Course Syllabus
Obiettivi
Il corso è rivolto alla presentazione dei fondamenti matematici e fisici della teoria classica dei campi, ed in particolare tratta la meccanica dei fluidi. Si presentano le idee, i principi fondamentali e le equazioni base della teoria e si trattano in dettaglio alcuni modelli specifici. Un capitolo importante è rivolto allo studio della teoria delle onde: onde lineari e non lineari, dispersive e non dispersive, ed aspetti delle equazioni solitoniche.
I principali risultati di apprendimento attesi sono:
1)
la
conoscenza e la comprensione delle definizioni della teoria dei sistemi continui e della dinamica dei fluidi, delle loro motivazioni fisiche,
dei teoremi fondamentali e delle principali tecniche di dimostrazione degli
stessi.
2) Il riconoscimento e la comprensione delle differenti approssimazioni modellistiche (quali le equazioni costitutive, i processi di linearizzazione e espansione asintotica etc.) utilizzati durante il corso.
3)
la
capacità di applicare questo bagaglio concettuale all’analisi delle diverse applicazioni;
la capacità di esporre, comunicare e argomentare in modo chiaro e preciso sia i
contenuti teorici del corso, sia le loro applicazioni a situazioni specifiche
anche in relazione ad altri ambiti disciplinari.
4) La capacità di integrare le conoscenze acquisite
durante il corso con una elaborazione personale ulteriore, attraverso l’analisi
di temi complementari a quelli presentati durante le lezioni
Contenuti sintetici
- Lo spazio delle configurazioni per i corpi continui.
- Il tensore di deformazione ed il tensore degli sforzi. Il gradiente di velocità.
- Teoremi di trasporto e loro formulazione nella geometra delle forme differenziali nello spazio euclideo tridimensionale..
- Le equazioni di conservazione della massa, l'equazione di Cauchy, l'equazione dell'energia e la disuguaglianza entropica.
- La pressione e le equazioni di Eulero.
- Soluzioni statiche e stazionarie.
- Onde sonore e concetto di incomprimibilità.
- Teorema di Bernoulli ed applicazioni.
- Le equazioni di Hemholtz.
- Teoria dell'ala.
- Le equazioni di Navier-Stokes e le loro prime applicazioni.
- Trasformazioni di scala e numero di Reynolds. Lo strato limite e le equazioni di Prandtl.
- Onde di gravità: sistemi aria-acqua e fluidi stratificati. La tensione superficiale.
- Onde in "shallow water": le equazioni di Korteweg - de Vries (KdV), Burgers e Airy. I solitoni.
- Formulazione Hamiltoniana di KdV.
- L'equazione KdV come un sistema Hamiltoniano completamente integrabile
Programma esteso
Il corso inizia con lo studio della deformazione e del moto di un corpo continuo attraverso l'introduzione delle nozioni di gradiente di deformazione e di gradiente di velocità. Questa parte del corso introduce ed utilizza metodi di “geometria differenziale nello spazio euclideo tridimensionale”.
I teoremi di trasporto di quantità scalari e vettoriali vengono discussi e dimostrati, come parte saliente della cinematica dei corpi continui.
Quindi si passa allo dinamica con lo studio delle azioni che si esercitano sui fluidi. Il centro del discorso è la teoria di Cauchy degli sforzi. Si trattano le equazioni di conservazione della massa, e di bilancio della quantità di moto, del momento angolare e dell'energia. Si discutono poi le nozioni di energia interna e di entropia.
Si passa alla caratterizzazione delle proprietà meccaniche (e termiche) dei fluidi mediante le equazioni costitutive e le equazioni di stato. Si considerano i modelli dei fludi comprimibili ed incomprimibili ed eventualmente viscosi.
Poi si studiano più approfonditamente le equazioni del moto, partendo dal modello di Eulero.
Si parte dallo studio di soluzioni statiche, per poi aprire un’ampia “pagina” dedicata alle equazioni di Eulero per i cosiddetti fluidi ideali, ed alle sue conseguenze ed applicazioni, come l’equazione di Bernoulli, le leggi di Helmholtz sull’evoluzione della vorticità e la conservazione della circolazione.
Si tratta poi in dettaglio la teria dell'ala di Kutta-Joukowski.
