Course Syllabus
Obiettivi
Obiettivo del corso è introdurre gli studenti ad alcuni degli oggetti e dei metodi dell'algebra. Si studieranno le proprietà di strutture algebriche fondamentali, con enfasi su gruppi, anelli e campi. Tempo permettendo verranno forniti alcuni rudimenti su linguaggi di programmazione simbolica quali GAP, Magma e Mathematica.
Al termine del corso lo studente dovra' dimostrare di essere in grado di risolvere sia esercizi di routine che di saper applicare la teoria alla rsoluzione di esercizi piu' complessi.
Contenuti sintetici
Insiemi, relazioni, operazioni; Aritmetica intera e modulare; Elementi di teoria dei gruppi e degli anelli; Algebre polinomiali.
Programma esteso
1) Insiemi, relazioni, operazioni: assioma della scelta; relazioni d'ordine (Lemma di Zorn); relazioni d'equivalenza; teorema di omomorfismo per gli insiemi; congruenze.
2) Aritmetica dell'insieme Z degli interi relativi. Aritmetica modulare.
3) Elementi di teoria dei gruppi: sottogruppi, sottogruppo generato da un sottoinsieme; gruppi ciclici; laterali di un sottogruppo, teorema di Lagrange; congruenze in un gruppo; sottogruppi normali; morfismi di gruppo e gruppi quoziente; teoremi fondamentali sui morfismi;automorfismi; prodotti diretti e semidiretti; gruppo simmetrico e gruppo alterno, gruppi di permutazioni; azioni di gruppo (G-insiemi): rappresentazione regolare, azioni per coniugio, orbite di un'azione di gruppo (equazione delle orbite, esempi); i teoremi di Sylow.
4) Elementi di teoria degli anelli: domini, corpi, campi; morfismi di anello: ideali, anelli quoziente, teoria elementare dei morfismi; teorema cinese dei resti; divisibilità in un dominio; immersione di un dominio in un campo; ideali primi e ideali massimali; domini euclidei, domini a ideali principali; domini a fattorizzazione unica; interi di Gauss.
5) Algebre polinomiali: polinomi in una variabile su un campo: decomposizione di un polinomio in fattori irriducibili, radici di un polinomio. Test di irriducibilità. Costruzione di campi mediante polinomi irriducibili.
Prerequisiti
Nozioni standard di matematica generale impartite nella scuola secondaria.
Modalità didattica
L'insegnamento prevede Lezioni frontali (48 ore, 6 CFU) ed Esercitazioni (24 ore, 2CFU). Nelle lezioni vengono presentati definizioni, risultati e teoremi rilevanti e si forniscono esempi e analisi di problemi dove vengono utilizzate le nozioni introdotte. Nelle esercitazioni vengono proposti e risolti esercizi relativi alle tematiche presentate a lezione.
Per stimolare la partecipazione degli studenti alcuni esercizi vengono proposti e la risoluzione lasciata agli studenti tramite la piattaforma WIMS.Materiale didattico
Testo di riferimento: Sono disponibili sulla piattaforma del corso sia delle note scritte in Latex che gli appunti in videoscrittura delle singole lezioni.
Altri testi consigliati:
- Aschbacher, Finite Group Theory 2nd
ed, Cambridge University Press, Cambridge, 2000.
- Childs, A Concrete Introduction to Higher Algebra 3rd ed, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, New York, 2009.
- Jacobson, Basic Algebra I, Freeman & Co, 1985
- Machi, Gruppi, Springer-Verlag, 2007
Eserciziari:
- Alzati, Bianchi, Cariboni, Esercizi di matematica discreta, Pearson, 2012
- Chirivi', del Corso, Dvornichich, Esercizi scelti di algebra Voll. 1 e 2, Springer, 2017
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Semestre: II
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L'accesso all'esame scritto richiede il superamento di una prova informatizzata.
Per accedere a tale prova e' necessario iscriversi al portale di WIMS.
Su tale portale sono disponibili 12 test di autovalutazione (uno per settimana di corso) che verranno gradualmente attivati.
Siete caldamente esortati a risolverli poiche' parte dell'esame consistera' in esercizi selezionati tra quelli dei test.
Al termine del corso verra' attribuito un bonus di xx punti se conseguito un punteggio yy ove
- xx=2 per 27<yy<=30;
- xx=1.5 per 22<yy<=27;
- xx=1 per 18<=yy<22.
- Test a scelta multipla per accertarsi che i concetti base siano stati acquisiti.
Qui viene valutata l'esattezza delle risposte
- Se sufficiente tale test da accesso alla prova scritta consistente nella risoluzione di alcuni esercizi di routine.
- Assegnazione di un esercizio in cui si valuta la capacita' di rielaborare ed utilizzare la teoria ai fini del problem-solving.
- Richiesta di delineare uno dei Teoremi cardine del corso fornendo cenni di dimostrazione ed esempi.
