Course Syllabus
Obiettivi
Lo scopo dell'insegnamento è introdurre la teoria e l'utilizzo delle forme differenziali e della loro integrazione nel contesto degli spazi euclidei e dei loro sottoinsiemi aperti, come premessa della generalizzazione alle varietà differenziali.
Le forme differenziali sono uno strumento pervasivo e di importanza fondamentale in Geometria, Topologia Differenziale e Analisi; sono inoltre uno strumento imprescindibile nella formulazione della Fisica moderna.
La teoria verrà sviluppata dai suoi principi primi algebrici, ossia dalla nozione di tensore in algebra lineare.
I risultati di apprendimento attesi includono:
- Conoscenze: la conoscenza e la comprensione delle definizioni e degli enunciati fondamentali, nonché delle strategie di dimostrazione basilari utilizzate nella teoria delle forme differenziali; la conoscenza e la comprensione di alcune sue applicazioni, in particolare allo studio di mappe lisce proprie tra aperti in spazi euclidei e del loro grado; la conoscenza e la comprensione di alcuni esempi chiave in cui si esplica la teoria;
- Capacità: la capacità di applicare le conoscenze astratte acquisite alla risoluzione di semplici esercizi di calcolo e problemi teorici, richiamando in modo corretto e conseguente i risultati utilizzati; la capacità di maneggiare il calcolo algebrico, differenziale e integrale delle forme differenziali e di utilizzarlo nello studio di alcune semplici situazioni concrete, quali lo studio di mappe proprie; la capacità di applicare il bagaglio concettuale appreso alla costruzione e discussione di esempi concreti e alla risoluzione di esercizi; la capacità di esporre, comunicare e argomentare in modo chiaro, pertinente e preciso i contenuti teorici del corso.
Contenuti sintetici
Algebra multilineare alternante; forme differenziali sullo spazio euclideo e loro operazioni; Lemma di Poincaré; applicazioni alla fisica; integrazione; cambiamento di variabili; grado di una mappa liscia propria tra aperti euclidei e sue applicazioni; Teoremi di Gauss-Green e Stokes; teoria di De Rham (brevi cenni).
Programma esteso
Algebra esterna di uno spazio vettoriale e sue operazioni; prodotto esterno e contrazioni; spazi vettoriali orientati euclidei e loro elementi di volume; campi vettoriali e forme differenziali; differenziale esterno; forme chiuse e forme esatte; numero di avvolgimento e applicazioni; gradiente, rotore, divergenza; forme differenziali e mappe lisce: tirato-indietro; integrazione; integrazione e omotopia; formula del cambiamento di variabili; Lemma di Poincaré; Lemma di Poincaré a supporto compatto; integrazione su sottovarietà orientate; Teoremi di Gauss-Green e Stokes; grado di una mappa liscia propria tra aperti di uno spazio euclideo e tecniche di calcolo; invarianza per omotopie proprie liscie; applicazioni: il Teorema Fondamentale dell'Algebra e il Teorema del Punto Fisso di Brower.
Prerequisiti
Il contenuto dei corsi di Geometria I, di Analisi I e (in parte) II, di Algebra Lineare e Geometria.
Modalità didattica
Lezioni frontali alla lavagna (6 CFU) ed esercitazioni frontali alla lavagna (2 CFU).
Materiale didattico
Testi di riferimento: appunti del docente su e-learning
Letture consigliate:
un testo particolarmente attinente al contenuto del corso è il seguente:
- V. Guillemin and P. Haine, Differential forms, World Scientific 2019
Altre letture consigliate sono:
- M. Do Carmo, Differential forms and applications, Springer Verlag 1996;
- V. Guillemin, A. Pollack, Differential Topology 1974;
- W. Fulton, Differential Topology, a first course, Springer Verlag 1995.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
II semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L'esame può sostenuto o utilizzando le due prove parziali in itinere, ovvero negli appelli regolari.
Le prove parziali scritte consistono in una combinazione flessibile di esercizi e di domande teoriche, ciascuna delle quali verte su una parte del programma (la prima e la seconda). L'esatta suddivisione per argomenti verrà comunicata con congruo anticipo durante lo svolgimento del corso. L'esame si concluderà con una discussione scritta delle prove (vedi sotto).
L'esame negli appelli regolari consiste sempre di due prove scritte, ma di tipologia diversa: una prova 'pratica' e una prova 'teorica', seguite comunque da una discussione orale delle stesse.
La prova pratica è propedeutica alla prova teorica.
Ciascuna delle due prove scritte di ogni appello regolare verte sull'intero programma del corso. Nella prova pratica verranno sottoposti agli studenti degli esercizi computazionali, mentre nella prova teorica verranno proposte delle domande su definizioni, enunciati di teoremi, dimostrazioni, costruzione di esempi e controesempi e semplici problemi teorici.
Sia nel caso delle prove parziali in itinere sia in quello degli appelli regolari, lo scopo della discussione conclusiva è di norma esporre allo studente la correzione dei suoi elaborati; in casi particolari, in cui lo svolgimento non permetta di evincere appieno la qualità della preparazione dello studente, la discussione può concorrere anch'essa alla valutazione finale.
Nelle prove pratiche verrà valutata la capacità dello studente di maneggiare con padronanza e precisione il formalismo introdotto e di utilizzarlo per eseguire semplici calcoli, nonché di mettere all'opera le conoscenze teoriche trasmesse, richiamandole in modo preciso e pertinente.
