- Dispense disponibili sulla pagina e-learning del corso.
- A. Bressan. Lecture Notes on Functional Analysis. American Mathematical Society, 2013.
- H. Brezis. Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Springer Science & Business Media, 2010.
- L.C. Evans. Partial differential equations, American Mathematical Society.
Insegnamento
Course full name
Higher Analysis
Course ID number
2122-1-F4001Q055
Course Syllabus
Obiettivi
Fornire un'introduzione a metodi analitici di base, utilizzando il problema di Dirichlet del Laplaciano quale filo conduttore.
I risultati di apprendimento attesi comprendono:
- Conoscenze: la conoscenza e la comprensione delle definizioni e degli enunciati fondamentali, nonché delle strategie di dimostrazione basilari utilizzate nell'analisi moderna; la conoscenza e la comprensione di alcuni esempi chiave in cui si esplica la teoria.
- Capacità: la capacità di riconoscere il ruolo dei concetti e degli strumenti avanzati dell'analisi moderna introdotti (tra cui convoluzione, distribuzioni, spazi di Sobolev) in diversi ambiti della matematica pura e applicata (analisi numerica, fisica matematica, probabilità); la capacità di applicare tale bagaglio concettuale alla costruzione di esempi concreti e alla risoluzione di esercizi; la capacità di esporre, comunicare e argomentare in modo chiaro e preciso sia i contenuti teorici del corso, sia le loro applicazioni a situazioni specifiche, anche inerenti ad altri ambiti.
Contenuti sintetici
Nozioni basilari sulla convoluzione, il problema di Dirichlet nella palla unitaria e nel semispazio, distribuzioni, regolarità di distribuzioni, spazi di Sobolev, problemi ellittici del secondo ordine.
Programma esteso
Capitolo 0. Nozioni preliminari
Convoluzione. Ipersuperficie di classe CK in Rn. Teorema della divergenza e formule di Green. Misure complesse.
Capitolo 1. Il problema di Dirichlet classico
Funzioni armoniche. Teoremi del valor medio per funzioni armoniche. Caratterizzazione di funzioni armoniche mediante la media. Principio del massimo per funzioni armoniche e unicità del problema di Dirichlet. Potenziale newtoniano. Formula di rappresentazione di Green e sue conseguenze. Funzione di Green e sue proprietà. Nucleo di Poisson. Funzione di Green e nucleo di Poisson per il semispazio. Ulteriori proprietà delle funzioni armoniche: stima delle derivate, principio di riflessione di Schwarz e Teorema di Liouville. Risoluzione del problema di Dirichlet classico sul semispazio. La funzione di Green per la sfera. Il relativo nucleo di Poisson. Soluzione del problema di Dirichlet per la sfera per n ≥ 3. Soluzione del problema di Dirichlet per il disco in dimensione due, via serie di Fourier.
Capitolo 2. Dati LP sul semispazio e convergenza al bordo
Integrale di Poisson di misure e di funzioni Lp. Convergenza debole∗. L’integrale di Poisson risolve il problema di Dirichlet sul semispazio con condizioni al bordo in senso Lp o debole*. Operatori di tipo debole (1,1). Il teorema di interpolazione di Marcinkiewicz. La funzione massimale di Hardy–Littlewood. Un lemma di ricoprimento. Proprietà di limitatezza della funzione massimale di Hardy–Littlewood. Il teorema di differenziazione di Lebesgue. Convergenza non tangenziale degli integrali di Poisson. Stime del nucleo di Poisson, funzioni massimali radiale e non tangenziale di Poisson e relativo risultato di convergenza puntuale.
Capitolo 3. Funzioni generalizzate e loro derivate
Funzioni e misure come funzionali lineari. Distribuzioni. Ogni funzione localmente integrabile è una distribuzione. Derivate di distribuzioni. La derivata di una distribuzione è una distribuzione. Esempi.
