Course Syllabus
Obiettivi
Il
corso ha lo scopo di insegnare le nozioni e le tecniche di base dell'Analisi complessa e di mettere gli studenti in grado di utilizzarle con
profitto in applicazioni
teoriche e pratiche.
Più specificamente, i risultati di apprendimento attesi comprendono:
- la
conoscenza e la comprensione delle definizioni e degli enunciati
fondamentali, nonché delle strategie di dimostrazione basilari proprie
dell'Analisi complessa
- la capacità di applicare il bagaglio di conoscenze sopra descritte alla costruzione di esempi concreti e alla risoluzione di esercizi aventi diversi gradi di difficoltà (a partire da semplici esercizi di applicazione delle definizioni e dei risultati illustrati nel corso fino a esercizi che richiedono la capacità di sviluppare in modo originale concetti appresi nel corso).
Contenuti sintetici
Si tratta di un corso di base sulle funzioni di una variabile complessa. Contiene, tra l'altro, nozioni di base relative alle funzioni olomorfe, al teorema di Cauchy e alle sue applicazioni, alla teoria delle singolarità isolate e degli zeri di funzioni olomorfe. Il corso si concluderà con un'introduzione alla congettura di Riemann, la più famosa tra le congetture aperte in Matematica.
Programma esteso
Parte 1. Preliminari all’analisi complessa. Funzioni olomorfe. Regioni. Funzioni olomorfe: definizione ed esempi. Funzioni intere. Funzioni a valori complessi visti come mappe. Funzioni olomorfe e funzioni differenziabili da R 2 in sé. Condizioni di Cauchy–Riemann. Serie di potenze. Serie di potenze. Formula di Hadamard per il raggio di convergenza di una serie di potenze. Serie di e z , sin z e cos z. Le serie di potenze definiscono funzioni olomorfe all’intero del loro cerchio di convergenza. Integrazione lungo curve. Curve parametriche, curve parametriche lisce, curve parametriche regolari a pezzi, curve parametriche equivalenti. Curve lisce, curve regolari a pezzi. Orientazione. Integrazione lungo curve e sue proprietà. Primitiva di una funzione e proprietà dell’integrale di funzioni che ammettono primitive. Funzioni con derivata nulla in una regione sono costanti.
Parte 2. Il teorema di Cauchy e applicazioni. Il lemma di Goursat. Il lemma di Goursat per triangoli. Analogo per rettangoli. Esistenza di primitive locali e il teorema di Cauchy per un disco. Esistenza di primitive di una funzione olomorfa in un disco. Teorema di Cauchy in un disco. Contorni giocattolo e teorema di Cauchy relativo. Calcolo di alcuni integrali. Esempi di calcolo di integrali utilizzando il teorema di Cauchy. Formula integrale di Cauchy. Formula integrale di Cauchy per un disco. Analogo per contorni giocattolo. Formula di Cauchy per le derivate. Disuguaglianze di Cauchy. Le funzioni olomorfe sono localmente somma di serie di potenze. Teorema di Liouville. Teorema fondamentale dell’algebra. Principio di identità delle funzioni olomorfe e prolungamento analitico. Ulteriori applicazioni. Il teorema di Morera. Convergenza uniforme sui compatti di successioni di funzioni olomorfe. Funzioni olomorfe definite mediante integrali. Il principio di simmetria (Teorema 5.5) e il principio di riflessione di Schwarz. Il problema dell’approssimazione mediante polinomi e il teorema di Runge.
Parte 3. Funzioni meromorfe e il logaritmo. Zeri e poli. Forma di una funzione olomorfa in un intorno di un suo zero. Molteplicità di uno zero, zeri semplici. Polo di una funzione olomorfa. Forma di una funzione olomorfa in un intorno di un suo polo. Ordine del polo, parte principale e residuo. Formula per il residuo di un polo di ordine n. Formula dei residui. Il teorema dei residui. Esempi di applicazione del teorema dei residui. Singolarità e funzioni meromorfe. Singolarità rimovibili. Il teorema di Riemann sulle singolarità rimovibili. Caratterizzazione dei poli. Singolarità essenziali. Comportamento di una funzione in un intorno di una singolarità essenziale: il teorema di Casorati–Weierstrass. Funzioni meromorfe in una regione. Singolarità all’infinito. Caratterizzazione delle funzioni meromorfe nel piano complesso esteso. Il principio dell’argomento e applicazioni. Il principio dell’argomento. Il teorema di Rouché. Teorema della mappa aperta. Teorema del massimo modulo. Omotopie e domini semplicemente connessi. Integrazione di funzioni olomorfe su curve omotope. Domini semplicemente connessi. Esistenza di primitive di funzioni olomorfe e teorema di Cauchy in domini semplicemente connessi. Il logaritmo complesso. Esistenza del logaritmo in una regione semplicemente connessa. Determinazione principale del logaritmo. Serie di potenze del logaritmo. Esistenza del logaritmo di una funzione che non si annulla in una regione semplicemente connessa.
Parte 4. Funzioni intere. La formula di Jensen. Teorema di Jensen. Funzioni di ordine finito. Ordine di una funzione intera. Relazione tra ordine di una funzione intera e suoi zeri. Prodotti infiniti. Definizione di convergenza di un prodotto infinito. Condizione sufficiente di convergenza. Convergenza di prodotti di funzioni olomorfe. La formula prodotto della funzione seno. Prodotti infiniti di Weierstrass. Esistenza di una funzione intera con zeri prescritti. Il teorema di fattorizzazione di Hadamard. Fattorizzazione di funzioni intere di ordine finito.
Parte 5. La funzione Gamma di Eulero e sue proprietà. La funzione zeta di Riemann: suo prolungamento analitico. Introduzione alla congettura di Riemann.