- Prova orale richiede l'esposizione di asserti e dimostrazioni di teoremi, le definizioni, gli esempi/controesempi e le tecniche di calcolo. Non viene attribuito a priori nessun peso relativo alla prova orale rispetto alle precedenti prove.
Le prime due fasi vengono svolte accedendo alla piattaforma WIMS.
Durante l'anno sono previsti 5 appelli: due a Febbraio e uno a Giugno, Luglio e Settembre.
Per sostenere il test a scelta multipla bisogna registrarsi sulla piattaforma WIMS http://wims.matapp.unimib.it/
La prova scritta e orale vanno sostenute nella stessa sessione.
Orario di ricevimento
Per appuntamento da fissarsi previa comunicazione con posta elettronica.
Aims
Introduce students to methods and basic contents of algebra. Fundamental structures like sets, groups and rings will be studied. Time permitting some rudiments of programming languages as Magma, Gap and Mathematica will be imparted.
At the end of lectures students will be requested to solve both routine exercises and more sophisticated problems explotiong the theoretical contents of the course.
Contents
Sets, Relations, Operations; Modular Arithmetic; Elements of Group and Ring Theory; Polynomials;
Detailed program
A) Sets, Relations, operations: Axiom of choice; order relations (Zorn’s Lemma); equivalence relations; homomorphism theorems for sets; congruences.
B) Arithmetic properties of the set of integers Z; modular arithmetics; residue classes.
C) Basics of Group Theory; subgroups, subgroup generated by a subset; cyclic groups; cosets; Lagrange’s Theorem; congrunces in a group; normal subgroups; group homomorphisms and quotient groups; main theorems on homomorphisms; automorphisms; direct and semidirect products; symmetric and alternating groups; permutation groups; group actions (G-sets); regular representation; Cayley’s Theorem; conjugation action; orbits: examles and applications; Sylow’s Theorems.
D) Basics on Ring Theory: domains, division rings, fields; ring homomorphisms: ideals, quotint rings, elementary theory of homomorphisms; Chinese remainder Theorem; divisibility in a domain; embeddings of domains into fields; prime and maximal ideals; Euclidean, principal ideal and unique factorization domains; Gaussian integers.
E) Polynomial algebras: polynomials in one variable over a field; decomposition into irreducible factors.
Prerequisites
Basic notions of high school algebra and analysis
Teaching form
The course is organized in Lectures (48 hours, 6 CFU) and Exercise classes (24hours, 2CFU). Definitions, results and relevant theorems will be presented in Lectures, providing examples and problems making use of the notions introduced. Exercises related to the subject matters covered in the lectures are presented and solved during Exercise classes. In order to encourage student participation, some exercises are left for the students to solve.
A
tutor will aid the students in solving the tests published on WIMS website
Textbook and teaching resource
Textbook: Latex written Notes and Tablet taken lectures are available on this platform.
Suggested readings:
- Aschbacher, Finite Group Theory 2nd
ed, Cambridge University Press, Cambridge, 2000.
- Childs, A Concrete Introduction to Higher Algebra 3rd ed, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, New York, 2009.
- Jacobson, Basic Algebra I, Freeman & Co, 1985
- Machi, Gruppi, Springer-Verlag, 2007
Exercise Books:
- Alzati, Bianchi, Cariboni, Esercizi di matematica discreta, Pearson, 2012
- Chirivi', del Corso, Dvornichich, Esercizi scelti di algebra Vols. 1 e 2, Springer, 2017
Semester
Second semester
Assessment method
In order to access the written assessment one has to pass a computer assisted exam.
This requires inscription to the WIMS platform.
There 12 tests are available (one for each week of lectures). They will be gradually activated.
Their resolutions will allow you to tune in with the course contents. Moreover the first part of the exam will consist of a few
exercises selected among those of all tests.
At the end of the lectures a bonus of xx will be assigned to a yy score according to following table:
- xx=2 if 27<yy<=30;
- xx=1.5 if 22<yy<=27;
- xx=1 if 18<=yy<22.
The examination is divided in five phases:
- Multiple choice test to ascertain that basic concepts have been assimilated. Exact answers are expected
- If a satisfactory score is reached the student is allowed to give a written exam consisting in the solution of a few routine exercises.
- Assessment of an exercise where skills of exploiting theoretical contents in problem-solving will be evaluated.
- Request to describe one of the main Theorems of the course providing hints of proof and examples.
- The oral examination requires the exposition of statements and proofs of the theorems, the definitions, the examples / counterexamples and the calculation techniques.No apriori relative weight is attributed to the oral examination with respect to the other parts of the exam.
The first two phases will be accessible via WIMS.
During the year there are 5 exam sessions in the following periods: two in February, one in June, one in July and one in September.
Multiple choice test requires registration on WIMS platform http://wims.matapp.unimib.it/wims
Written and Oral examination to be given in the same session.
Mark range:
18-30/30
Office hours
By appointment via e-mail.