Course Syllabus
Obiettivi
Coerentemente con gli obiettivi formativi del Corso di Studio, l'insegnamento si propone di fornire allo studente le conoscenze riguardanti le definizioni e gli enunciati fondamentali della teoria dei processi stocastici a tempo discreto. Verranno altresì fornite le competenze necessarie a comprendere e analizzare le principali tecniche e metodi dimostrativi connessi all teoria, e le abilità utili ad applicarle per risolvere esercizi e affrontare problemi. Una particolare enfasi verrà posta sulle martingale.
Contenuti sintetici
Legge e speranza condizionale. Martingale a tempo discreto. Cenni sul comportamento asintotico delle catene di Markov. Mercati finanziari e Martingale. Esempi e applicazioni.
Programma esteso
- Legge e speranza condizionale. Definizioni e proprietà. Esistenza della speranza condizionale di una variabile aleatoria rispetto a una sigma algebra. Proprietà fondamentali: proprietà della torre, disuguaglianza di Jensen, lemma del congelamento (freezing). Teoremi di passaggio al limite.
- Martingale a tempo discreto. Definizione ed esempi (somme di v.a. indipendenti centrate, prodotto di v.a. indipendenti e di media 1, martingale chiuse). Integrale di un processo prevedibile. Martingale arrestate. Teorema di arresto opzionale. Applicazioni: tempo di primo passaggio di una passeggiata aleatoria su Z; problema della rovina del giocatore. Lemma sugli attraversamenti (upcrossing). Convergenza quasi certa delle martingale limitate in L^1. Martingale limitate in L^2. Uniforme integrabilità e convergenza in L^p. Disuguaglianza massimale. Disuguaglianza di Doob. Esempi: processi di ramificazione di Galton-Watson. Assenza di arbitraggio nei mercati binomiali a tempo discreto.
- introduzione al comportamento asintotico delle catene di Markov. Definizione e proprietà. Legami con martingale e funzioni armoniche. Misure invarianti: esistenza e unicità nel caso irriducibile e positivamente ricorrente. Teorema ergodico e legge dei grandi numeri.
- Mercati finanziari a tempo discreto. Arbitraggio e misura martingala equivalente
Prerequisiti
Sono necessarie le nozioni del calcolo differenziale e integrale per funzioni di una e più variabili reali e quelle del calcolo delle probabilità con teoria della misura. È utile conoscere definizioni e prime proprietà degli spazi L^p e degli spazi di Hilbert.
Modalità didattica
Lezioni frontali in aula, articolate in: lezioni teoriche in cui si fornisce la conoscenza di definizioni, risultati ed esempi rilevanti e altre in cui si tentano di fornire competenze e abilità necessarie per utilizzare tali nozioni nella risoluzione di esercizi e nell'analisi di problemi (anche legati ad applicazioni extra-matematiche).
Materiale didattico
- D. Williams, Probability with Martingales, Cambridge University Press
(1991).
- E. Pardoux, Markov Processes and Applications, Wiley
Series in Probability and Statistics (2008).
- Dispense e appunti dei
docenti (disponibili sulla piattaforma di e-learning).
- Testi e soluzioni
dei temi delle prova scritta degli anni precedenti (disponibili sulla
piattaforma di e-learning).
- Elenco delle dimostrazioni che
possono essere richieste durante la prova orale (disponibili sulla
piattaforma di e-learning).
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Esame scritto e orale. Voto in trentesimi.
Nella prova scritta viene valutata la abilità operativa di risolvere esercizi utilizzando le conoscenze fornite nel corso. La prova scritta viene valutata con un voto in trentesimi. È necessario ottenere una valutazione di almeno 16/30 nella prova scritta per accedere alla prova orale, in cui viene valutata se lo studente ha acquisito le competenze necessarie a presentare una selezione delle dimostrazioni svolte in aula, e, soprattutto, la conoscenza critica e operativa delle definizioni e dei risultati del corso, anche mediante l’illustrazione di esempi e controesempi. La valutazione finale risulterà dalla media tra la valutazione della prova scritta e quella della prova orale. L'esame è superato se il voto è almeno 18/30.
Orario di ricevimento
Su appuntamento.
Aims
In line with the educational objectives of the Master Degree in Mathematics, the course aims at providing the knowledge about the fundamental concepts and statements of the theory of stochastic processes in discrete time. It will also build the skills needed to understand and use the most important proving arguments and techniques in the theory and the ability to solve exercises and deal with problems exploiting them. Particular emphasis will be put on the theory of martingales.
Contents
Conditional law and conditional expectation. Martingales in discrete time. Introduction to the asymptotic behavior of Markov chains. Financial markets and Martingales. Examples and applications.
Detailed program
- Conditional law and expectation. Definitions and properties. Existence of conditional expectation of a random variable with respect to a sigma algebra. Fundamental properties: tower property, Jensen inequality, freezing. Limit theorems.
- Discrete-time Martingales. Definition and examples (sums of independent centered r.v.s, products of independent r.v.s with expectation 1, closed martingales). Integral of a predictable process. Stopped Martingales. Optional stopping theorem. Applications: first hitting time of a random walk on Z; the gambler's ruin problem. Upcrossing Lemma. Almost certain convergence of martingales bounded in L^1 norm. Martingales bounded in L^2 norm. Uniform integrability and convergence in L^p. Maximal inequality. Doob's inequality. Examples: Galton-Watson branching processes. Absence of arbitrage in discrete time binomial markets.
- Asymptotic behavior of Markov chains. Definition and properties. Links with martingale and harmonic functions. Invariant measures: existence and uniqueness in the irreducible and positively recurrent case. Ergodic theorem and law of large numbers.
- Financial markets with discrete time. Arbitage and equivalent martingale measure.
Prerequisites
Knowledge of differential and integral calculus for functions of one and more real variables, as well as measure-theoretical probability theory is needed. It is also useful to know definitions and basic properties of L^p spaces and Hilbert spaces.
Teaching form
Lectures in the classroom, divided into: theoretical lessons in which the knowledge about definitions, results and relevant examples is given and other lessons in which we try to give the skills and abilities needed to use the previous notions to solve exercises and to deal with problems (also related to extra-mathematical applications).
Textbook and teaching resource
- D. Williams, Probability with Martingales, Cambridge University Press
(1991).
- E. Pardoux, Markov
Processes and Applications, Wiley Series in Probability and
Statistics (2008).
- Lecture notes
(available on the e-learning platform)
- Written tests from previous years, with detailed solutions (available on the e-learning
platform).
- List of proofs that may be requested during the oral examination
(available on the e-learning platform).
Semester
First (fall) semester.
Assessment method
Written and oral exam. Mark out of thirty.
The written test evaluates
the operational ability to solve exercises, it receives a mark out of thirty. It is necessary to
obtain an evaluation of at least 16/30 in the written test to access
the oral exam, which evaluates the capacity to present a selection of proofs and, above all, the critical and operational knowledge
of the definitions and results presented during the course, also by means of examples and counterexamples. The
final evaluation will result from the average between
the evaluation of the written test and that of the oral examination. The exam is passed if the evaluation is at least 18/30.
There will be 5 exam sessions (January, February, June, July, September).
Office hours
By appointment.
Staff
-
Federica Masiero
-
Gianmario Tessitore