Syllabus del corso
Obiettivi
Il contenuto del corso presenta sia le idee fondamentali della Meccanica Classica, dalla
formulazione di Galileo e Newton a quella di Lagrange, Hamilton e Jacobi, che
le tecniche matematiche necessarie alla loro comprensione.
Lo studente, al termine del corso,
1) sarà in grado di modellizzare fenomeni fisici di media complessità utilizzando il formalismo Lagrangiano, e comprenderne il loro comportamento qualitativo.
2) sarà in grado di analizzarli attraverso tecniche di meccanica analitica e di teoria dei sistemi dinamici.
3) sarà in grado di esporre le motivazioni, le tecniche di risoluzione e l'apparato matematico alla base dei punti 1) e 2).
Contenuti sintetici
Richiami di meccanica newtoniana.
Equazioni differenziali del secondo ordine e loro studio qualitativo.
Meccanica Lagrangiana.
Meccanica Hamiltoniana.
Programma esteso
1) Spazio tempo ed eventi. I principi di Newton e la meccanica dei corpi puntiformi.
2)
I sistemi dinamici come modellizzazione dei fenomeni fisici.
Introduzione alla teoria delle equazioni differenziali ordinarie
del secondo ordine. Diagrammi di fase dei sistemi newtoniani conservativi in
una dimensione. Il sistema di Lotka-Volterra e le tre leggi di Volterra. Modelli compartimentali in epidemiologia: il modello SIR.
Diagrammi di biforcazione. Linearizzazione di un Sistema Dinamico nell’intorno di un punto di equilibrio. Stabilità e i teoremi di Lyapunov (enunciato).
3) Meccanica di sistemi di corpi puntiformi: equazioni cardinali.
4) Vincoli, loro classificazione e coordinate libere. Il principio di D’Alembert e la meccanica di Lagrange.
5)
La Lagrangiana e le equazioni di Eulero-Lagrange. Il metodo
variazionale. I moti centrali ed il
problema di Keplero in meccanica Lagrangiana. Formulazione lagrangiana della
forza di Lorentz. Teoria delle piccole oscillazioni. Applicazioni. Il teorema
di Noether. Nozioni fondamentali della teoria del corpo rigido. Applicazioni: corpi rigidi in due dimensioni. La trottola di Lagrange.
6) La Meccanica Hamiltoniana. Le equazioni di Hamilton e la loro formulazione variazionale. Trasformazioni canoniche. Trasformazioni canoniche di contatto (puntuali). Parentesi di Poisson e costanti del moto. Trasformazioni canoniche infinitesime e il teorema di Noether in Meccanica Hamiltoniana.
7) Il teorema di Liouville sulla conservazione del volume nello spazo delle fasi. L’equazone di Hamilton-Jacobi. Integrali completi. Cenni alla separazione delle variabli.Prerequisiti
I contenuti dei corsi di Analisi I, Algebra Lineare e Geometria, Fisica I.
Modalità didattica
-
Lezioni frontali (5 CFU).
- Esercitazioni (3 CFU)
Materiale didattico
Testi di riferimento:
L.D. Landau. E. M. Lifshits, Corso di Fisica Teorica, vol. I, "Meccanica".
H Goldstein, C. Poole, J. Safko, “Meccanica Classica”.
Dispese recuperabili dal sito del Docente (http://www.matapp.unimib.it/~falqui/MC/mecc.html).
Appunti di parte delle lezioni pubblicate sulla pagina e-leraning.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
I semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Esame scritto e orale. Lo scritto prevede la soluzione di problemi significativi di Sistemi Dinamici, Meccanica Lagrangiana e Meccanica Hamiltoniana.
Sono
previsti due scritti parziali durante lo svolgimento del corso, il primo a inizio novembre ed il secondo a metà dicembre. La parte scritta dell'esame viene completata in uno qualsiasi degli appelli successivi alla fine del corso.