Capitolo 4. Spazi di Sobolev
Motivazioni, definizioni e proprietà. Proprietà degli spazi di Sobolev: Wk,p(Ω) è uno spazio di Banach, approssimazione con funzioni regolari, prodotto e composizione di funzioni in spazi di Sobolev. Spazi di Sobolev in dimensione 1: esistenza di un rappresentante continuo e teorema fondamentale del calcolo per funzioni W1,p(a, b). Teorema di Morrey. Disuguaglianza di Sobolev (Teorema di Sobolev-Gagliardo-Nirenberg). Immersioni di Sobolev. Operatore di prolungamento e teorema del prolungamento per il semispazio e per domini limitati regolari. Approssimazione globale con funzioni lisce. Immersioni di Sobolev per domini di estensione. Immersioni per spazi di Sobolev di ordine superiore. Teorema di Rellich-Kondrachov. Esistenza dell’operatore di traccia γ0p:W1,p(Ω) → Lp(∂Ω) per 1 ≤ p < +∞ e Ω semispazio o dominio limitato regolare. Cenni agli spazi di Sobolev di ordine frazionario, teorema di Gagliardo. Caratterizzazione di W1,p0(Ω) tramite le tracce.
Capitolo 5. Problemi ellittici del secondo ordine
Lemma di Lax-Milgram. Problemi ellittici del secondo ordine: formulazione variazionale, esistenza di soluzioni. Disuguaglianza di Poincaré. Principio di Dirichlet. Problemi ellittici con condizioni al bordo di Neumann: formulazione variazionale e cenni agli spazi H(div,Ω). Disuguaglianza di Poincaré́-Wirtinger. Esistenza di soluzioni per il problema di Neumann sotto condizioni di compatibilità sui dati.
Convoluzione. Ipersuperficie di classe CK in Rn. Teorema della divergenza e formule di Green. Misure complesse.
Capitolo 1. Il problema di Dirichlet classico
Funzioni armoniche. Teoremi del valor medio per funzioni armoniche. Caratterizzazione di funzioni armoniche mediante la media. Principio del massimo per funzioni armoniche e unicità del problema di Dirichlet. Potenziale newtoniano. Formula di rappresentazione di Green e sue conseguenze. Funzione di Green e sue proprietà. Nucleo di Poisson. Funzione di Green e nucleo di Poisson per il semispazio. Ulteriori proprietà delle funzioni armoniche: stima delle derivate, principio di riflessione di Schwarz e Teorema di Liouville. Risoluzione del problema di Dirichlet classico sul semispazio. La funzione di Green per la sfera. Il relativo nucleo di Poisson. Soluzione del problema di Dirichlet per la sfera per n ≥ 3. Soluzione del problema di Dirichlet per il disco in dimensione due, via serie di Fourier.
Capitolo 2. Dati LP sul semispazio e convergenza al bordo
Integrale di Poisson di misure e di funzioni Lp. Convergenza debole∗. L’integrale di Poisson risolve il problema di Dirichlet sul semispazio con condizioni al bordo in senso Lp o debole*. Operatori di tipo debole (1,1). Il teorema di interpolazione di Marcinkiewicz. La funzione massimale di Hardy–Littlewood. Un lemma di ricoprimento. Proprietà di limitatezza della funzione massimale di Hardy–Littlewood. Il teorema di differenziazione di Lebesgue. Convergenza non tangenziale degli integrali di Poisson. Stime del nucleo di Poisson, funzioni massimali radiale e non tangenziale di Poisson e relativo risultato di convergenza puntuale.
Capitolo 3. Funzioni generalizzate e loro derivate
Funzioni e misure come funzionali lineari. Distribuzioni. Ogni funzione localmente integrabile è una distribuzione. Derivate di distribuzioni. La derivata di una distribuzione è una distribuzione. Esempi.
Capitolo 4. Spazi di Sobolev
Motivazioni, definizioni e proprietà. Proprietà degli spazi di Sobolev: Wk,p(Ω) è uno spazio di Banach, approssimazione con funzioni regolari, prodotto e composizione di funzioni in spazi di Sobolev. Spazi di Sobolev in dimensione 1: esistenza di un rappresentante continuo e teorema fondamentale del calcolo per funzioni W1,p(a, b). Teorema di Morrey. Disuguaglianza di Sobolev (Teorema di Sobolev-Gagliardo-Nirenberg). Immersioni di Sobolev. Operatore di prolungamento e teorema del prolungamento per il semispazio e per domini limitati regolari. Approssimazione globale con funzioni lisce. Immersioni di Sobolev per domini di estensione. Immersioni per spazi di Sobolev di ordine superiore. Teorema di Rellich-Kondrachov. Esistenza dell’operatore di traccia γ0p:W1,p(Ω) → Lp(∂Ω) per 1 ≤ p < +∞ e Ω semispazio o dominio limitato regolare. Cenni agli spazi di Sobolev di ordine frazionario, teorema di Gagliardo. Caratterizzazione di W1,p0(Ω) tramite le tracce.
