- Stochastic Methods and Models
- Summary
Course Syllabus
Obiettivi
L'insegnamento si propone di fornire una selezione di strumenti, concetti e modelli avanzati del calcolo delle probabilità e dei processi stocastici, dal punto di vista sia teorico che applicativo.
Al termine del corso lo studente avrà acquisito le seguenti:
- conoscenze: una selezione di risultati avanzati del calcolo della probabilità (grandi deviazioni), dei processi stocastici (catene di Markov a tempo continuo) e dei modelli stocastici (grafi aleatori);
- competenze: comprensione operativa del linguaggio probabilistico e di tecniche dimostrative avanzate (ad es. coupling);
- abilità: capacità di applicare le nozioni teoriche per la risoluzione di esercizi e l'analisi di problemi e modelli.
Contenuti sintetici
Programma esteso
1. Processo di Poisson
- Introduzione ai processi di punto
- Il processo di Poisson
- Proprietà asintotiche
2. Catene di Markov a tempo continuo
- Semigruppi e generatori su spazi numerabili
- Catene di Markov a tempo continuo
- La proprietà di Markov forte
- Convergenza all'equilibrio
3. Grandi deviazioni
- Il teorema di Cramer
- Entropia relativa e teorema di Sanov
- Il principio di grandi deviazioni
- Applicazione: il modello di Curie-Weiss
4. Grafi aleatori
- Processi di diramazione
- Introduzione ai grafi aleatori
- Il modello di Erdos-Renyi
5. Modelli e applicazioni
Una selezione, concordata con gli studenti, tra i seguenti argomenti:
- Processi di punto di Poisson su spazi generali
- Processi di Lévy
- Teoria delle code
- Teoria dell'informazione
- Modelli avanzati di grafi aleatori (preferential attachment)
- Modelli predittivi in statistica matematica
Prerequisiti
Modalità didattica
Lezioni frontali articolate in
- lezioni teoriche, in cui si fornisce la conoscenza di definizioni, risultati, dimostrazioni ed esempi rilevanti;
- lezioni pratiche, in cui si forniscono competenze e abilità necessaire per utilizzare le nozioni teoriche per l'analisi di modelli e la risoluzione di problemi.
Se l'emergenza Covid-19 lo permetterà, le lezioni saranno tenute in aula in presenza. Altrimenti saranno tenute in una modalità mista (parzialmente in presenza, parzialmente a distanza) o interamente a distanza, secondo le disposizioni che riceveremo. Tutte le lezioni saranno videoregistrate e rese disponibili da remoto. Al fine di facilitare il coinvolgimento degli studenti, le lezioni a distanza saranno integrate con eventi di discussione / ricevimento in videoconferenza sincrona.
Materiale didattico
Testi di riferimento:
- E. Pardoux, Markov processes and applications, Wiley Series in Probability and Statistics (2008)
- F. den Hollander, Large Deviations, Americal Mathematical Society (2008)
- R. van der Hofstad, Random Graphs and Complex Networks, Volume I, Cambridge University Press (2017)
- S. Asmussen, Applied Probability and Queues, Springer (2003)
Altro materiale:
- Videoregistrazione delle lezioni
- Appunti delle lezioni
- Altre referenze / dispense fornite dai docenti
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Secondo semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L'esame si articola in due parti: una consegna di esercizi svolti in autonomia, che contribuisce per un sesto al voto finale, e una prova orale, che contribuisce per cinque sesti al voto finale, espresso in trentesimi.
La consegna di esercizi consiste nella risoluzione di alcuni esercizi proposti durante il corso, che lo studente dovrà svolgere in autonomia e consegnare con un anticipo di almeno una settimana rispetto alla prova orale, e ha lo scopo di valutare la continuità dell'apprendimento e le abilità pratiche.
La prova orale consiste in un colloquio della durata indicativa di 30-60 minuti in cui vengono valutate la conoscenza delle definizioni, enunciati ed esempi presentati durante il corso e la competenza e abilità nell'esposizione di una selezione di argomenti con i dettagli delle dimostrazioni.
