Course Syllabus
Obiettivi
Gli obiettivi formativi del corso sono i seguenti.
Conoscenza e capacità di comprensione. Lo studente apprenderà i principali risultati del calcolo integrale in più variabili, del calcolo vettoriale e dell’algebra lineare e si impadronirà dei relativi strumenti e tecniche di calcolo.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione. Mediante l’illustrazione di vari esempi e con lo svolgimento di esercizi, lo studente svilupperà la capacità di applicare i risultati teorici esposti nelle lezioni a problemi di integrazione multipla, calcolo vettoriale e algebra lineare.
Autonomia di giudizio. Lo studente saprà affrontare in modo critico problemi di integrazione multipla, calcolo vettoriale e algebra lineare, individuando autonomamente i metodi più appropriati tra quelli appresi.
Abilità comunicative. L’acquisizione del linguaggio e del formalismo matematico introdotto renderà lo studente in grado di comunicare con rigore e chiarezza le conoscenze acquisite.
Capacità di apprendimento. Lo studente sarà in grado di applicare le conoscenze acquisite a contesti differenti da quelli presentati durante le lezioni, in particolare nello studio di altre discipline scientifiche (quali la chimica e la fisica) che richiedano un buona preparazione matematica di base.
Contenuti sintetici
Integrazione in più variabili, calcolo vettoriale e algebra lineare.
Programma esteso
Prima Parte. Calcolo:
1- Integrali doppi.
Funzioni integrabili secondo Riemann in rettangoli del piano, formule
di riduzione per integrali doppi su rettangoli, funzioni integrabili
secondo Riemann in domini generici, formule di riduzione per integrali
doppi su regioni semplici,
additività rispetto al dominio, formula di cambiamento di variabile
negli integrali doppi, integrali doppi in coordinate polari.
2-Integrali tripli.
Funzioni integrabili secondo Riemann in parallelepipedi dello spazio,
formule di riduzione per integrali tripli su parallelepipedi, formule di
riduzione per integrali su regioni semplici (integrazione per fili e
per strati), formula
di cambiamento di variabile negli integrali tripli, integrali tripli
in coordinate cilindriche, integrali tripli in coordinate sferiche.
3-Integrali di superficie. Superfici in R3,
parametrizzazione di una superficie, superfici regolari, versore
normale ad una superficie, superfici regolari a pezzi, orientabilità di
una superficie, integrale di superficie, flusso di un campo
vettoriale attraverso una superficie.
4-Calcolo vettoriale. Teorema di Green, Teorema del rotore o di Stokes, Teorema della divergenza o di Gauss.
Seconda Parte: Algebra lineare.
5- Algebra lineare. Spazi vettoriali (reali e complessi) sottospazi vettoriale. combinazione lineare, Span, sistema di generatori, vettori linearmente indipendenti e dipendenti, base, dimensione di uno spazio vettoriale. Teorema del completamento della base. Esempio di spazio vettoriale di dimensione infinita. Esempi di basi e componenti in spazi vettoriali.
Applicazioni lineari: definizione e primi esempi. Teorema di struttura. Matrice associata ad un'applicazione lineare dopo aver scelto basi in partenza ed arrivo. Esempi di costruzione ed utilizzo della matrice associata ad un'applicazione lineare. Matrice di cambio di base: costruzione ed utilizzo. Ker e immagine di un'applicazione lineare. Teorema rank-nullity (relazione tra le dimensioni di ker, immagine e spazio di partenza). Conseguenze in termini di iniettività e suriettività.
Interpretazione dei sistemi lineari in termini di combinazioni lineari di colonne: legami con span, lineare indipendenza, generatori. Interpretazione dei sistemi lineari in termini di ker e immagine di un'opportuna applicazione lineare.
Cambiamento di base, applicazioni lineari invertibili, determinante, formula di Laplace, formula di Binet. Matrice inversa. Uso delle matrici inverse nei cambi di base. Rango di una matrice.
Prodotti scalari, prodotti hermitiani, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, norma, ortogonalità, Basi ortogonali e ortonormali. Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Ortogonale di un sottospazio e sue proprietà. Proiezione ortogonale su un sottospazio. Esempi di calcolo di basi ortogonali e di ortogonali di sottospazi. Matrici ortogonali: caratterizzazione e proprietà.
Definizione di matrici simili e problema della diagonalizzazione. Autovalori ed autovettori. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Condizioni necessarie/sufficienti per la diagonalizzabilità. Teorema spettrale per applicazioni e matrici simmetriche. Teorema spettrale per applicazioni e matrici normali.