Capitolo 5. Problemi ellittici del secondo ordine
Lemma di Lax-Milgram. Problemi ellittici del secondo ordine: formulazione variazionale, esistenza di soluzioni. Disuguaglianza di Poincaré. Principio di Dirichlet. Problemi ellittici con condizioni al bordo di Neumann: formulazione variazionale e cenni agli spazi H(div,Ω). Disuguaglianza di Poincaré́-Wirtinger. Esistenza di soluzioni per il problema di Neumann sotto condizioni di compatibilità sui dati.
Prerequisiti
Calcolo in più variabili, algebra lineare, fondamenti di spazi di Hilbert e di spazi Lp.
Modalità didattica
Lezioni frontali, con uso di lavagna. Parte delle ore sarà dedicata all'illustrazione dei principali risultati della teoria; la rimanente parte sarà dedicata allo svolgimento di esercizi, in precedenza assegnati, di applicazione della teoria svolta.
Materiale didattico
Periodo di erogazione dell'insegnamento
I semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L'esame consiste in una prova scritta, tesa a verificare il livello delle conoscenze e la capacità di applicarle alla risoluzione di esercizi, l’autonomia di analisi e giudizio, nonché le capacità espositive acquisite dallo studente. La prova si articola in due parti: la prima parte contiene domande di carattere teorico (dimostrazioni di parte dei risultati discussi a lezione), mentre la seconda richiede di risolvere esercizi di applicazione della teoria, sovente di tipo simile a quelli illustrati durante le esercitazioni. Le due parti concorrono in egual misura alla determinazione del voto complessivo finale.
Orario di ricevimento
Su appuntamento.
Aims
The aim of the course is to introduce some basic material of wide use in analysis. This is done by illustrating how the theories explored interact with the Dirichlet problem for the Laplacian.
The expected learning outcomes include:
- the knowledge and understanding of the fundamental definitions and statements, as well as of the basic strategies of proof of modern analysis; the knowledge and understanding of some crucial examples in which the theory manifests itself;
- the ability to recognize the role that concepts and techniques from modern analysis introduced in the lectures (such as convolution, distributions, Sobolev spaces) play in various areas of pure and applied mathematics (numerical analysis, mathematical physics, probability); the skill to apply such conceptual background to the construction of concrete examples and to the solution of exercises; the ability to communicate and explain in a clear and precise manner both the theoretical aspects of the course and their applications to specific situations, possibly to different contexts.
Contents
Basics on convolution, the Dirichlet problem in the ball and in the half space, distributions, regularity of distributions, Sobolev spaces, second order elliptic problems.
Detailed program
Chapter 0. Preliminaries
Convolution. Hypersurfaces of class Ck in Rn. The divergence theorem and Green formulas. Complex measures.
Chapter 1. The classical Dirichlet problem
Harmonic functions. Mean value theorems for harmonic functions. Characterization of harmonic functions via mean value theorems.The maximum principle for harmonic functions and the uniqueness of the Dirichlet problem.The Newtonian potential. Green's representation formula. The Green's function. The Poisson kernel. Green's function and the Poisson kernel for the half-space. Further properties of harmonic funcitons: estimates for derivative, Schwarz's reflection principle and Liouville's theorem. Classical solution for the Dirichlet problem on the sphere and on the half-spce.
Chapter 2. Lp data and convergence to boundary
Poisson integral of measures and Lp functions. Weak ∗ convergence. Solution of the Dirichlet problem with Lp boundary data. Operators of weak type (1, 1). Marcinkiewicz interpolation theorem. The Hardy–Littlewood maximal operator. A covering lemma. Boundedness properties of the Hardy–Littlewood maximal function. Lebesgue's differentiation theorem. Nontangential convergence of Poisson integrals.
Chapter 3. Distributions and their derivatives
Distributions. Examples. Derivatives of distributions. Examples.
Chapter 4. Sobolev spaces
Motivations, definitions and properties. Properties of Sobolev spaces: Wk,p(Ω) is a Banach space, approximation by smooth functions, product and composition of Sobolev spaces. Sobolev spaces in dimension 1: existence of a continuous representative and fundamental theorem of calculus for W1,p(a, b) functions. Morrey Theorem. Sobolev inequality (Sobolev-Gagliardo-Nirenberg Theorem). Sobolev embeddings. Extension operator and Extension Theorem for half-spaces and bounded regular domains. Global approximation by smooth functions. Sobolev embeddings for extension domains. Embeddings for higher order Sobolev spaces. Rellich-Kondrachov Theorem. Existence of the Trace Operator γ0p: W1,p(Ω) → Lp(∂Ω) with 1≤ p < +∞ and Ω being a half-space or bounded regular domain. Fractional Sobolev spaces and Gagliardo Theorem (hints). Characterization of W1,p0(Ω) by traces.
