- Methods of Mathematical Physics
- Summary
Course Syllabus
Obiettivi
Il corso è rivolto alla presentazione dei fondamenti matematici e fisici della teoria classica dei campi. Il filo conduttore è lo studio della teoria delle onde: onde lineari e non lineari, dispersive e non dispersive. La prima parte del corso presenta le idee, i principi fondamentali e le equazioni basilari della meccanica dei continui, e, in special modo, della Dinamica dei fluidi. Di questa vengono trattati in dettaglio alcuni modelli specifici. Si trattano i casi nel caso di onde sonore (mettendo in evidenza l'analogia con le onde elettromagnetiche) e onde in acqua. Si introducono i concetti di velocità di fase, velocità di gruppo, pacchetto d'onde, ottica geometrica e equazione dell'iconale. Si passa poi ad un importante capitolo sull'equazione di Schrödinger e sui concetti fondamentali della Meccanica Quantistica. e sulla loro rappresentazione matematica. Il corso termina con lo studio di alcuni aspetti fondamentali di una classe importante di equazioni d'onda non-lineari, ovvero le equazioni solitoniche di tipo Korteweg-de Vries.
I principali risultati di apprendimento attesi sono:
1)
la
conoscenza e la comprensione delle definizioni della dinamica dei fluidi della teoria delle onde e dell'equazione di Schrödinger, delle loro motivazioni fisiche,
dei teoremi fondamentali e delle principali tecniche di dimostrazione degli
stessi.
2) Il riconoscimento e la comprensione delle differenti approssimazioni modellistiche (quali le equazioni costitutive, i processi di linearizzazione e espansione asintotica etc.) utilizzati durante il corso.
3)
la
capacità di applicare questo bagaglio concettuale all’analisi delle diverse applicazioni;
la capacità di esporre, comunicare e argomentare in modo chiaro e preciso sia i
contenuti teorici del corso, sia le loro applicazioni a situazioni specifiche
anche in relazione ad altri ambiti disciplinari.
4) La capacità di integrare le conoscenze acquisite
durante il corso con una elaborazione personale ulteriore, attraverso l’analisi
di temi complementari a quelli presentati durante le lezioni
Contenuti sintetici
Programma esteso
Corpi continui e il loro spazio delle configurazioni. Fluidi e campo di velocità.
Equazioni di Eulero e Navier-Stokes.
Teorema di Bernouilli, flussi attorno ad un ostacolo e teoria dell’ala.
Onde sonore in gasdinamica. Onde elettromagnetiche nel vuoto. Onde di gravità.
Velocità di fase e di gruppo, pacchetto d'onde, ottica geometrica e equazione dell'iconale.
L’equazione di Hamilton-Jacobi come iconale dell’equazione di Schrödinger.
Elementi di base della Meccanica quantistica e loro formulazione matematica.
Onde in
"shallow water": le equazioni di Korteweg - de Vries. Proprietà e metodi disoluzione.
Prerequisiti
Il corso non richiede la frequenza ad alcun altro corso della laurea Magistrale. Sono necessarie le nozioni dei corsi di Analisi I e II, Algebra lineare e Geometria, Fisica I e II e Sistemi Dinamici e Meccanica Classica della laurea triennale. Possono essere utili ai fini del corso quelle presentate nei corsi di Analisi Complessa a Fisica Matematica del terzo anno.
Modalità didattica
Lezioni (8CFU).
Nel periodo di emergenza Covid-19 le lezioni si svolgeranno da remoto in modalità asincrona. Si prevedono eventi in videoconferenza sincrona.
Materiale didattico
Testi di riferimento
Capitoli scelti da:
- G.B. Whitham: Linear and Nonlinear waves, John Wiley & Sons, 1999.
- G. Falkovich, Fluid Mechanics (a short course for physicists). Cambridge University Press, 2011.
- S. Salsa: Partial Differential Equations in Action: from Modeling to theory. Springer, 2008.
- L.A Takhtajan, Quantum Mechanics for Mathematicians, Springer, 2008.
Gli appunti delle lezioni saranno regolarmente pubblicati sulla pagina e-learning del corso.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L'eame è orale ed è diviso il due parti.
La prima parte consiste nella discussione di un breve elaborato scritto preparato autonomamente dallo studente su un argomento scelto tra quelli di una lista fornita entro il termine del corso dal docente. Tale lista comprenderà anche temi complementari a quelli presentati a lezione. La scelta dell'elaborato va comunicata al docente almeno 10 giorni prima della data della discussione, e una copia dell'elaborato va inviata al docente almeno 2 giorni prima di tale data per una valutazione preliminare dello stesso.
Questa parte è rivolta principalmente alla verifica dei punti 3 e 4 dei "risultati di apprendimento attesi" descritti più sopra. Vengono valutati, anche in relazione alla complessità dell'elaborato scelto, la chiarezza espositiva, la capacità di sintesi e la padronanza dell'argomento.
La seconda parte dell'esame (finalizzata alla verifica dei punti 1 e 2 tra i "risultati di apprendimento attesi") consiste nell'esposizione di alcuni argomenti del programma (scelti dal docente).
