Course Syllabus
Obiettivi
Questo insegnamento ha lo scopo di proseguire ed approfondire il percorso in geometria della Laurea Triennale. Non è propedeutico agli altri insegnamenti di Geometria, che possono comunque essere scelti indipendentemente, ma ha la finalità di unificare e collegare le altre tematiche, contribuendo a rendere l’offerta complessiva più organica e sinergica.
La topologia differenziale indaga l’interazione tra la struttura differenziale e le proprietà topologiche delle varietà differenziali. Lo studio delle forme differenziali fornisce un ponte tra questi aspetti, in quanto espressione della struttura differenziale ed ingrediente delle coomologia di de Rham. La topologia differenziale è quindi una base naturale per affrontare anche tematiche più astratte e generali in Topologia Algebrica. Le tecniche legate all’ambito differenziale forniscono inoltre un approccio concreto ed esplicito alla teoria dell’intersezione.
I risultati di apprendimento attesi comprendono:
Conoscenze: la conoscenza e la comprensione delle definizioni e degli enunciati fondamentali, nonché delle strategie di dimostrazione basilari utilizzate in topologia differenziale; la conoscenza e la comprensione di alcuni esempi chiave in cui si esplica la teoria.
Capacità: la capacità di applicare le tecniche e i concetti sviluppati alla discussione di esempi notevoli e alla soluzione di semplici esercizi, nonché di esporre in modo organico, con limpidezza e precisione, i risultati teorici appresi.
Contenuti sintetici
Teoria di de Rham su una varietà differenziali; trasversalità e teoria dell’intersezione.
Programma esteso
I PARTE
- Coomologia di de Rahm. La sequenza di Mayer-Vietoris. I lemmi di Poincaré e teoria del grado (richiami). Dualità di Poincaré su una varietà orientata. Formula di Künneth e Teorema di Leray-Hirsch. Fibrati vettoriali e isomorfismo di Thom. Classe di Eulero, numero di Eulero e caratteristica di Eulero.
II PARTE:
- Applicazioni trasverse ad una sottovarietà liscia, intersezione di varietà trasverse. Applicazioni: classificazione della varietà lisce di dimensione 1 e Teorema del punto fisso di Brower. Teoremi di trasversalità. Indice di intersezione modulo 2 e grado di una mappa modulo 2. Cenni alla teoria dell’intersezione per varietà orientate.
Prerequisiti
Sono presupposti: i contenuti di base dei corsi di Analisi, Geometria e Algebra Lineare del biennio della Laurea Triennale in Matematica; le nozioni di base sulle varietà differenziale e sulle forme differenziali, come introdotte per esempio nei corsi di Geometria II e III. Verrà fatto comunque un breve riepilogo quando necessario.
Modalità didattica
Periodo di erogazione dell'insegnamento
II semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L'esame consiste di due prove scritte, seguite da una discussione orale delle stesse. Ciascuna delle prove verterà su una parte del corso (I e II), e sarà finalizzata alla valutazione della conoscenza, della comprensione e delle capacità che costituiscono gli obiettivi formativi dell'insegnamento. Ogni prova consiste di una combinazione flessibile di quesiti teorici (definizioni, enunciati, dimostrazioni) e di quesiti di carattere più pratico (risoluzione di esercizi, costruzione di esempi o controesempi). Ogni prova verrà valutata indipendentemente e concorrerà in egual misura alla determinazione del voto complessivo finale; al fine del superamento dell'esame entrambe le prove dovranno essere sufficienti (votazione di almeno 18/30).
Le due prove scritte possono essere sostenute in appelli differenti. In ogni appello sarà possibile a iscriversi a entrambe le prove scritte, ma solo alla seconda è abbinata la registrazione del voto. La data della discussione orale degli scritti verrà annunciata dopo la correzione.
Orario di ricevimento
Su appuntamento.
Aims
The scope of this course is the continuation of the study of Geometry along the path started in the Laurea Triennale (Bachelor). While it is not a strict prerequisite to the other courses in Geometry, which can be taken independently, it aims to unify and connect the different themes and perspectives developed in them.
Differential topology studies the interplay between the differential structure and the topological properties of smooth manifolds. Differential forms link these two aspects, as they are at the same time an offspring of the smooth structure and the constituent of de Rham cohomology. Differential topology is thus also a natural starting base to explore more abstract aspects of algebraic topology. These techniques also yield a geometric approach to intersection theory.
The expected learning outcomes include the following:
- the knowledge and understanding of the basic definitions and statements, as well as of the basic strategies of proof in the theory of differential topology; the knowledge and understanding of some of the most relevant basic applications and examples of the theory;
- the ability to apply the acquired abstract knowledge to the construction and discussion of simple examples and solution of exercises; the ability to expose and communicate effectively and clearly the theoretical content of the course.
Contents
De Rham Theory for smooth manifolds; transversality and intersection theory.
Detailed program
Part I:
- De Rham cohomology. Mayer-Vietoris sequence. Poincarè Lemmas and the degree of a proper map. Poincarè duality on orientable manifolds. Kunneth's Formula and Laray-Hirsch's Theorems. Vector bundles and Thom isomorphism. The Euler class and Euler characteristic.
Part II:
- Transversal maps, intersection of transversal varieties. Applications: classifications of 1-manifolds and Brower fixed point Theorem. Transversality Theorems. Intersection numbers mod 2 and degree of a map mod 2. Intersection Theory for oriented varieties.
Prerequisites
The content of the courses of Analysis I, Linear Algebra and Geometry, Geometry I. The basics on differential varieties and differential forms (as content of Geometry II and Geometry III). Brief recalls will be offered as needed.
Teaching form
Front lessons at the blackboard.
Semester
Second semester
Assessment method
The exam comprises two written tests, followed by an oral discussion. Each test is referred to a single part of the course (I and II) and will evaluate the knowledge and understanding of the conceptual framework of the course, as well as the ability to expose it in a well-organized, consistent and effective manner. In each test there will be questions involving definitions, statement's of theorems, proofs, construction of examples and counterexamples, and simple theoretical problems. Each test will be assessed independently and will contribute equally to the contribution of the final grade; in order to successfully complete the exam the students need to obtained a grade of at least 18/30 in each test.
The two tests can be taken in different sessions. It is possible to enroll in both written tests, but only the second one gives the registration of the vote. The date of the oral discussion will be announced after the correction.
Office hours
Upon appointment.