Chapter 5. Second order elliptic problems
Lax-Milgram Lemma. Second order elliptic problems: variational formulation, existence of solutions. Poincaré inequality. Dirichlet Principle. Elliptic problems with Neumann boundary conditions: variational formulation and some hints on H(div,Ω) spaces. Poincaré́-Wirtinger inequality. Existence of solutions for the Neumann problem under compatibility conditions
Convolution. Hypersurfaces of class Ck in Rn. The divergence theorem and Green formulas. Complex measures.
Chapter 1. The classical Dirichlet problem
Harmonic functions. Mean value theorems for harmonic functions. Characterization of harmonic functions via mean value theorems.The maximum principle for harmonic functions and the uniqueness of the Dirichlet problem.The Newtonian potential. Green's representation formula. The Green's function. The Poisson kernel. Green's function and the Poisson kernel for the half-space. Further properties of harmonic funcitons: estimates for derivative, Schwarz's reflection principle and Liouville's theorem. Classical solution for the Dirichlet problem on the sphere and on the half-spce.
Chapter 2. Lp data and convergence to boundary
Poisson integral of measures and Lp functions. Weak ∗ convergence. Solution of the Dirichlet problem with Lp boundary data. Operators of weak type (1, 1). Marcinkiewicz interpolation theorem. The Hardy–Littlewood maximal operator. A covering lemma. Boundedness properties of the Hardy–Littlewood maximal function. Lebesgue's differentiation theorem. Nontangential convergence of Poisson integrals.
Chapter 3. Distributions and their derivatives
Distributions. Examples. Derivatives of distributions. Examples.
Chapter 4. Sobolev spaces
Motivations, definitions and properties. Properties of Sobolev spaces: Wk,p(Ω) is a Banach space, approximation by smooth functions, product and composition of Sobolev spaces. Sobolev spaces in dimension 1: existence of a continuous representative and fundamental theorem of calculus for W1,p(a, b) functions. Morrey Theorem. Sobolev inequality (Sobolev-Gagliardo-Nirenberg Theorem). Sobolev embeddings. Extension operator and Extension Theorem for half-spaces and bounded regular domains. Global approximation by smooth functions. Sobolev embeddings for extension domains. Embeddings for higher order Sobolev spaces. Rellich-Kondrachov Theorem. Existence of the Trace Operator γ0p: W1,p(Ω) → Lp(∂Ω) with 1≤ p < +∞ and Ω being a half-space or bounded regular domain. Fractional Sobolev spaces and Gagliardo Theorem (hints). Characterization of W1,p0(Ω) by traces.
Chapter 5. Second order elliptic problems
Lax-Milgram Lemma. Second order elliptic problems: variational formulation, existence of solutions. Poincaré inequality. Dirichlet Principle. Elliptic problems with Neumann boundary conditions: variational formulation and some hints on H(div,Ω) spaces. Poincaré́-Wirtinger inequality. Existence of solutions for the Neumann problem under compatibility conditions
Prerequisites
Calculus in several variables, linear algebra, basics of Hilbert and Lp spaces.
Teaching form
Lectures with blackboard. The teaching hours will be dedicated either to the illustration of main results in the theory, or to the solution of exercises (previously assigned) containing (possibly fine) applications of the theory.
Textbook and teaching resource
- Notes available on
the e-learning page of the course.
- A. Bressan. Lecture Notes on Functional Analysis. American Mathematical Society, 2013.
- H. Brezis. Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Springer Science & Business Media, 2010.
- L.C. Evans. Partial differential equations, American Mathematical Society.
Semester
I semester.
Assessment method
The exam consists of a written test, aimed at verifying the level of knowledge, the ability to apply it to the resolution of exercises, the student's independence in making judgements, as well as his/her communication skills. The test is divided into two parts: the first part contains theoretical questions (proofs of part of the results illustrated during the course), while the second part contains exercises, often similar to those solved during the class hours. The two parts will contribute equally to the determination of the final grade.
Office hours
Upon appointment.
Staff
-
Veronica Felli
-
Stefano Meda