Course Syllabus
Obiettivi
L’obiettivo del corso è lo studio di grafi particolari chiamati alberi e dei gruppi che vi agiscono. Questa teoria è stata sviluppata da Hyman Bass e Jean-Pierre Serre negli anni ‘70 ed è oggi uno dei mattoni di base nello studio della teoria geometrica di gruppi, che si propone di recuperare proprietà di gruppi mediante la loro azione su certi spazi topologici. Tempo permettendo, vedremo qualche applicazione come le terminazioni (ends) di gruppi, la caratterizzazione dei sottogruppi di gruppi liberi tramite grafi di Stallings, il bordo di un albero, ecc.
- conoscenze: linguaggio, definizioni ed enunciati dei risultati fondamentali della teoria di Bass-Serre;
- competenze: comprensione operativa delle principali tecniche dimostrative;
- abilità: capacità di applicare le nozioni teoriche per la risoluzione di esercizi (problem solving)
Contenuti sintetici
Grafi e alberi, grafi di Cayley; gruppi liberi, prodotti liberi e generalizzazioni; azioni di gruppi su alberi.
Programma esteso
- grafi, cammini, connettività, alberi;
- azioni di gruppi su grafi, grafi di Cayley, grafi quoziente;
- gruppi liberi, lemma del diamante e del ping-pong
- prodotti liberi e amalgamati, estensioni HNN;
- grafi di gruppi, gruppo fondamentale di un grafo di gruppi,
- teorema di caratterizzazione per gruppi che agiscono su alberi (teorema fondamentale della teoria di Bass-Serre)
- teorema di Kurosh per sottogruppi di prodotti liberi
Prerequisiti
Algebra I, Geometria I.
Modalità didattica
Lezioni frontali
Materiale didattico
- O. Bogopolski, Introduction to Group Theory, EMS Textbooks in Mathematics, 2008.
- J. Meier, Groups, Graphs and Trees, London Mathematical Society, Student Texts, 73, CUP, 2008.
- J-P. Serre, Trees, Springer-Verlag, Berlin, 1980.
- W. Dicks, M. Dunwoody. Groups acting on graphs. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 17. Cambridge University Press, Cambridge, 1989
- G. Baumslag, Topics in combinatorial group theory. Lectures in Mathematics ETH Zürich. Birkhäuser Verlag, Basel, 1993
Periodo di erogazione dell'insegnamento
1° semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Una presentazione di 20 minuti su un'applicazione o un tema relazionato della teoria di Bass-Serre concordato con il docente, e un esame orale sui contenuti del corso da cui si valuta le conoscenze acquisite dallo studente. La presentazione contribuisce 20% al voto finale, 80% contribuisce l'esame orale.
Orario di ricevimento
Su appuntamento.
Aims
The main goal of this course is the study of certain graphs called trees and of the groups acting on them. This theory was developed by Hyman Bass and Jean-Pierre Serre in the ‘70s and is now a building block in the study of Geometric Group Theory, which aims to recover group properties by observing how groups act on certain topological spaces. Time permitting, we will see some application of the theory, such as ends of groups, the characterization of subgroups of free groups via Stallings graphs, the boundary of a tree, etc.
- knowledge: learning the language, definitions and statements of the main results of Bass-Serre theory;
- expertise: concrete understanding of the main proof techniques;
- skills: ability to apply the theory to solve problems
Contents
Graphs, trees, Cayley graphs; actions of groups on graphs, free groups, free products and their generalizations
Detailed program
- graphs, paths, connectivity, trees.
- group actions on graphs, Cayley graphs, quotient graphs;
- free groups, diamond and ping-pong lemmas
- free products (with amalgamation), HNN-extensions.
- graph of groups; the fundamental group of a graph of groups;
- Characterization theorem for groups acting on trees (the fundamental theorem of Bass-Serre theory)
- Kurosh theorem for subgroups of free products
Prerequisites
Algebra I, Geometria I.
Teaching form
Frontal instruction
Textbook and teaching resource
- O. Bogopolski, Introduction to Group Theory, EMS Textbooks in Mathematics, 2008.
- J. Meier, Groups, Graphs and Trees, London Mathematical Society, Student Texts, 73, CUP, 2008.
- J-P. Serre, Trees, Springer-Verlag, Berlin, 1980.
- W. Dicks, M. Dunwoody. Groups acting on graphs. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 17. Cambridge University Press, Cambridge, 1989
- G. Baumslag, Topics in combinatorial group theory. Lectures in Mathematics ETH Zürich. Birkhäuser Verlag, Basel, 1993
Semester
1st semester
Assessment method
A 20 minutes presentation on an application of or a topic related to Bass-Serre theory previously agreed with the instructor, followed by an oral examination on the content of the course to assess the students’ acquired proficiency in explaining and applying Bass-Serre theory. The talk will contribute 20% to the final grade, while the oral exam will provide the remaining 80%.
Office hours
By appointment.
Staff
-
Francesco Matucci