Course Syllabus
Obiettivi
Coerentemente con gli obiettivi formativi del Corso di Studio, l'insegnamento si propone di fornire allo studente le conoscenze riguardanti le definizioni e gli enunciati fondamentali della teoria dei giochi. Verranno altresì fornite le competenze necessarie a comprendere e analizzare le principali tecniche e metodi dimostrativi connessi alla teoria, e le abilità utili ad applicarle per risolvere esercizi e affrontare problemi. Una particolare enfasi verrà posta sul concetto di equilibrio di Nash e sul legame con le corrispondenze di miglior risposta in un gioco strategico, sulle strategie miste e comportamentali in un gioco in forma estesa, sul concetto di gioco cooperativo a utilità trasferibile.
Contenuti sintetici
Giochi strategici ed equilibrio di Nash, giochi in forma estesa, giochi cooperativi.
Programma esteso
1. INTRODUZIONE ALLA TEORIA DEI GIOCHI
Problemi di decisione, preferenze. Funzione di utilità. Problema di decisione convesso e funzioni di utilità lineari. Lotterie. Funzione di utilità di von Neumann e Morgenstern.
2. GIOCHI STRATEGICI
Definizione di gioco strategico a n giocatori. Equilibrio di Nash. Corrispondenza di miglior risposta. Punti fissi di una corrispondenza e caratterizzazione degli equilibri. Teorema di Kakutani. Teorema di Nash.
Giochi a due giocatori a somma zero. Valore del gioco. Relazione tra esistenza di equilibri di Nash e valore del gioco.
Estensione miste di giochi finiti. Supporto per una strategia mista e corrispondenza di miglior risposta in strategie pure. Caratterizzazione degli equilibri. Bimatrix game. Matrix game. Teorema di minimax di Von Neumann. Algoritmo per 2xm-matrix game. Equilibri perfetti.
Strategie strettamente dominanti ed eliminazione iterata.
3. GIOCHI IN FORMA ESTESA
Insieme delle scelte. Gioco in forma estesa a memoria
perfetta. Gioco in forma estesa a informazione
perfetta. Strategie pure, comportamentali, miste. Strategie equivalenti. Teorema di Kuhn. Equilibrio di Nash di per un gioco in
forma estesa.
Decomposizione e sottogioco. Equilibrio perfetto nei sottogiochi. Metodo di induzione a ritroso. Teorema di esistenza di equilibri perfetti nei sottogiochi.
4. GIOCHI COOPERATIVI
Coalizione. Giochi a utilità non trasferibile (NTU-game). Problemi di contrattazione (Bargaining). Punti Pareto efficienti. Regola di allocazione. Soluzione di Nash. Giochi a utilità trasferibile (TU-game). Nucleo e concetti relativi. Valore di Shapley. Nucleolo. Giochi convessi.
Applicazioni.Prerequisiti
Le conoscenze di base e i principali risultati di algebra lineare e analisi in ambito finito-dimensionale.
Modalità didattica
Lezioni frontali alla lavagna.
Parte delle ore sarà dedicata all'illustrazione dei principali risultati della teoria; la rimanente parte sarà dedicata allo svolgimento di esercizi di applicazione della teoria svolta.
Materiale didattico
J. Gonzalez-Diaz, I. Garcia-Jurado and M.G. Fiestras-Janeiro, An Introductory Course on Mathematical Game Theory, American Mathematical Society
M. Maschler, E. Solan, S. Zamir, Game Theory, Cambridge University Press
Periodo di erogazione dell'insegnamento
II semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Scritto e/o orale
Prova scritta: consiste in
a) esercizi che permettono al docente di valutare la capacità dello studente di applicare la teoria nella risoluzione di problemi (80%)
b) un quesito di tipo teorico, in cui si chiede allo studente una dimostrazione tra quelle proposte, oppure di fornire in modo completo alcune definizioni, enunciati di teoremi, dando qualche esempio (20%)
Prova orale: la prova orale verte su teoremi e dimostrazioni, di cui viene fornito a fine corso un elenco dettagliato, così come su esercizi teorici; è preceduta da una discussione della prova scritta. Possono sostenere la prova orale solo gli studenti che hanno ottenuto nello scritto una votazione non inferiore a 27. Gli studenti che hanno riportato una votazione superiore a 27 trentesimi e decidono di non sostenere l’esame orale, possono registrare il voto di 27 trentesimi. A coloro che hanno riportato una votazione sufficiente viene registrato il voto: è diritto dello studente non accettare il voto, ma tale decisione deve essere comunicata al docente entro la data indicata ogni volta in coda agli esiti. Tale prova ha un peso relativo del 25%.
