Course Syllabus

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L'insegnamento si propone di fornire una selezione di strumenti, concetti e modelli avanzati del calcolo delle probabilità e dei processi stocastici, dal punto di vista sia teorico che applicativo.

Al termine del corso lo studente avrà acquisito le seguenti:

  • conoscenze: una selezione di risultati avanzati del calcolo della probabilità (grandi deviazioni), dei processi stocastici (catene di Markov a tempo continuo) e dei modelli stocastici (grafi aleatori);
  • competenze: comprensione operativa del linguaggio probabilistico e di tecniche dimostrative avanzate (ad es. coupling);
  • abilità: capacità di applicare le nozioni teoriche per la risoluzione di esercizi e l'analisi di problemi e modelli.
L'insegnamento si apre con lo studio del Processo di Posson, l'esempio più importante di processo stocastico a tempo continuo con stati discreti. Questo è il punto di partenza per lo studio generale delle catene di Markov a tempo continuo. Vengono poi presentati alcuni risultati della teoria delle grandi deviazioni, che fornisce un quadro che permette di studiare eventi rari su scala esponenziale. La terza parte del corso è dedicata ad approfondimenti sulle proprietà delle passeggiate aleatorie, un argomento fondamentale e ricco di spunti. L'ultima parte del corso si occupa della teoria dei grafi aleatori, un argomento di ricerca che sta ricevendo grande attenzione.

1. Processo di Poisson

  • Introduzione ai processi di punto
  • Il processo di Poisson
  • Proprietà asintotiche

2. Catene di Markov a tempo continuo

  • Semigruppi e generatori su spazi numerabili
  • Catene di Markov a tempo continuo
  • La proprietà di Markov forte
  • Convergenza all'equilibrio

3. Grandi deviazioni

  • Il teorema di Cramer
  • Entropia relativa e teorema di Sanov
  • Il principio di grandi deviazioni
  • Applicazione: il modello di Curie-Weiss

4. Passeggiate aleatorie

a) Passeggiate aleatorie

  • Passeggiata aleatoria semplici sugli interi
  • Teorema di Polya per passeggiate aleatorie semplici
  • Teorema di Kesten-Spitzer-Whitman

b) Passeggiate aleatorie in ambiente aleatorio

  • Problema di Dirichlet per passeggiate aleatorie su grafi
  • Teorema di Solomon per passeggiate aleatorie in ambiente aleatorio sugli interi

*c) Catene di Markov numerabili

  • Criteri di Lyapunov per ricorrenza e transienza
  • Una dimostrazione alternativa del Teorema di Polya
  • Processi di diramazione con migrazione
  • Passeggiate aleatorie sollecitate

5. Grafi aleatori

  • Introduzione ai grafi aleatori
  • Il modello di Erdos-Renyi
  • Connettività e componente gigante nel modello di Erdos-Renyi

*potremmo non riuscire a coprire una parte del (o tutto il) materiale di questo argomento, dipende dalla velocità delle lezioni

Le conoscenze, competenze e abilità impartite negli insegnamenti di calcolo delle probabilità e processi stocastici (variabili aleatorie, martingale, legge condizionale) oltre che quelle impartite nei corsi di analisi matematica.

Lezioni frontali articolate in

  • lezioni teoriche, in cui si fornisce la conoscenza di definizioni, risultati, dimostrazioni ed esempi rilevanti;
  • lezioni pratiche, in cui si forniscono competenze e abilità necessaire per utilizzare le nozioni teoriche per l'analisi di modelli e la risoluzione di problemi.

Testi di riferimento:

  • E. Pardoux, Markov processes and applications, Wiley Series in Probability and Statistics (2008)
  • F. den Hollander, Large Deviations, Americal Mathematical Society (2008)
  • R. van der Hofstad, Random Graphs and Complex Networks, Volume I, Cambridge University Press (2017)
  • S. Asmussen, Applied Probability and Queues, Springer (2003)
  • Lecture notes of the course "Topics in Random Walks" by Tal Orenshtein in 2019 at TU Berlin

Altro materiale:

  • Appunti delle lezioni
  • Altre referenze / dispense fornite dai docenti

Secondo semestre

L'esame si articola in due parti: una consegna di esercizi svolti in autonomia, che contribuisce per un sesto al voto finale, e una prova orale, che contribuisce per cinque sesti al voto finale, espresso in trentesimi.

La consegna di esercizi consiste nella risoluzione di alcuni esercizi proposti durante il corso, che lo studente dovrà svolgere in autonomia e consegnare con un anticipo di almeno una settimana rispetto alla prova orale, e ha lo scopo di valutare la continuità dell'apprendimento e le abilità pratiche.

