Course Syllabus
Obiettivi
Coerentemente con gli obiettivi formativi del Corso di Studio, l'insegnamento si propone di fornire allo studente le conoscenze riguardanti le definizioni e gli enunciati fondamentali della teoria dell'ottimizzazione e dell'analisi convessa in spazi euclidei. Verranno altresì fornite le competenze necessarie a comprendere e analizzare le principali tecniche e metodi dimostrativi connessi alla teoria, e le abilità utili ad applicarle per risolvere esercizi e affrontare problemi. Una particolare enfasi verrà posta sulla programmazione nonlineare e sui suoi legami con la convessità, e su risultati di dualità.
Contenuti sintetici
Ottimizzazione
finito-dimensionale, elementi di analisi convessa, teoria della dualità, introduzione
alla teoria dei giochi.
Programma esteso
Introduzione all'ottimizzazione statica. Richiami di calcolo differenziale per funzioni di più variabili reali.
Ottimizzazione globale. Teorema di Weierstrass e sue estensioni.
Ottimizzazione locale.
Principio variazionale di Ekeland.
Teoremi dell'alternativa.
Convessità di insiemi.
Funzioni convesse. Proprietà di regolarità.
Minimizzazione di funzioni convesse.
Programmazione non lineare. Teorema di Fritz John.
Lagrangiana e lagrangiana debole associate. Qualificazione dei vincoli.
Moltiplicatore e funzione valore.
Teoria della dualità lagrangiana.
Introduzione alla Teoria dei Giochi. Giochi strategici.
Equilibrio di Nash. Teorema di punto fisso di Kakutani, condizione sufficiente per l'esistenza dell'equilibrio di un gioco strategico.
Giochi a due a somma zero. Estensioni miste per giochi finiti.
Prerequisiti
Le conoscenze di base e i principali risultati di
algebra lineare e analisi in ambito finito-dimensionale.
Modalità didattica
Lezioni frontali alla lavagna.
Fino all’esaurimento della corrente emergenza sanitaria, le lezioni del presente insegnamento si svolgeranno completamente da remoto, mediante lezioni videoregistrate asincrone, che saranno disponibili agli studenti sulla piattaforma e-learning.
Ai fini di facilitare il coinvolgimento degli studenti, le lezioni da remoto verranno integrate calendarizzando alcuni eventi che potranno svolgersi da remoto in videoconferenza sincrona, oppure in presenza, con gli studenti suddivisi in gruppi, ove opportuno.
Parte delle ore sarà dedicata all'illustrazione dei principali risultati della teoria; la rimanente parte sarà dedicata allo svolgimento di esercizi di applicazione della teoria svolta.
Materiale didattico
O. Guler, Foundations of Optimization, Springer, 2010
S. Boyd and L. Vandenberghe, Convex Optimization, Cambridge University Press, 2009 https://web.stanford.edu/~
J. Gonzalez-Diaz, I. Garcia-Jurado and M.G. Fiestras-Janeiro, An Introductory Course on Mathematical Game Theory, American Mathematical Society
Periodo di erogazione dell'insegnamento
II semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Modalità d’esame:
Scritto e/o orale
Prova scritta: consiste in
a) esercizi che permettono al docente di valutare la capacità dello studente di applicare la teoria nella risoluzione di problemi (80%)
b) un quesito di tipo teorico, in cui si chiede allo studente una dimostrazione tra quelle proposte, oppure di fornire in modo completo alcune definizioni, enunciati di teoremi, dando qualche esempio (20%)
Prova orale: la prova orale verte su teoremi e dimostrazioni, di cui viene fornito a fine corso un elenco dettagliato, così come su esercizi teorici; è preceduta da una discussione della prova scritta. Possono sostenere la prova orale solo gli studenti che hanno ottenuto nello scritto una votazione non inferiore a 27. Gli studenti che hanno riportato una votazione superiore a 27 trentesimi e decidono di non sostenere l’esame orale, possono registrare il voto di 27 trentesimi. A coloro che hanno riportato una votazione sufficiente viene registrato il voto: è diritto dello studente non accettare il voto, ma tale decisione deve essere comunicata al docente entro la data indicata ogni volta in coda agli esiti. Tale prova ha un peso relativo del 25%.