Il peso relativo delle due parti dell'esame è paritetico ai fini della valutazione.
Fino all’esaurimento della corrente emergenza sanitaria, l’esame si svolgerà da remoto mediante la piattaforma WebEx, con accesso reso disponibile sulla pagina e-learning dell’insegnamento.
Orario di ricevimento
Su appuntamento da richiedersi via e-mail (preferito) o la presente pagina e-learning. In considerazione dell'evoluzione dell'emergenza COVID-19 e/o dell'opportunità, gli incontri potrann svolgersi anche in modalità remota via videoconferenza
Aims
The course presents the physical and mathematical foundations of classical field theory. Its leitmotiv is the theory of wave motion: linear and nonlinear waves, dispersive and nondispersive waves. The first part of the course will discuss the general principles of continuum mechanics, and especially of Fluid Dynamics, some applications and examples of which will be dealt with in details. Wave motion is introduced with sound waves (highlighting the analogy with electromagnetic waves) and water waves. The concepts of phase and group velocity, wave packets, geometric "optics" and eikonal equations will be discussed. Then, an important chapter will be devoted to the Schrödinger equation, on the fundamental concepts of Quantum Mechanics and their mathematical implementation. The last part of the course is devoted to the study of a class of non-linear equations, known as soliton equations of the Korteweg-de Vries type.
The main expected learning outcomes are:
1) The knowledge and understanding of the definitions of fluid mechanics, wave theory and the Schrödinger equation; the knowledge of the physical motivations thereof, of the main theoretical results and of the basic strategies for their proofs.
2) The mastering of the different approximations needed in the modelling processes (such as constitutive equations, linearization processes, asymptotic expansions) discussed during the course.
3) The ability to apply such a conceptual background in the analysis of the various applications; the acquisition/improvement of the skill in presenting and clearly discussing both the theoretical contents of the matter and their implementation in specific situations, possibly related with a broader scientific area.
4) The skill to build on the acquired knowledge by further refinements to be used in the analysis of subjects not fully developed during the lectures.
Contents
Detailed program
Contnuous bodies and their configuration space. Fluids and the velocity field.
Euler and Navier-Stokes equations.
Bernoulli theorem, flows past a body, and aerofoil theory.
Sound waves in gas dynamics. Electromagnetic waves in vacuum. Water gravity waves.
Phase and group speed, wave packets, geometric optics and eikonal equation.
The Hamilton jacobi equation as the eikonal equation to the Schrödinger equation.
Foundations of Quantum Mechanics and their mathematical formulation.
Shallow water waves: the Korteweg de Vries equation. Properties and methods of solution.
Prerequisites
No course of the Master Degree in Mathematics is strictly required for attending the present course. The basic notions of the courses Mathematical Analysis I and II, Linear algebra and Geometry, Physics I and II and Dynamical Systems and Classical Mechanics of the Batchelor Degree are needed. The prior knowledge of the contents of the courses Complex Analysis and Mathematical Physics of the third year of the Batchelor Degree are advisable.
Teaching form
Lectures (8CFU).
During the COVID-19 emergency, videos of the lectures will be posted
on-line. Some events will take place via videoconference meetings.
Textbook and teaching resource
Reference texts:
Selected chapters from:
- G.B. Whitham: Linear and Nonlinear waves, John Wiley & Sons, 1999.
- G. Falkovich, Fluid Mechanics (a short course for physicists). Cambridge University Press, 2011.
- S. Salsa: Partial Differential Equations in Action: from Modeling to theory. Springer, 2008.
- L.A Takhtajan, Quantum Mechanics for Mathematicians, Springer, 2008.
The notes of the lectures will be regularly published on the e-learning page of the course.
Semester
First semester.
Assessment method
The examination is oral, and consists in two parts.
The first part is the presentation of a written homework on a subject chosen within a list provided by the end of the lectures by the instructor. The list will comprise (also) items complementary to those discussed in the lectures. The student should inform the instructor about her/his choice of the subject of the homework at least 10 days befor the discussion date. Also, she/he must send a copy of the homework to the instructor at least 2 days before that date for a preliminary evaluation.
The main aim of this first part mainly regards points 3 and 4 of the above-mentioned "expected learning outcomes". The evaluation will be based the clarity of the exposition, the ability to synthetize the subject as well as the degree of mastering of the subject acquired by the student. In these respects, the complexity of the chosen homework subject will be also taken into account.
In the second part of the examination, the student will be asked to discuss a few of the main points of the program (at the instructor's choice). This part mainly addresses points 1 and 2 of the "expected learning outcomes".
For what the mark is concerned, the relative weight of the two parts is equal.
Until the end of the COVID-19 emergency, the oral examination will be held via a videoconference webex meeting to be hosted from the e-learning page of this course.
Office hours
Meetings whose schedule is to be agreed either via e-mail (preferred) or this e-learning page. According to the evolution of the COVID-19 emergency and/or of the mutual opportunity, such meetings might be held in videoconference.
Key information
Staff
-
Gregorio Falqui