Il corso prosegue con lo studio delle proprietà salienti dei fluidi viscosi, descritti dall’equazione di Navier Stokes.
Vengono introdotti e discussi i seguenti concetti:
- Il trasporto di quantità di moto tramite “azioni di taglio” e la non-conservazione dell’energia “meccanica” in Navier-Stokes.
- L'autosimilarità e il numero di Reynolds.
- Lo strato limite e le equazioni di Prandtl.
- Onde di gravità in un fluido incomprimibile (onde di superficie).
- Onde di gravità in fluidi stratificati (onde interne negli oceani).
- Onde di gravità in presenza di tensione superficiale.
- Dinamica dei gas ed equazioni quasi-lineari: teoria delle caratteristiche e onde di shock.
- Equazioni dispersive in acqua "poco profonda" (shallow water): l'equazione di Korteweg - de Vries. I solitoni e le onde cnoidali.
- La formulazioni Hamiltoniana di KdV e le costanti del moto.
Prerequisiti
Il corso non richiede la frequenza ad alcun altro corso della laurea Magistrale. Sono necessarie le nozioni dei corsi di Analisi I e II, Algebra lineare e Geometria, Fisica I e II e Sistemi Dinamici e Meccanica Classica della laurea triennale.
Modalità didattica
Lezioni (8CFU).
Materiale didattico
Testi di riferimento
- P. Chadwick, Continuum Mechanics: Concise Theory and Applications. Dover Publications, 1999.
- S. Salsa: Partial Differential Equations in Action: from Modeling to theory. Springer, 2008.
- G. Falkovich, Fluid Mechanics (a short course for physicists). Cambridge University Press, 2011.
Gli appunti delle lezioni sono pubblicati sulla pagina e-learning del corso.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
La prima parte dell'esame consiste nella discussione di un breve elaborato scritto preparato autonomamente dallo studente su un argomento scelto tra quelli di una lista fornita entro il termine del corso dal docente. Tale lista comprenderà anche temi complementari a quelli presentati a lezione. La scelta dell'elaborato va comunicata al docente almeno 10 giorni prima della data della discussione, e una copia dell'elaborato va inviata al docente almeno 2 giorni prima di tale data per una valutazione preliminare dello stesso.
Questa parte è rivolta principalmente alla verifica dei punti 3 e 4 dei "risultati di apprendimento attesi" descritti più sopra. Vengono valutati, anche in relazione alla complessità dell'elaborato scelto, la chiarezza espositiva, la capacità di sintesi e la padronanza dell'argomento.
Nella seconda parte (finalizzata alla verifica dei punti 1 e 2 tra i "risultati di apprendimento attesi") verrà richiesta l'esposizione di alcuni argomenti del programma (scelti dal docente).
Il peso relativo delle due parti dell'esame è paritetico ai fini della valutazione.
Orario di ricevimento
Su appuntamento da richiedersi via e-mail (preferito) o la presente pagina e-learning.
Aims
The course presents the physical and mathematical foundations of classical field theory, dealing especially with Fluid Dynamics. The ideas, and the fundamental equations will be presented. Some applications and examples will be dealt with in details. A relevant part of the course deals with wave motion: linear and nonlinear waves, dispersionless and dispersive waves, and soliton equations.
The main expected learning outcomes are:
1) The knowledge and understanding of the definitions of "continuum mechanics" and, especially, fluid mechanics; the knowledge of the physical motivations thereof, of the main theoretical results and of the basic strategies for their proofs.
2) The mastering of the different approximations needed in the modelling processes (such as constitutive equations, linearization processes, asymptotic expansions) discussed during the course.
3) The ability to apply such a conceptual background in the analysis of the various applications; the acquisition/improvement of the skill in presenting and clearly discussing both the theoretical contents of the matter and their implementation in specific situations, possibly related with a broader scientific area.
4) The skill to build on the acquired knowledge by further refinements to be used in the analysis of subjects not fully developed during the lectures.
Contents
- The configuration space for continous bodies.
- Stress and Deformation tensors. Velocity gradient.
- Transport theorems and their geometrical formulation in terms of differential forms in the Euclidean three-space.
- The mass conservation equations, the Cauchy equations, the energy equation and the entropy inequality.
- Isotropic stresses and the Euler equations.
