a selection of proofs and, above all, the critical and operational knowledge of the definitions and results presented during the course is evaluated, also by the illustration of examples and counterexamples.
During Covid-19 emergency period, the written examination will be telematic. It will be followed by an
oral session conducted through the WebEx platform. A public
link to allow access to the examination of possible virtual spectators will
be published on the e-learning page of the course.
Office hours
By appointment.