Syllabus del corso
Obiettivi
Coerentemente con gli obiettivi formativi del Corso di Studio,
l'insegnamento si propone di fornire allo studente le conoscenze
riguardanti i principali metodi iterativi avanzati per la risoluzione di sistemi lineari. Verranno pure fornite le competenze necessarie a comprendere le difficoltà computazionali tipiche della risoluzione sistemi lineari di grandi dimensioni e quelle necessarie a padroneggiare le tecniche di analisi di tali metodi iterativi, così da aquisire le abilità
utili ad affrontare la scelta del solutore opportuno in problemi pratici.
Contenuti sintetici
Vengono studiati metodi iterativi avanzati presenti in letteratura e se ne considera l'applicazione alla risoluzione di sistemi lineari derivanti dalla discretizzazione di equazioni a derivate parziali e di equazioni integrali.
Programma esteso
- Metodi di Krylov per sistemi lineari simmetrici e non simmetrici.
- Analisi spettrale e tecniche di precondizionamento.
- Metodi di multigrid geometrico e algebrico.
- Decomposizione ai valori singolari e sue applicazioni.
- Trasformate veloci.
- Applicazioni alla risoluzione di sistemi lineari derivanti da equazioni a derivate parziali e equazioni
integrali: equazioni di (convezione)-diffusione e Image deblurring
Prerequisiti
Corsi di base della laurea triennale (Analisi matematica I e II, Algebra lineare, Calcolo Numerico) e eventualmente l'insegnamento di Metodi Numerici per Equazioni alle Derivate Parziali
Modalità didattica
Lezioni alla lavagna e pratica in laboratorio informatico in Matlab (8CFU).
Materiale didattico
- S. C. Brenner, L. R. Scott. The mathematical theory of finite element methods. Third edition. Texts in Applied Mathematics, 15. Springer, New York, 2008.
- G. H. Golub, C. F. Van Loan. Matrix computations. Third edition. Johns Hopkins Studies in the Mathematical Sciences. Johns Hopkins University Press, Baltimore, MD, 1996.
- A. Greenbaum. Iterative methods for solving linear systems. Frontiers in Applied Mathematics, 17. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 1997.
- P. C. Hansen, J. G. Nagy, D. P. O’Leary, Deblurring Images: Matrices, Spectra, and Filtering, SIAM, 2006.
- Y.
Saad. Iterative
methods for sparse linear systems. Second edition.
Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA,
2003.
- U.
Trottenberg, C. W. Oosterlee, A. Schüller. Multigrid.
With contributions by A. Brandt, P. Oswald and K. Stüben.
Academic
Press, Inc., San Diego, CA, 2001.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Secondo semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Progetto individuale scritto, a scelta fra 2 tracce proposte alla fine del corso e da discutere alla prova orale, e prova orale.
Il progetto valuta l'abilità dello studente nel risolvere problemi
utilizzando gli strumenti teorici e i codici sviluppati durante il
corso. Viene
incoraggiato lo sviluppo personale della traccia in accordo alle proprie curiosità e interessi.
La prova orale consiste
nella discussione del progetto e in una seconda parte ove vengono valutate la conoscenza e la capacità di esporre in modo critico i contenuti del corso e le tecniche di calcolo
introdotte,
per verificare se lo studente ha acquisito la conoscenza critica e
operativa delle definizioni, dei metodi e dei risultati presentati durante il corso.
Il voto è in trentesimi. L'esame si considera superato solo se in entrambe
le parti viene conseguita la sufficienza (18/30); le due parti
concorrono in egual misura alla votazione finale. Il progetto sufficiente rimane valido in caso di ripetizione della prova orale.
Orario di ricevimento
Su appuntamento.
Aims
Consistently with the educational objectives of the Master Degree in Mathematics,
the course aims at providing the knowledge about the advanced iterative methods for solving linear systems. Skills
to understand the computational difficulties
typical in the resolution of large linear systems and skills to
handle the techniques of analysis of the most innovative iterative
methods will be provided , so that the student will acquire those abilities useful in facing the choice of
a suitable solver in practical problems.
Contents
Advanced iterative methods proposed in literature are studied and their application to the solution of linear systems arising in the discretization of PDEs and IEs is considered.
Detailed program
- Krylov methods for symmetric and non-symmetric linear systems.
- Spectral analysis and preconditioning techniques.
- Geometrical and algebraic Multigrid methods.
- Singular value decomposition and its applications.
- Fast Transforms.
- Application to linear systems arising in the approximation of PDEs and IEs: (convection)-diffusion equations e Image deblurring.
Prerequisites
Basic courses of the degree in Mathematics (Mathematical Analysis I and II, Linear Algebra, Introduction to Numerical Analysis) and Approximation of Differential Equation, even if not mandatory.
Teaching form
Standard blackboard lessons and computer practice labs in Matlab (8 CFU).
Textbook and teaching resource
- S. C. Brenner, L. R. Scott. The mathematical theory of finite element methods. Third edition. Texts in Applied Mathematics, 15. Springer, New York, 2008.
- G. H. Golub, C. F. Van Loan. Matrix computations. Third edition. Johns Hopkins Studies in the Mathematical Sciences. Johns Hopkins University Press, Baltimore, MD, 1996.
- A. Greenbaum. Iterative methods for solving linear systems. Frontiers in Applied Mathematics, 17. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 1997.
- P. C. Hansen, J. G. Nagy, D. P. O’Leary, Deblurring Images: Matrices, Spectra, and Filtering, SIAM, 2006.
- Y. Saad. Iterative methods for sparse linear systems. Second edition. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA, 2003.
- U. Trottenberg, C. W. Oosterlee, A. Schüller. Multigrid. With contributions by A. Brandt, P. Oswald and K. Stüben. Academic Press, Inc., San Diego, CA, 2001.
Semester
Second semester.
Assessment method
Written individual project, chosen among two possible projects proposed at the end of the course and to be discussed during the oral examination, and oral examination.
The written project evaluates student's skills in solving problems by using theoretical tools and Matlab codes developed during the course. The original development of the project is encouraged according to personal curiosity and interests.
The oral examination consists in discussing the written project and in a second part where the knowledge and the ability to critically expose the studied arguments and computational techniques is evaluated in order to verify if the student has acquired the critical and operational knowledge of the definitions, methods and results presented during the course.
Mark is out of thirty. The student
needs to reach at least 18/30 in both parts to pass the exam. the final
mark is the average of the two partial marks. The project with at least 18/30 mark is still valid if the oral test is repeated.
Office hours
By appointment.
Staff
-
Cristina Tablino Possio