La prova orale consiste in un colloquio della durata indicativa di 30-60 minuti in cui vengono valutate la conoscenza delle definizioni, enunciati ed esempi presentati durante il corso e la competenza e abilità nell'esposizione di una selezione di argomenti con i dettagli delle dimostrazioni.

Ci saranno 5 appelli d'esame (due tra giugno e luglio, uno a settembre, due a febbraio).

Su appuntamento

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To provide a selection among methods, concepts and advanced models of probability theory and stochastic processes, from a theoretical and practical point of view. 

At the end of the course, students will have acquired the following:

  • knowledge: a selection among advanced results of probability theory (large deviations), stochastic processes (continuous-time Markov chains) and stochastic modeling (random graphs);
  • competence: operational understanding of the probability language and advanced proof techniques (e.g. coupling);
  • skills: ability to apply theoretical notions to the solution of exercises and the analysis of problems and models.

The course starts with an introduction to the Poisson process which is the most important example of continuous-time stochastic process having discrete states and the starting point to study more general continuous-time Markov chains. In the second part of the course we present some results in large deviation theory providing tools to investigate the probability of rare events at exponenial scale. In the third part of the course we shall study topics related to random walks, a fundamental and rich object in probability. In the last part of the course we will discuss the theory of random graphs, a research topic that is receiving great attention.


1. Poisson process

  • Introduction to point processes
  • Poisson process
  • Asymptotic properties

2. Continuous-time Markov chains

  • Semigroups and generators on countable spaces
  • Continous-time Markov chains
  • Strong Markov property
  • Convergence to equilibrium

3. Large deviations

  • Cramer's Theorem
  • Relative entropy and Sanov's Theorem
  • Large deviations principle
  • Application: Curie-Weiss model
4. Random walks

a) Random walks  
  • Simple random walk on the integers
  • Polya's Theorem for simple random walks on the square lattice 
  • Kesten-Spitzer-Whitman's Theorem on the range   
b) Random walks in random environments (RWRE)
  • Dirichlet problem for random walks on graphs
  • Solomon's theorem for RWRE on the integers
*c) Countable Markov chains 
  • Lyapunov function criteria for recurrence and transience
  • Applications
    • Another proof of Polya's Theorem
    • Branching processes with migration
    • Excited random walks

5. Random graphs

  • Introduction to random graphs
  • Erdos-Renyi model
  • Connectivity and giant component in the Erdos-Renyi model
*we may not cover some (or all the) material in this topic, depending on the speed of classes


The knowledge, competences and skills taught in classical probability and stochastic processes courses (random variables, martingales, conditional law) as well as those taught in mathematical analysis courses.

Lectures and recitations in the classroom, divided into:

  • theoretical lectures, focused on the knowledge of definitions, results and relevant examples;
  • practical lectures, focused on the skills necessary to apply the theoretical knowledge and competences to both the analysis of models and the solution of exercises.

Reference textbooks:

  • E. Pardoux, Markov processes and applications, Wiley Series in Probability and Statistics (2008)
  • F. den Hollander, Large Deviations, Americal Mathematical Society (2008)
  • R. van der Hofstad, Random Graphs and Complex Networks, Volume I, Cambridge University Press (2017)
  • S. Asmussen, Applied Probability and Queues, Springer (2003)
  • Lecture notes of the course "Topics in Random Walks" by Tal Orenshtein in 2019 at TU Berlin
  • Q. Berger, F. Caravenna, P. Dai Pra, Probabilità: un primo corso attraverso esempi, modelli e applicazioni (II edizione), Springer (2021)

Other material:

  • Lecture notes
  • Other references / notes by the teacher

Spring term

The exam consists of two parts: individual assignment of exercises contribuiting one sixth to the final grade, and an oral exam contribuiting five sixths to the final grade, which will be converted as a 30 point score.

The individual assignment of exercises consists in the resolution of some exercises proposed during the course, which have to be solved autonomously by the students and due (at least) one week before the oral exam. This examination tests the continuity of learning as well as practical skills.

The oral exam consists in an interview lasting about 30-60 minutes and tests the knowledge of definitions, statements and examples presented during the course, as well as presentation skills related to a selection of topics and detailed proofs.

There will be 5 exam sessions (two between June and July, one in September and two in February).

By appointment

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Key information

Field of research
MAT/06
ECTS
8
Term
Second semester
Activity type
Mandatory to be chosen
Course Length (Hours)
56
Language
Italian

Staff

    Teacher

  • Tal Orenshtein
    Tal Orenshtein
  • Maurizia Rossi
    Maurizia Rossi

Students' opinion

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Bibliography

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Enrolment methods

Manual enrolments