Course Syllabus
Obiettivi
Il corso: a) sulla base delle conoscenze sviluppate nel corso di Algebra I, approfondirà alcuni argomenti di teoria degli anelli e di teoria dei campi; b) illustrerà la teoria dei moduli finitamente generati su domini a ideali principali, con applicazioni ai gruppi abeliani e all'algebra lineare.
I risultati di apprendimento attesi includono
- Conoscenze: la conoscenza e la comprensione delle definizioni e risultati principali della teoria di anelli e i loro moduli e la teoria dei campi.
- Capacità: la capacità di applicare le conoscenze astratti ai problemi concreti dell'algebra.
Contenuti sintetici
Anelli, e i loro moduli e campi
Programma esteso
Complementi di teoria degli anelli: Estensioni polinomiali. Polinomi in più variabili. Domini noetheriani. Teorema della base di Hilbert.
Localizzazione.
Estensioni di anelli e campi: Estensioni algebriche e trascendenti. Campo di spezzamento di un polinomio. Campi finiti.
Moduli su un anello e algebra lineare. Moduli liberi: basi, rango, proprietà universale. Torsione. Moduli su domini a ideali principali: moduli finitamente generati; equivalenza di matrici e riduzione a forma normale. Teorema di struttura per i moduli finitamente generati. Moduli di torsione e decomposizione primaria. Fattori invarianti, divisori elementari. Applicazioni ai gruppi abeliani e alle matrici: Teorema di struttura per i gruppi abeliani finitamente generati. Forme canoniche per le matrici: matrici companion, forma canonica razionale, forma canonica di Jordan.
Prerequisiti
Conoscenze richieste: I contenuti dei corsi Algebra lineare e Geometria e Algebra I
Modalità didattica
6 cfu di lezioni, 2 cfu di esercitazioni
Materiale didattico
N. Jacobson, Basic Algebra I, Freeman & Co, 1985.
Ulteriori testi di riferimento:
S. Bosch, Algebra, Springer-Verlag, 2003.
B. Hartley & T. Hawkes. Rings, modules and linear algebra, Chapman & Hall 1970
Periodo di erogazione dell'insegnamento
1° semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Modalità d'esame: esame scritto (di ca. 90 minuti) a risposte aperte, e un esame orale (ca. 20 minuti) su i contenuti del corso. Passare l'esame scritto con almeno 40% delle risposte corrette è necessario per essere ammesso all'esame orale. Le due esami contribuiscono con ca. 50% al voto finale.
Nel primo appello l'esame scritto è composto da due esami parziali (il primo prima di natale, il secondo dopo la fine del corso (verso l'inizio di Febbraio). Gli studenti sono invitati a partecipare agli esami parziali per abituarsi alle domande. Anche risultati scarsi non hanno nessun impatto sul voto finale.
Oggetto delle domande degli esami sono definizioni, esempi e contraesempi, enunciati e applicazioni di teoremi e le loro dimostrazioni.
Dopo il primo appello ci sarà solo un esame totale che copre tutti i contenuti del corso.
Orario di ricevimento
Su appuntamento
Aims
On the basis of the knowledge acquired in the Algebra I course, the course is aimed to a) illustrate further topics in the theory of rings and fields; b) develop the theory of finitely generated modules over principal ideal domains, with applications to abelian groups and linear algebra.
Achievements of a successful attendance of the course include
- Knowledge: The knowledge and the understanding of the principle definitions, theorems and results in the theory of rings and their modules, as well as in field theory.
- Capability: The capacity to apply this abstract knowledge to concrete problems in algebra.
Contents
Rings and their modules, and fields
Detailed program
Topics in ring theory. Polynomial extensions. Polynomials in several variables. Noetherian domains. Hilbert’s basis theorem.
Localization.
Extensions of rings and fields. Algebraic and transcendental extensions. The splitting field of a polynomial. Finite fields.
Modules over a ring and linear algebra. Free modules: bases. Rank, universal property. Torsion. Modules over principal ideal domains: finitely generated modules; equivalence of matrices and reduction to normal form. Structure theorem for finitely generated modules. Torsion modules and primary decomposition. Invariant factors, elementary divisors. Applications to abelian groups and matrices: Structure theorem for finitely generated abelian groups. Canonical forms of matrices: the companion matrix, rational canonical form, Jordan canonical form.
Prerequisites
Prerequisites: The contents of the courses Linear algebra and Geometry and Algebra I.
Teaching form
6 credits (ECTS) of lecturing, 2 credits (ECTS) of exercise classes
Textbook and teaching resource
N. Jacobson, Basic Algebra I, Freeman & Co, 1985.
Additional References:
S. Bosch, Algebra, Springer-Verlag, 2003.
B. Hartley & T. Hawkes. Rings, modules and linear algebra, Chapman & Hall 1970
Semester
1st semester
Assessment method
Examination: A written exam of ca. 90 minutes (non multiple choice) and an oral examination of ca. 20 minutes on the content of the course. Both exams contribute ca. 50 percent to the final mark. Passing the written exam (answering ca. 40 percent of all the questions correctly) is mandatory for being admitted to the oral examination.
In the first call the written exam will be devided into two partial exams. (The first before Christmas, the second after the completion of the course (around first of February)). Students are advised to participate at the first two partial exams in order to practise and to get accustomed to the type of questions they have to answer. Failure in these exams will not have any impact on the final mark.
The questions will concern definitions, examples, counterexamples, exposition and application of Theorems as well as their proofs.
From the second call onward there will be just one written exam covering all the material of the course.
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