Prerequisiti
I prerequisiti richiesti sono trattati nei corsi di Analisi I, Analisi II, Algebra lineare e Teoria della misura della Laurea triennale in Matematica e sono i seguenti: calcolo differenziale e integrale per funzioni di una e più variabili reali, elementi di base di algebra lineare, la teoria dell'integrale di Lebesgue, con particolare riferimento ai teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale e al Teorema di Fubini-Tonelli.
Gli studenti non in possesso dei requisiti sopra elencati sono invitati a contattare tramite posta elettronica il docente, che provvederà a dare indicazioni bibliografiche utili a colmare le lacune e a fornire eventuale ulteriore supporto.
Modalità didattica
In condizioni normali le lezioni saranno frontali, con uso di lavagna.
Materiale didattico
Stein and Shakarchi, “Complex analysis”, Princeton University Press
Esercizi, messi a disposizione dal docente sulla piattaforma e-learning.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
I semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Prova scritta, contenente domande di carattere teorico (dimostrazioni
di parte dei risultati discussi a lezione) ed esercizi di applicazione
della teoria, sovente di tipo simile a quelli illustrati durante le
esercitazioni. Una valutazione sufficiente dell'elaborato presuppone
che sia la valutazione delle conoscenze teoriche richieste, sia quella
delle abilità necessarie allo svolgimento degli esercizi di applicazione
della teoria risultino sufficienti.
La valutazione terrà conto dell'esattezza delle risposte, della chiarezza espositiva e della proprietà di linguaggio matematico utilizzato.
Orario di ricevimento
Per appuntamento.
Aims
The
aim of the course is to make students able to effectively use the
powerful methods of complex analysis in theoretic and practical
applications.
Specifically, the expected learning outcomes include:
- the knowledge and understanding of the fundamental definitions and statements, as well as of the basic strategies of proof in Complex Analysis;
- the skill to apply such conceptual background to the construction of concrete examples and to the solution of exercises, ranging from routine to challenging (starting with routine exercise that require straightforward application of the definitions and the results given during the lectures, up to exercise that require deep understanding of the matter and the ability of developing original ideas).
Contents
This
is a basic course in one complex variable. It includes holomorphic
functions, power series, Cauchy's theorem and applications, isolated
singularities, zeroes of entire functions and applications. We shall also provide an introduction to the Riemann zeta function and the Riemann conjecture, the most famous amongst the conjectures in Mathematics.
Detailed program
Part 1. Preliminaries. Holomorphic functions: definition and examples. Entire functions. Holomorphic functions and diffrentiable maps on R 2. Cauchy–Riemann equations. Power series. Hadamard's formula for the radius of convergence. Series expansions of e z , sin z and cos z. Power series define holomorphic function in the disc of convergence. Integration along curves. Parametrized curves, smooth curves, and piecewise smooth curves. Properties of integration along curves. Primitive of a function and its properties. Functions with anishing first derivative are constant in regions,
Part 2. Cauchy's theorem and applications. Goursat's lemma. Local primitives and the Cauchy theorem for discs. Extensions to toy contours. Computations of integrals. Examples. Cauchy's integral foolomorphic functions are locally sums of power series. Liouville's teorem. Fundamental theorem of algebra. Analytic continuation and identity principle for holomorphic functions. Morera's theorem. Uniform convergence on compacta of sequences of holomorphic functions. The symmetry principle and Schwarz's reflection principle. Runge's theorem.
Parte 3. Meromorphic functions and the logarithm. Zeroes and poles. Residues and the residue formula. Isolated singularities of holomorphic functions, and Riemann's theorem on removable singularities. Poles and essential singularities. The Casorati–Weierstrass theorem. Singularities at infinity. Characterisation of meromorphic functions on Riemann's sphere. The argument principle. Rouche's theorem. The open mapping and the maximum modulus theorems. Homotopic paths, and the general form of Cauchy's theorem. The logarithm. Existence of the logarithm in simply connected domains, and related properties.
Parte 4. Entire functions. Jensen's formula. Functions of finite order. Entire functions and its zeroes. Infinite products. Criterion of convergence. Infinite products of holomorphic functions. Product formula for sin. Weierstrass' canonical products. Entire functions with prescribed zeroes. Hadamard's factorization theorem. Factorization of entire functions of finite order.
Parte 5. Euler's Gamma function and its properties. The Riemann's zeta function and its analytic continuation. Introduction to Riemann's conjecture.
Prerequisites
The prerequisites are included in the programme of the courses Analisi I, Analisi II, Algebra lineare and Teoria della misura of the Laurea triennale in Matematica. Specifically we require a sound knowledge of differential and integral calculus in one and several variables, basic notions in Linear algebra and a good understanding of the Lebesgue integral, in particular of the Lebesgue dominated convergence Theorem and the Fubini-Tonelli Theorem.
Students lacking prerequisites are invited to contact the professor by e-mail. He will give them bibliographical suggestions useful to fill the gaps and possibly provide further support.
Teaching form
Under "normal circumstances" the lecture will be held in the lecture hall with blackboard.
Textbook and teaching resource
Stein and Shakarchi, “Complex analysis”, Princeton University Press.
Exercises, made available on the e-learning page of the course.
Semester
I semester
Assessment method
Written examination, including theoretical questions (proofs of part of the results illustrated during the course) and exercises, often similar to those solved during the class hours. In order to get a positive grade, both the parts including theoretical questions and exercises must get a passing grade.
The grade will take into account the exactness of the answers, the clarity of the exposition and the command of mathematical language used.
Office hours
Upon appointment.
Key information
Staff
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Stefano Meda