Nelle prove teoriche verranno valutate la conoscenza e la comprensione dell'impianto concettuale del corso, nonché la capacità di organizzare in modo lucido, efficace e ben strutturato un'esposizione coerente e puntuale.
Per superare l'esame, lo studente deve prima sostenere una prova pratica, ottenendo una votazione di almeno 18/30, quindi ottenere la sufficienza di 18/30 anche nella prova teorica del medesimo appello ovvero, a sua scelta, dell'appello immediatamente successivo. La prova pratica e quella teorica concorrono in egual misura al voto finale.
A ogni esercizio/quesito (o problema) teorico di ciascuna prova verrà attribuito un punteggio parziale massimo, in ragione della sua difficoltà e lunghezza; nella valutazione dello studente verrà assegnato un punteggio in corrispondenza di ogni esercizio/quesito (o problema) teorico non superiore a quello massimo previsto, in ragione dell'esattezza, della completezza, del rigore, della chiarezza e dell'organicità dello svolgimento.
Orario di ricevimento
Su appuntamento.
Aims
The aim of the course is to introduce the foundation of the theory and of the use of differential forms on open sets of Euclidean spaces, as a basis for the general treatment in the context of differentiable manifolds.
Differential forms are a tool of pervasive and fundamental importance in Geometry, Differential Topology, and Analysis; they are furthermore unavoidable in the modern formulation of physical laws.
The theory will be developed from its algebraic first principles, that is, from the basic notion of a tensor in linear algebra.
The expected learning outcomes include the following:
- the knowledge and understanding of the basic definitions and statements, as well as of the basic strategies of proof in the theory of differential forms; the knowledge and understanding of some of the most relevant basic applications, notably to the study of smooth proper maps between opens sets of Euclidean spaces; the knowledge and understanding of some of the key foundational examples of the theory;
- the ability to apply the acquired abstract knowledge to the solution of simple computational exercises and theoretical problems, referring in a precise and well-organized manner to the pertinent results being used; the ability to master the algebraic, differential and integral calculus of differential forms, and to use it in the some simple practical situations, such as the study of proper maps between open sets of Euclidean spaces; the ability to apply the theoretical background to the construction and discussion of simple examples and solution of exercises; the ability to expose and communicate effectively and clearly the theoretical content of the course.
Contents
Alternating multilinear algebra; differential forms on Euclidean space and their operations; Poincaré Lemma; applications to physics; integration; change of variables; degree of a proper differentiable map between open sets in Euclidean spaces and applications; Theorems of Gauss-Green and Stokes; De Rham Theory (brief outline).
Detailed program
Exterior algebra of a vector space and its operations: exterior product, contractions; oriented Euclidean vector spaces and their volume elements; vector fields and differential forms; exterior differential; closed and exact forms; winding number and applications; gradient, rotor and divergence; differential forms under smooth maps: pull-back; integration; integration and homotopy; change of variable formula; Poincaré Lemma; Poincaré Lemma with compact support; integration on oriented parametrized varieties; Theorems of Gauss-Green and Stokes; degree of a proper smooth map between open sets in an Euclidean space and its computation; invariance under smooth proper homotopy; applications: the Fundamental Theorem of Algebra and the Brower Fixed Point Theorem.
Prerequisites
The content of the courses of Analysis I and (in part) II, Linear Algebra and Geometry, Geometry I.
Teaching form
Textbook and teaching resource
Reference text: teacher's notes on e-learning
Recommended reading:
the following book is especially pertinent to the content of this course:
- V. Guillemin and P. Haine, Differential forms, World Scientific 2019
Further recommended textbooks are:
- M. Do Carmo, Differential forms and applications, Springer Verlag 1996;
- V. Guillemin, A. Pollack, Differential Topology 1974;
- W. Fulton, Differential Topology, a first course, Springer Verlag 1995.
Semester
2nd semester
Assessment method
The exam may be passed either by taking two written partial tests during the course, or in the regular exam sessions following the course.
The partial tests consist in a flexible combination of exercises and theoretical questions, and each only covers a part of the program; the exact subdivsion will be comminicated well in advance during the course. They will be followed by a conclusive oral discussion (see below). To pass the exam, a minimum passing grade of 18 is required in both parts.
The regular exam sessions, on the other hand, comprise two written tests, a practical and a theoretical one, each referred to the whole course, followed by an oral discussion. In the practical test, the student will be asked to solve various computational exercises, while in the theoretical test there will be questions involving definitions, statement's of theorems, proofs, construction of examples and counterexamples, and simple theoretical problems.
The aim of the final discussion is typically to expose the evaluation of the student's script; only in special cases, where the student's competence can't be clearly assessed by the scripts, will the discussion contribute to the final evaluation.
The practical tests will measure the student's ability to master the acquired formalism and apply it to some simple computations, to build on the acquired theoretical knowledge, and to invoke it in a pertinent and precise manner.
The theoretical tests will evaluate the knowledge and understanding of the conceptual framework of the course, as well as the ability to expose it in a well-organized, consistent and effective manner.
In order to successfully complete the exam, the student needs to first pass the practical test, thus obtaining a grade of at least 18/30, and then to also obtain the passing grade in the theoretical test of the same session or, upon his/her choice, of the session immediately following.
To each exercise/theoretical question (or problem) a maximum partial grade will be assigned by the commission, depending on its difficulty and length; in the evaluation, every student will be given a grade in correspondence to each exercise/theoretical question (or problem) up to the maximum one, measuring the exactness, the completeness, the rigour, the clarity and the overall coherence of the development.
Office hours
Upon appointment.