Diagonalizzazione
simultanea di endomorfismi hermitiani commutanti
Prerequisiti
I contenuti dei corsi di matematica del primo anno (Matematica I e II)
Modalità didattica
Lezioni alla lavagna.
Lezioni frontali (6 cfu), esercitazioni (2 cfu).
Materiale didattico
Verrano distribuite alcune note e altro materiale per diversi
argomenti. Saranno disponibili sul sito e-learning del corso.
Inoltre si consigliano i seguenti libri :
Bibliografia:
Per la prima parte:
-Bramanti Pagani Salsa, Analisi Matematica 2 (capitoli 5, 6 e parte del 4)
-Gilbert Strang, Calculus, Wellesley-Cambridge Press (1991). Second Edition (2010).
disponibile in pdf e online:
https://ocw.mit.edu/resources/res-18-001-calculus-online-textbook-spring-2005/textbook/
Per la seconda parte:
- Strang, Gilbert. Linear algebra and its applications, Academic Press (1976). Second Edition :
Harcourt Brace Jovanovich (1980). Third Edition : Brooks/Cole (1988). Fourth Edition :
Brooks/Cole/Cengage (2006).
-Dispense della Prof Felli (si trovano nel sito)
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Secondo anno, primo semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Valutazione con voto in trentesimi 18-30/30 con eventuale lode.
Esame scritto con eventuale colloquio orale.
Prova scritta:
Nella
prova scritta si valuta la conoscenza dei contenuti del corso e la
capacità di applicarli alla risoluzione di problemi. Si richiede
inoltre la capacità di
esporre le definizioni, gli enunciati dei teoremi, gli
esempi/controesempi
e le tecniche di calcolo introdotte nel corso. La valutazione tiene
conto dell'esattezza delle risposte, della completezza nonché' della
chiarezza espositiva.
La prova scritta e composta da esercizi (Simili agli esercizi fatti a lezione e/o proposti negli esercizi agli studenti) fino a 22-24 punti e fino a un massimo di 6-8 punti di teoria (definizioni di concetti di base e risoltati visti a lezione).
Prova orale (facoltativa )
La prova orale è facoltativa
e si terrà di norma qualche giorno dopo
la prova scritta. Si tratta di una discussione sulla prova scritta e sui
risultati e sui metodi illustrati nel corso. È possibile sostenere il
colloquio orale soltanto se il voto della prova scritta è maggiore o
uguale a 24/30.
Nel caso si decida di non sostenere la prova orale, il voto finale (verbalizzato solo se sufficiente) sarà uguale al voto della prova scritta.
In
caso di esito maggiore o
uguale a 24/30, Lo studente che si ritenga
preparato, ha facolta di sostenere la prova orale. Il colloquio orale individuale e volto a verificare
il livello delle conoscenze acquisite; l’autonomia di analisi e
giudizio; le capacità espositive dello studente. La valutazione tiene
conto dell'esattezza delle risposte, della
completezza nonché' della chiarezza espositiva.
Resta inteso che qualunque esito e possibile
nel momento in cui lo studente decida di presentarsi anche alla prova
orale. In particolare, un orale molto scarso puo abbassare il voto
della prova scritta e potrebbe risultare in un voto finale non
sufficiente (minore di 18/30).
Gli studenti che non abbiano superato la prova scritta saranno convocati alla prova orale e potranno sostenere essa SOLTANTO SE:
-hanno avuto nella prova scritta un voto uguale o maggiore a 17/30, oppure
- hanno avuto nella prova scritta un voto uguale o maggiore a 16/30 di cui al meno 6/8 nelle domande teoriche.
Prove in itinere (prove in itinere, compitini, esoneri, parziali)
Durante il semestre ci saranno due prove in itinere che se superate daranno la possibilità
di verbalizzare il voto finale senza fare la prova scritta.
Il primo esame sara tipo test. Il secondo e composto da esercizi da svolgere e alcune domande di teoria.
Il voto complessivo delle prove in itinere è la media aritmetica dei loro voti.
Il risultato delle due prove intermedie vale come sostituzione di una (e una sola) prova scritta dell'anno accademico corrispondente, sempre che il voto complessivo sia >= 18/30 e in entrambi prove i voti siano >=15/30.
Nel corso dell’anno sono previsti 5 appelli
d’esame nei seguenti periodi: uno nei mesi di gennaio-febbraio, uno nel mese di
aprile/maggio, uno nei mesi di giugno/luglio, uno a settembre e
uno a novembre.