- Static and stationary solutions.
- Sound waves and incompressibility.
- Bernoulli's theorem and applications.
- Hemholtz equations.
- Theory of aerofoils.
- Viscous stresses and the Navier-Stokes equations. First applications.
- Scalings and the Reynolds number. Boundary layers and Prandtl equations.
- Gravity waves: air-water and stratified fluids. Surface tension.
- Waves in shallow water: the Korteweg-de Vries (KdV), Burgers and Airy equations. Solitons.
- Hamiltonian formulation of the KdV equation.
- The KdV equation as a completely integrable Hamiltonian system.
Detailed program
The starting point of the course is the analysis of the deformation and of the motion of a continuous body, through the introduction of the notions of deformation gradient and velocity gradient. This part of the course introduces and makes use of methods of differential geometry in the Euclidean three space. Transport theorems of scalar and vector quantities are then discussed and proved as relevanmt part of the kinematics of continuum bodies.
Then dynamics is considered via the study of the external actions on a continuum deformable body. The core is Cauchy's stress theory. The mass conservation law and the balance equations for linear and angular momentum and energy are discussed. The notions of internal energy and entropy are discussed.
The mechanical (and thermal) properties of fluids are characterized via the constitutive and state equations. Models of elastic fluids (both in the compressible and incompressible regimes) and possibly viscous fluids are considered.
Then the course focusses on the motion equations starting from the Euler model.
Starting from static solutions, we move to an ample section devoted to the study of the Euler equations for the so-called ideal fluids and its consequences and applications. The most relevant are the Bernoulli equation, the Helmholtz laws on the vorticity evolution and Kelvin's circulation theorem.
Then the aerofil theory of Kutta and Joukowski is analyzed in details.
Then the most relevant properties of viscous fluids, described by the Navier Stokes equation, are studied.
Then the following points are introduced:
- the transport of linear momentum through shear stresses and the non-conservation of mechanical energy in the Navier-Stokes theory
- Scale transformations, self-similarity and the Reynolds number.
- The boundary layer and the Prandtl equations.
- Gravity waves in an incompressible fluids (surface waves).
- Gravity waves in stratified fluids (internal waves).
- Gravity waves in the presence of surface tension.
- Gas dynamics and quasi-linear equations: theory of characteristics and shock waves.
- The Korteweg-de Vries equation for waves in shallow water: non-linearity and dispersion. Solitons and cnoidal waves.
- The Hamiltonian formulation of KdV and the constants of the motion.
Prerequisites
No course of the Master Degree in Mathematics is strictly required for attending the present course. The basic notions of the courses Mathematical Analysis I and II, Linear algebra and Geometry, Physics I and II and Dynamical Systems and Classical Mechanics of the Batchelor Degree are needed.
Teaching form
Lectures (8CFU).
Textbook and teaching resource
Reference texts:
- P. Chadwick, Continuum Mechanics: Concise Theory and Applications. Dover Publications, 1999.
- S. Salsa: Partial Differential Equations in Action: from Modeling to theory. Springer, 2008.
- G. Falkovich, Fluid Mechanics (a short course for physicists). Cambridge University Press, 2011.
The notes of the lectures are published in the e-learning page.
Semester
First semester.
Assessment method
The first part of the examination consists in the presentation of a written homework on a subject chosen within a list provided by the end of the lectures by the instructor. The list will comprise (also) items complementary to those discussed in the lectures. The student should inform the instructor about her/his choice of the subject of the homework at least 10 days befor the discussion date. Also, she/he must send a copy of the homework to the instructor at least 2 days before that date for a preliminary evaluation.
The main aim of this first part mainly regards points 3 and 4 of the above-mentioned "expected learning outcomes". The evaluation will regard, also taking into account the complexity of the chosen homework subject, the clarity of the exposition, the ability to sinthetyze the subject as well as the degree of mastering of the subject acquired by the student.
In the second part, the student will be asked to discuss a few of the main points of the program (at the instructor's choice). This part mainly addresses points 1 and 2 of the "expected learning outcomes".
For what the exam's outcome is concerned, the relative weight of the two parts is equal.
Office hours
Meetings whose schedule is to be agreed either via e-mail (preferred) or this e-learning page.
Key information
Staff
-
Gregorio Falqui