In ciascuna prova vengono valutati la correttezza del ragionamento, la chiarezza e il rigore dell'esposizione.
Lo studente che ottiene una valutazione sufficiente nella prova scritta, può rifiutare il voto (dello scritto, o dell'eventuale orale) per non più di due volte.
Fino all’esaurimento della corrente emergenza sanitaria, la prova orale dell’esame si svolgerà da remoto mediante la piattaforma WebEx, con accesso reso disponibile sulla pagina e-learning dell’insegnamento. Gli scritti saranno sorvegliati in modalità remota
Orario di ricevimento
Su appuntamento.
Fino all’esaurimento della corrente emergenza sanitaria, il ricevimento sarà tenuto da remoto mediante la piattaforma WebEx.
Aims
In line with the educational objectives of the Master Degree in Mathematics, the course aims at providing the knowledge about the fundamental concepts and statements of the theory of optimization and convex analysis in the Euclidean setting. It will also build the skills needed to understand and use the most important proving arguments and techniques in the theory and the ability to solve exercises and deal with problems exploiting them. Particular emphasis will be put on the theory of nonlinear programming and its relationship with convexity, as well as some results of duality.
Contents
Finite-dimensional optimization, elements of convex analysis, duality
theory, introduction to game theory
Detailed program
Introduction to optimization problems. Basic calculus tools in Rn.
Unconstrained optimization.
Ekeland variational principle.
Transposition theorems.
Convex analysis for sets and functions.
Nonlinear programming.
Duality theory and convex programming.
Strategic games.
Nash equilibrium.
Two-players zero-sum games.
Mixed strategies in finite games.
Prerequisites
Basic concepts and results of linear algebra and analysis in finite-dimensional spaces.
Teaching form
The lectures will be held in the lecture hall with blackboard.
During the Covid-19 emergency situation, lectures will be recorded (no streaming) and made available to the students on the e-learning page of the course.
If required by the students or judged advantageous by the professor, there may take place events in live streaming, possibly attended by small groups of students.
The teaching hours will be dedicated either to the illustration of the main results in the theory, or to the solution of exercises of applications of the theory.
Textbook and teaching resource
O. Guler, Foundations of Optimization, Springer, 2010
S. Boyd and L. Vandenberghe, Convex Optimization, Cambridge University Press, 2009 https://web.stanford.edu/~
J. Gonzalez-Diaz, I. Garcia-Jurado and M.G. Fiestras-Janeiro, An Introductory Course on Mathematical Game Theory, American Mathematical Society
Semester
II
Assessment method
Examination type:
Written and oral examination.
a) The written part consists of exercises where the students show their ability in using methods and tools introduced in the course (80%), as well as questions (20%). If the mark of the written exam is between 18/30 and 26/30, then the final grade is the grade of the written exam. If the grade of the written part is greater than or equal to 27/30, the student obtains at most 27/30 as final grade unless he/she decides to undergo the oral part.
b) The oral part consists of statements and proofs of theorems from a detailed list, as well as theorical exercises. It is only for students with mark not less than 27/30 in written examination. Its relative weight is 25%. It consists in:
- discussion about the written part;
- the student must show his competence about subjects considered in the lectures (i.e., statements and proofs of theorems from a detailed list, theorical exercises)
If the grade of the written part is more, or equal to 18, the student can decline it al most twice.
During the Covid-19 emergency period, oral exams will only be held online.
They will be carried out using the WebEx platform.
On the e-learning page of the course there will be a public link for access
to the examination of possible virtual attendees.
Written exams will be monitored remotely.
Office hours
By appointment.
During the Covid-19 emergency period the consultation hours will be carried out using the WebEx platform.