- Geometry I
- Summary
Course Syllabus
Obiettivi
In linea con gli obiettivi formativi del Corso di Studio, lo scopo di questo insegnamento è trasmettere conoscenze basilari nell'ambito della topologia generale e della geometria degli spazi euclidei e proiettivi, sviluppare competenze utili ad analizzare e comprendere risultati fondamentali e tecniche dimostrative tipiche della teoria, maturare abilità nella risoluzione di esercizi e nell'affrontare problemi.
Contenuti sintetici
Saranno illustrati i fondamenti della topologia generale e si accenneranno alcuni aspetti della geometria degli spazi euclidei e proiettivi.
Programma esteso
Spazi topologici e applicazioni continue. Spazi metrici e loro topologia. Strutture topologiche. Base di una topologia. Sottoinsiemi di uno spazio topologico. Funzioni continue e omeomorfismi.
Esempi di spazi topologici. Sottospazi. Prodotti. Quozienti.
Proprietà topologiche. Proprietà di separazione e spazi di Hausdorff. Compattezza. Compattezza e completezza in spazi metrici. Connessione. Connessione per archi. Locale euclideità e cenni alle varietà topologiche.
Spazi euclidei e spazi proiettivi. Cenni sulla geometria degli spazi euclidei e degli spazi proiettivi.
Prerequisiti
Continuità e limiti per funzioni dalla retta reale in sé. Algebra lineare.
Modalità didattica
Lezioni frontali in aula nelle quali sarà illustrata la teoria discutendo risultati, esempi e controesempi rilevanti, intervallate da altre lezioni frontali mirate a sviluppare abilità nel risolvere esercizi e affrontare problemi.
Materiale didattico
S. Francaviglia, Topologia
https://www.amazon.it/Topologia-Seconda-Edizione-Esercizi-Esempi/dp/1658028929/
https://www.dm.unibo.it/~francavi/
E. Sernesi, Geometria, vol. I-II. Bollati-Boringhieri (1989, 1994).
J. Dugundji, Topology, 20ma edition, Allyn and Bacon Inc.
J. R. Munkres, Elements of algebraic topology, Addison Wesley (1984).
J. R. Munkres, Topology, 2nd edition. Prentice Hall (2000).
C. Kosniowski, Introduzione alla topologia algebrica. Zanichelli (1988).
M. Manetti, Topologia, 2a edizione. Springer-Verlag (2014).
Periodo di erogazione dell'insegnamento
secondo semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
1.1) un certo numero di domande a risposta multipla (4/6). per passare alla parte susseguiva e’ necessario raggiungere un punteggi minimo in questa parte
1.2) un certo numero di esercizi (2/3)
1.3) una o due domande di teoria (definizioni, enunciati, dimostrazioni)
- se non verra’ raggiunto il punteggio minimo nella parte 1.1), la prova verra’ considerata negativa.
- se verra’ raggiunto il punteggio minimo nella parte 1.1), verrano corrette la parte 1.2) e 1.3).
verranno quindi proposti due voti v1 (v2), e lo studente avre’ due possibilità’:
a) accettare v1 come voto finale e non sara’ richiesto in tal caso svolgere la parte 2 (orale). l’ accettazione avverrà’ inviando un messaggio al docente all’ indirizzo di posta elettronica mauro.spreafico@unimib.it
b) non accettare il voto v1 come voto finale. in tal caso lo studente dovra’ sostenere la seconda parte delle’ esame (prova orale). il voto della prima parte sara’ v2, ed il voto finale verra’ definito dopo l’orale.
* se v1 non appare significa che e’ necessario fare l’esame orale.
** per non fare l’ orale e’ necessario rispondere in maniera sufficiente alle domande di teoria (1.3)
2) seconda parte=parte orale orale: definizioni, enunciati, dimostrazioni, semplici esercizi, ecc (possibile revisione prova scritta)
La prova teorica, se superata, permette di sostenere la prova orale nell'appello in cui è stata affrontata o in quello immediatamente successivo (nell' anno in corso).
Orario di ricevimento
su appuntamento
Aims
Give an elementary introduction to geometry and topology.
Contents
Fundamentals of point-set topology and some aspects of euclidean and projective geometry will be discussed.
Detailed program
Topological spaces and continuous functions. Metric topology. Topological spaces. Basis of a topology. Subsets of a topological space. Continuous functions and homeomorphisms.
Examples of topological spaces. Subspaces. Products. Quotients.
Topological properties. Separation axioms and Hausdorff spaces. Compactness. Completeness and compactness in metric spaces. Connected and path-connected spaces. Locally Euclidean spaces and topological manifolds.
Euclidean and projective spaces. Geometry of euclidean and projective spaces.
Prerequisites
Limits and continuity of real functions. Linear Algebra.
Teaching form
Classroom lectures will be split into: theoretical sessions (discussion
of relevant results of the theory, examples, and counterexamples),
exercises sessions (training how to solve exercises and problems).
Textbook and teaching resource
S. Francaviglia, Topologia
https://www.amazon.it/Topologia-Seconda-Edizione-Esercizi-Esempi/dp/1658028929/
https://www.dm.unibo.it/~francavi/
E. Sernesi, Geometria, vol. I-II. Bollati-Boringhieri (1989, 1994).J. Dugundji, Topology, 20ma edition, Allyn and Bacon Inc.
J. R. Munkres, Topology, 2nd edition. Prentice Hall (2000).
J. R. Munkres, Elements of algebraic topology, Addison Wesley (1984).
C. Kosniowski, Introduzione alla topologia algebrica. Zanichelli (1988).
M. Manetti, Topologia, 2a edizione. Springer-Verlag (2014).
Semester
spring
Assessment method
The exam is split into two parts.
Written part -
Oral part -
Office hours
by appointment