Se l'emergenza Covid-19 lo permetterà, la prova orale sarà tenuta in
presenza, altrimenti si svolgerà a distanza, secondo le disposizioni
che riceveremo.
Ci saranno 5 appelli d'esame (due tra giugno e luglio, uno a settembre, due a febbraio).
Orario di ricevimento
Su appuntamento
Aims
To provide a selection among methods, concepts and advanced models of probability theory and stochastic processes, from a theoretical and practical point of view.
At the end of the course, students will have acquired the following:
- knowledge: a selection among advanced results of probability theory (large deviations), stochastic processes (continuous-time Markov chains) and stochastic modeling (random graph);
- competence: operational understanding of the probability language and advanced proof techniques (e.g. coupling);
- skills: ability to apply theoretical notions to the solution of exercises and the analysis of problems and models.
Contents
The course starts with an introduction to the Poisson process which is the most important example of continuous-time stochastic process having discrete states and the starting point to study more general continuous-time Markov chains. In the second part of the course we present some results in large deviation theory providing tools to investigate the probability of rare events at exponenial scale. Subsequently we focus on the theory of random graphs, a research topic that is receiving great attention. The last part of the course is devoted to a selection among models and applications also showing the practical relevance of the mentioned topics.
Detailed program
1. Poisson process
- Introduction to point processes
- Poisson process
- Asymptotic properties
2. Continuous-time Markov chains
- Semigroups and generators on countable spaces
- Continous-time Markov chains
- Strong Markov property
- Convergence to equilibrium
3. Large deviations
- Cramer's Theorem
- Relative entropy and Sanov's Theorem
- Large deviations principle
- Application: Curie-Weiss model
4. Random graphs
- Branching processes
- Introduction to random graphs
- Erdos-Renyi model
5. Models and applications
A selection (agreed with students) among the following topics:
- Poisson point processes on general spaces
- Lévy processes
- Queueing theory
- Information theory
- Random graph advanced models (preferential attachment)
- Predictive models in Mathematical Statistics
Prerequisites
The knowledge, competences and skills taught in classical probability and stochastic processes courses (random variables, martingales, conditional law) as well as those taught in mathematical analysis courses.
Teaching form
Lectures and recitations in the classroom, divided into:
- theoretical lectures, focused on the knowledge of definitions, results and relevant examples;
- practical lectures, focused on the skills
necessary to apply the theoretical knowledge and competences to both the analysis of models and the solution of exercises.
If the Covid-19 emergency permits, lectures will be given in presence, otherwise either in mixed mode or on-line, according to the instructions received. All lectures will be recorded and made available on the e-learning website. In order to help students take an active part in the course, on-line lectures will be integrated with discussion events that will be held in real time.
Textbook and teaching resource
Reference textbooks:
- E. Pardoux, Markov processes and applications, Wiley Series in Probability and Statistics (2008)
- F. den Hollander, Large Deviations, Americal Mathematical Society (2008)
- R. van der Hofstad, Random Graphs and Complex Networks, Volume I, Cambridge University Press (2017)
- S. Asmussen, Applied Probability and Queues, Springer (2003)
Other material:
- Recorded lectures
- Lecture notes
- Other references / notes by the teacher
Semester
Spring term
Assessment method
The exam consists of two parts: individual assignment of exercises contribuiting one sixth to the final grade, and an oral exam contribuiting five sixths to the final grade, which will be converted as a 30 point score.
The individual assignment of exercises consists in the resolution of some exercises proposed during the course, which have to be solved autonomously by the students and due (at least) one week before the oral exam. This examination tests the continuity of learning as well as practical skills.
The oral exam consists in an interview lasting about 30-60 minutes and tests the knowledge of definitions, statements and examples presented during the course, as well as presentation skills related to a selection of topics and detailed proofs.
If the Covid-19 emergency permits, the oral exam will be in presence, otherwise on-line according to the instructions received.
There will be 5 exam sessions (two between June and July, one in September and two in February).
Office hours
By appointment