Course Syllabus
Obiettivi
Estendere le conoscenze di base dell’analisi al campo complesso.
Introdurre i concetti matematici necessari per la formulazione della
Meccanica Quantistica.
Contenuti sintetici
1)Analisi complessa. Funzioni olomorfe. Serie di potenze nel campo complesso. Teorema di Cauchy. Serie di Laurent. Teorema dei residui. Prolungamento analitico.
2) Spazi topologici, spazi metrici, spazi di Banach. Spazi di
Hilbert. Sistemi ortonormali completi. Spazi Lp. Serie di
Fourier. Operatori lineari negli spazi di Hilbert.
Operatori autoaggiunti e unitari. Teorema spettrale.
Trasformata di Fourier. Trasformata di Laplace.
3) Distribuzioni
Programma esteso
Durante il corso verranno coperti i seguenti argomenti, non necessariamente nell'ordine indicato, con applicazioni alla soluzione di problemi ed equazioni differenziali di interesse fisico:
Analisi complessa: Il piano complesso. Funzioni
complesse di variabile complessa. Funzione derivabile in C. Condizioni
di Cauchy-Riemann. Integrazione nel
piano complesso. Teorema di
Cauchy. Comportamento di una funzione nelle
vicinanze di una singolarità isolata. Sviluppo in serie di Laurent. Teorema dei residui. Tecniche di calcolo di integrali sull'asse reale
mediante prolungamento analitico in C. Prolungamento
analitico e funzioni polidrome.
Spazi funzionali: Richiami
sugli spazi topologici, spazi metrici, spazi di Banach. Spazi di Hilbert. Sistemi ortonormali completi. Spazi L^p. Esempi di sistemi ortonormali
notevoli: serie di Fourier, Polinomi di Hermite, Legendre, Laguerre. Operatori lineari negli spazi di Hilbert e loro proprietà. Operatori
continui e limitati. Norma di un operatore. Problema spettrale,
classificazione degli autovalori. Definizione di autofunzione. Operatori
autoaggiunti e unitari. Autovalori e autofunzioni di operatori autoaggiunti.
Teorema di decomposizione spettrale. Trasformata di Fourier in L1 e L2. Trasformata di Laplace.
Distribuzioni. Breve introduzione alla teoria delle distribuzioni. Distribuzioni notevoli. Operazioni con le distribuzioni.
Prerequisiti
I contenuti dei corsi di Analisi I, II e "Algebra e Geometria".
Modalità didattica
Lezione frontale in aula (5 CFU) ed esercitazioni in aula (3 CFU).
Materiale didattico
Principali riferimenti bibliografici:
Michela Petrini, Gianfranco Pradisi, Alberto Zaffaroni, A Guide to Mathematical Methods for Physicists With Problems and Solutions
World Scientific
J. Bak, D.J. Newman, Complex Analysis, Springer
L. Debnath, P. Mikusinski, Hilbert spaces with applications, Elsevier
Per esempi ed argomenti piu' avanzati:
Michela Petrini, Gianfranco Pradisi, Alberto Zaffaroni, A Guide to Mathematical Methods for Physicists Advanced Topics and Applications
World Scientific
Eserciziari
M.R. Spiegel, Complex variables, Schaum Outline Series
M.R. Spiegel, Fourier Analysis, Schaum Outline Series
Altri esercizi e temi d'esame degli anni passati risolti saranno disponibili sulla pagina e-learning
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Secondo semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L'esame
è composto da uno scritto (esercizi su tutto il programma) e un orale
obbligatorio. L'esame orale verte su tutto il programma del corso
inclusi esercizi e approfondimenti svolti durante le esercitazioni, che
sono parte integrante del corso.L'orale va sostenuto nei periodi di
interruzione delle lezioni e nella stesso periodo (estivo o
invernale) dello scritto (o dei compitini).
Durante il corso, vengono proposti due esami
scritti parziali (con esercizi e domande di teoria). Il superamento dei due parziali equivale al superamento dello scritto. Se la media dei voti dei due
parziali è maggiore o uguale a 24 lo studente è esonerato dall'orale, a
meno che l'orale non sia richiesto esplicitamente dallo studente o dal
docente.
Orario di ricevimento
Su appuntamento per e-mail
Aims
Generalize the basic notions of analysis to the
complex plane. Introduce the mathematical concepts required in the
formulation of Quantum Mechanics.
Contents
1) Complex analysis. Holomorphic functions. Power series in the complex domain. Chauchy theorem. Laurent series. Residue theorem. Analytic continuation.
2) Review of linear, topological and Banach spaces. Hilbert spaces. Lp spaces. Orthonormal basis. Fourier series. Linear operators in Hilbert spaces and their properties. Self-adjoint and unitary operators. Spectral decomposition. Fourier transform. Laplace transform.
3) Distributions.Detailed program
The course will cover the following topics, not necessarily in the given order, with applications to problems and differential equations of interest in physics:
Complex analysis: The complex plane. Complex
functions of complex variable. The derivative of a function in
C. Cauchy-Riemann conditions. Integration on the complex plane. Cauchy theorem. The behaviour of a
complex function close to an isolated singularity.
Laurent
series expansion. Residue theorem. Computational techniques for integrals along
the real axis by using the analytic continuation in C.
Analytic continuation and multivalued functions.
Funtional spaces:
Summary of the main properties of topological spaces, metric spaces,
Banach spaces. Hilbert
spaces. Orthonormal
basis. Fisher-Riesz theorem. Lp spaces. Important
examples of orthonormal basis: Fourier series, Hermite, Legendre,
Laguerre polynomials. Linear
operators in Hilbert spaces and their properties. Continuous and bounded
operators. The norm of an operator. Spectral problem, classification of
the eigenvalues. Definition of eigenfunctions. Self-adjoint and unitary operators.
Eigenvalues and eigenvectors of self-adjoint operators. Theorem of
spectral decomposition. Fourier transform in L1 and L2 its properties. Lapace Transform
Distributions: brief introduction to the theory of distributions. Examples of distributions. Operations on distributions.
Prerequisites
Contents of Analysis I, II and "Algebra and Geometry".
Teaching form
Class lectures (5 CFU) and tutorials (3 CFU).
Textbook and teaching resource
Main references:
Michela Petrini, Gianfranco Pradisi, Alberto Zaffaroni, A Guide to Mathematical Methods for Physicists With Problems and Solutions
World Scientific
J. Bak, D.J. Newman, Complex Analysis, Springer
L. Debnath, P. Mikusinski, Hilbert spaces with applications, Elsevier
More advanced references and topics:
Michela Petrini, Gianfranco Pradisi, Alberto Zaffaroni, A Guide to Mathematical Methods for Physicists Advanced Topics and Applications
World Scientific
Esercises
M.R. Spiegel, Complex variables, Schaum Outline Series
M.R. Spiegel, Fourier Analysis, Schaum Outline Series
Other solved exercises and previous exams will be available on the e-learning page
Semester
Second semester
Assessment method
The exam consists of a written (exercises) and an compulsory oral part. The oral part concerns the entire program, including exercises and applications. The exam has to be completed during the breaks (january-february and june-september) and in the same period (summer or winter) of the written exam or of the partial exams.
During the course, two partial written exams are proposed (containing exercises and theory questions). If the average of the two grades is greater or equal 24 the student is exonerated from the oral exam, unless the oral exam is explicitly requested by the student or the teacher.
Office hours
On appointment by e-mail