In ciascuna prova vengono valutati la correttezza del ragionamento, la chiarezza e il rigore dell'esposizione.
Lo studente che ottiene una valutazione sufficiente nella prova scritta, può rifiutare il voto (dello scritto, o dell'eventuale orale) per non più di due volte.
Orario di ricevimento
Su appuntamento
Aims
In line with the educational objectives of the Master Degree in Mathematics, the course aims at providing the knowledge about the fundamental concepts and statements of the theory of games. It will also build the skills needed to understand and use the most important proving arguments and techniques in the theory and the ability to solve exercises and deal with problems exploiting them. Particular emphasis will be put on the notion of Nash equilibrium and its relationship with the best reply correspondence, on mixed and behaviour strategies in extended-form games, on coalitional games with tranferable utility.
Contents
Strategic games and Nash equilibrium, extended-form games, coalitional games.
Detailed program
1. INTRODUCTION TO DECISION THEORY
Decision problems, preferences. Ordinal utility. Linear utility.
2. STRATEGIC-FORM GAMES
Definition of n-player strategic game. Nash equilibrium in strategic games. Best reply correspondence. Kakutani Theorem. Nash Theorem. Two-player zero-sum game: value of the game. Mixed strategies in finite games. Support of a mixed strategy and characterization of Nash equilibria. Bimatrix games. Matrix games. Von Neumann minimax theorem. Algorithms for matrix games. Refinements of Nash equilibrium in finite games. Domination. Elimination of dominated strategies.
3. EXTENSIVE-FORM GAMES
Strategies in extensive games: mixed strategies vs. behaviour strategies. Kuhn Theorem. Nash equilibrium in extensive games. Subgame perfect equilibrium. Rationality, backward induction. Perfect equilibrium.
4. COOPERATIVE GAMES
Coalitions. Nontransferable utility games. Bargaining. Transfer utility games. The core and related concepts. The Shapley value. The nucleolus. Convex games.
Applications.
Prerequisites
Basic concepts and results of linear algebra and analysis in finite-dimensional spaces.
Teaching form
The lectures will be held in the lecture hall with blackboard.
The teaching hours will be dedicated either to the illustration of the main results in the theory, or to the solution of exercises of applications of the theory.
Textbook and teaching resource
J. Gonzalez-Diaz, I. Garcia-Jurado and M.G. Fiestras-Janeiro, An Introductory Course on Mathematical Game Theory, American Mathematical Society
M. Maschler, E. Solan, S. Zamir, Game Theory, Cambridge University Press
Semester
II
Assessment method
Examination type:
Written and oral examination.
a) The written part consists of exercises where the students show their ability in using methods and tools introduced in the course (80%), as well as questions (20%). If the mark of the written exam is between 18/30 and 26/30, then the final grade is the grade of the written exam. If the grade of the written part is greater than or equal to 27/30, the student obtains at most 27/30 as final grade unless he/she decides to undergo the oral part.
b) The oral part consists of statements and proofs of theorems from a detailed list, as well as theorical exercises. It is only for students with mark not less than 27/30 in written examination. Its relative weight is 25%. It consists in:
- discussion about the written part;
- the student must show his competence about subjects considered in the lectures (i.e., statements and proofs of theorems from a detailed list, theorical exercises)
If the grade of the written part is more, or equal to 18, the student can decline it al most twice.
Office hours
By appointment
Staff
-
Rita Pini