Orario di ricevimento
Su appuntamento concordato per e-mail
Aims
The objectives of the course are the following.
Knowledge and understanding. The student will learn the principal results of multi-variable integral calculus, vector calculus and linear algebra and will become acquainted with their tools and techniques.
Applying knowledge and understanding. By means of several examples and exercises, the student will develop the ability of applying the theorical results presented in the lectures to problems of integration in several variables, vector calculus and linear algebra.
Making judgements. The student will be able to face critically problems of integration in several variables, vector calculus and linear algebra, identifying by himself/herself the most appropriate tools among those introduced in the course.
Communication skills. The student will become familiar with the introduced language and mathematical formalism, which will make him/her able to communicate with rigor and clarity the acquired knowledge.
Learning skills. The student will be able to apply the acquired knowledge to different contexts, in particular in the study of other scientific disciplines (such as chemistry and physics) which require a good mathematical background.
Contents
Integral calculus in several variables, vector calculus, linear algebra.
Detailed program
- Double
integrals. Double integrals over
rectangles, iterated integrals, double integrals over general regions, change
of variables in double integrals, double integrals in polar coordinates.
- Triple integrals. Triple integrals over boxes, iterated integrals, change of variables in triple integrals, triple integrals in cylindrical and spherical coordinates.
- Surface
integrals. Surfaces in R3,
parametrization of a surface, regular surfaces, normal vector, orientation of a
surface, surface integrals, flux of a vector field across a surface.
- Vector calculus. Green's Theorem, Stokes' Theorem, Divergence Theorem.
- Linear Algebra. Real and complex vector spaces, dependent and independent sets in a linear space, subspaces. Bases and dimension of a linear space, euclidean spaces, norms and (Hertmitian) inner products, Cauchy-Schwarz inequality, orthogonality. Orthonormal bases. Linear transformations: matrix representation, null space and range, nullity and rank, matrices, matrix operations, determinants, Binet formula, Laplace expansion; inverses of square matrices, change of the bases. Eigenvalues and eigenvectors of endomorphisms, diagonalizability. Adjoint endomorphism, hermitian operators, Spectral Theorem, simultaneous diagonalization.
Prerequisites
Matematica I e Matematica II
Teaching form
Blackboard Lectures
Lectures (6 cfu), Exercises class (2 cfu).
Textbook and teaching resource
Notes, exercises sets and other material will be distributed. It will be available from the e-learning site.
Bibliography:
For the first part:
-Bramanti Pagani Salsa, Analisi Matematica 2 (capitoli 5, 6 e parte del 4)
-Gilbert Strang, Calculus, Wellesley-Cambridge Press (1991). Second Edition (2010).
available in pdf and online:
https://ocw.mit.edu/resources/res-18-001-calculus-online-textbook-spring-2005/textbook/
Per la seconda parte:
Second part:
-Linear algebra and its applications, Strang, Gilbert. (sara disponibile come e-book nella biblioteca. E gia disponibile cartaceo)
Semester
Second year, First semester
Assessment method
Written examination with optional oral colloquium.
The goal of the evaluation (partial, complete and oral
colloquium) is to ascertain a correct assimilation of concepts and
techniques studied during lessons and exercises sessions.
The written exam is passed ONLY if the vote is greater or equal to 18/30.
The written exam will consist of exercises (similar to those done in the classroom and/or proposed to the students in the lectures) up to 24 points. There will be a maximum of 6 points for questions relating the theory (basic definitions and theoretical results done in the lectures ).
Oral
exam is not compulsory and will be done typically after a couple of days
of the written exam. It is only possible to take the oral exam if the
mark in the written part is greater or equal than 24/30.
Students who got a positive grade in the written part (i.e., at least 24/30) might choose to take an oral exam to try to get a better grade if they think that their preparation is good enough. Needless to say, the oral exam can change the written grade in the positive, as well as in the negative direction. In particular, the minimal grade in the written part plus a poor oral part might end up in a failed exam.
The students who have not passed the written part, might be admitted to an oral exam ONLY IF
-the vote in the written exam is greater or equal to 17/30, or
- the vote in the written exam is greater or equal to 16/30, having at least 6/8 points in the theoretical part.
Partial exams (optional)
During
the course there will be two partial exams.
Number of exams
During the year there are 5 exam sessions in the following periods: one in January-February, one in April/May, one in either June or July, one in September and one in November. The final exam can be replaced by two-three intermediate written tests, the first of which will take place in November while the second and third will take place toward the end of the course.
Office hours
by appointment