L'orale prevede una discussione dell'elaborato scritto e la esposizione di alcuni punti fondamentali del programma. Le domande saranno scelte (dal docente) all'interno di una lista che verrà comunicata alla fine del corso agli studenti.
Lo scritto è volto principalmente a verificare il raggiungimento dei punti 1) e 2) della sezione "Obiettivi", ed il suo peso, ai fini della votazione, è 2/3.
L'orale riguarda principalmente il punto 3) della sezione "Obiettivi".
Orario di ricevimento
Su appuntamento da richiedersi via e-mail o e-learning.
Aims
The content of the Course presents the basic ideas of Classical mechanics, from the Galileo-Newton formulation to those of Lagrange, Hamilton and Jacobi. The necessary mathematical tools for a proper comprehenson of these fundamental theories will be introduced and discussed.
The student, at the end of the course
1) will be able to provide mathematical models of physical phenomena of some complexity by means of the Lagrangian formalism, and understand their qualitative behaviour.
2) will be able to analyze them by using techniques of Analytical Mechanics and the theory of Dynamical Systems.
3) will be able to describe the motivations, the solution techniques and the mathematical apparatus lying beyond points 1) and 2) above.
Contents
Newtonian Mechanics (a reminder).
Second order differential equations. Qualitative analysis.
Lagrangian Mechanics.
Hamiltonian mechanics.
Detailed program
1) Space-time and events. Newton's principia and the dynamics of point masses.
2) Dynamical
systems as mathematical models for physical phenomena. Basic aspects of the theory of second order Ordinary Differential Equations. Phase diagrams of conservative
Newtonian systems in one dimension. The
Lotka-Volterra system and Volterra’s laws. Compartmental models in epidemiology: the SIR model.
Bifurcation diagrams. Linearization
of a dynamical system around an equilibrium point. Stability and the theorems of Lyapunov
(statement).
4) Constraints, degrees of freedom, and free coordinates. The D'Alembert principle and Lagrangian Mechanics.
5) The
Lagrangian and the Euler-Lagrange equations.
Variational principles. Central motions and the Kepler problem.
Lagrangian formulation of the Lorentz force. Theory of small oscillations.
Further applications. Noether’s theorem. Basic notions of the theory of rigid bodies. Applications: rigid bodies in the plane. The Lagrange top.
6) Hamiltonian
Mechanics: Hamilton equations and their variatiional formulation. Canonical transformations.
Canonical contact (point) transformations. Poisson brackets and constants of the motion. Infinitesimal
canonical transformations and Noether’s theorem in Hamiltonian Mechanics.
Prerequisites
The content of the courses of Calculus I, Linear Algebra and Geometry, Physics I.
Teaching form
- Lectures (5 CFU)
- Classes (3 CFU)
Videorecordings of lectures and classes will be available online.
Textbook and teaching resource
References:
L.D. Landau, E.M. Lifshits, “Course of Theoretical Physics, Vol. I: Mechanics” (Pergamon)
H Goldstein, C. Poole, J. Safko, “Classical Mechanics”.
Lecture Notes available on the web page (http://www.matapp.unimib.it/~falqui/MC/mecc.html).
Notes of (some of) the lectures, available on the e-learning page.
Semester
First semester
Assessment method
Written and Oral examination. The written
examination consists in the solution of significant problems in Dynamical
Systems, Lagrangian Mechanics and Hamiltonian Mechanics.
Two partial written
examinations concerning parts of the syllabus will be held. The first one will be be at the beginning of November, the second one at mid-December. The written part of the examination must be completed in one of the final examination sessions.
The oral examination consists in the discussion of the written part, as well as the discussion of fundamental topics of the course. Questions will be chosen (by the instructor) from a list to be given to the students at the end of the lectures.
The aim of the written examination is basically to assess the achievemnt of points 1) and 2) of the "Aims" Section. Its weight in terms of the final score, is 2/3.
The oral part mainly deals with point 3) of the "Aims" section.
Office hours
Meetings with individual students or small groups thereof are to be agreed via e-mail or the e-learning page.