Course Syllabus
Obiettivi formativi
1) Conoscere i tipi di fondamentali di strumenti derivati e comprendere i loro utilizzi e il loro significato finanziario
2) Comprendere il concetto di modello di mercato finanziario e il suo utilizzo nella valutazione di uno strumento derivato
3) Conoscere nel dettaglio i modelli studiati e le derivazioni delle relative formule
4) Saper applicare i modelli studiati alla valutazione e alla copertura di un generico strumento derivato.
Contenuti sintetici
- Concetti base sulle opzioni
- Modello binomiale multiperiodale
- Modelli uniperiodali
- Modelli in tempo continuo
- Modello di Black-Scholes
- Beyond Black-Scholes
- Il metodo Montecarlo
- Modello di Vasicek
- Modello di Merton
Programma esteso
Concetti base sulle opzioni
Richiami sugli strumenti derivati: contratti forward, contratti futures, opzioni call e put ed esempi di applicazioni. Concetto di payoff e di replicazione; prezzo forward e parità spot-forward. Put-call parity. Combinazioni di opzioni (spread, butterfly, strangle, straddle). Convessità del prezzo della call in funzione dello strike. Superreplicazione e subreplicazione. Vincoli di Merton. Opzioni americane e ottimalità dell'esercizio anticipato. Discussione qualitativa dei fattori che influenzano i prezzi delle opzioni.
Modelli binomiali
Il modello binomiale uniperiodale: derivazione della formula
per il prezzo di un generico payoff.
Il modello binomiale biperiodale e il suo utilizzo per la
valutazione delle opzioni americane.
Il modello binomiale multiperiodale: formula di valutazione
di un generico payoff e derivazione della formula per la call europea. Scelta
dei parametri u e d e volatilità storica.
La formula di Black-Scholes come limite della formula per la
call nel modello binomiale multiperiodale.
Modelli uniperiodali generali
Modelli uniperiodali con un numero arbitrario di titoli e di
stati del mondo. Matrice dei payoff.
Replicabilità, completezza del mercato, caratterizzazione
della completezza.
Definizione di opportunità di arbitraggio. Definizione del
vettore dei prezzi degli stati e primo teorema fondamentale di valutazione.
Secondo teorema fondamentale di valutazione.
Superreplicazione e subreplicazione come problema di
programmazione lineare.
Modelli in tempo continuo
Definizione e prime proprietà del moto browniano
Processi di Ito: definizione ed esempi (moto browniano con drift, moto browniano geometrico)
Formula di Ito: drift e volatilità di un processo
trasformato
Moto browniano geometrico, richiami sulla distribuzione
lognormale.
Il modello di Black-Scholes
Ipotesi del modello. Derivazione della equazione differenziale di Black - Scholes. Soluzioni particolari, principio di sovrapposizione. Derivazione della formula di BS come valore atteso attualizzato del payoff. Prime proprietà della formula di BS. Dipendenza dai parametri e calcolo delle greeks. Prime estensioni del modelo di BS: presenza di flussi indotti. Verifiche empiriche del modello di BS. La volatilità implicita e lo smile. Approssimazione per opzioni ATM a breve scadenza.
Beyond Black-Scholes
Verifiche empiriche del modello di BS. Il concetto di volatilità implicita. Cenni sui modelli a volatilità locale e sui modelli a volatilità stocastica. L'indice VIX.
Il metodo Montecarlo
Simulazione di numeri casuali. Calcolo del prezzo di uno strumento derivato con il metodo Montecarlo.
Calcolo delle greeks con il metodo Montecarlo.
Il modello di Vasicek
Dinamica dello short rate. Cenni sull integrale stocastico rispetto a un moto browniano e derivazione della distribuzione dello short rate. Derivazione della struttura per scadenza dei tassi di interesse. Esempio di calibrazione
Il modello di Merton
Generalità sul rischio di credito. Il modello di Merton. Calcolo della probabilità neutrale al rischio di default. Derivazione analitica della curva dei tassi spread.
Prerequisiti
Le conoscenze richieste per l'accesso alla laurea magistrale di Economia e Finanza.
Metodi didattici
Tutte le lezioni del corso saranno svolte in presenza e trasmesse in diretta. Per ogni argomento, agli studenti vengono assegnati degli esercizi da svolgere, che in caso di difficoltà vengono discussi in aula. Per ogni argomento gli studenti hanno a disposizione un forum nel quale possono postare domande, alle quali risponde il docente. Al corso è affiancata un'attività di tutoraggio per studenti con specifiche lacune o difficoltà di apprendeimento.
Modalità di verifica dell'apprendimento
Esame scritto con orale facoltativo, su richiesta dello studente o del docente.
Testi di riferimento
- Materiali forniti dal docente
- J. Hull "Opzioni e futures"
- J. Cox, M. Rubinstein "Option markets"
Periodo di erogazione dell’insegnamento
Primo semestre
Lingua di insegnamento
Italiano
Learning objectives
1) Knowing the simplest types of derivatives instruments and understanding their meaning and financial uses
2) Understanding the concept of model of a financial market and its use in valuing derivative instruments
3) Knowning in full details the various models studied and the derivations of the various pricing formulas
4) Being able to apply the various models to the pricing of a generic contingent claim.
Contents
- Preliminaries on options
- Multiperiod Binomial model
- General one-period model
- Continuous time models
- Black Scholes model
- Beyond Black-Scholes
- Monte carlo method
- Vasicek model
- Merton model
Detailed program
Introduction to derivatives
Forward, futures, options. Payoffs and replication of the forward contract. Forward price and spot-forward parity. Put-call parity. Payoffs of combinations (spread, butterfly, strangle, straddle),
Convexity of the call price as a function of the strike. Superreplication and subreplication. Merton bounds. American options and value of early exercise. Qualitative discussion of the factors affecting option prices.
Binomial models
Pricing a generic payoff in the one-period binomial model. Two-period binomial models and american options. Multiperiod binomial models: valuation of a generic payoff and formula for a call option. Choice of the parameters u and d and historical volatility matching.
Black Scholes formula as a limit of the binomial model.
One period models
One period models. Payoff matrix. Replicability, completeness, sufficient condition for completeness. Definition of arbitrage opportunity. State price vectors and first fundamental theorem of valuation. Second fundamental theorem of valuation. Superreplication and subreplication as linear programming problems. Dual formulation.
Continuous-time models
Brownian motion: definition and first properties. Ito processes: definition and examples. Ito formula: drift and volatility of a transformed process. Geometric Brownian motion, lognormal distribution.
Black-Scholes model
Derivation of the Black-Scholes differential equation. Elementary solutions, linearity and superposition principle. Derivation of the Black-Scholes formula as the risk neutral discounted expected value of the payoff. First properties of the BS formula; sensitivities with respect to the parameters and computation of the greeks. First extensions of the BS model; dividends. Approximation of the BS formula for ATM short maturity options. Empirical fit of the BS formula. Implied volatility and volatility smile.
Beyond Black-Scholes
Implied volatility and smiles. Basic notions on local volatility models and on stochastic volatility models.
The VIX Index.
Montecarlo method
Random number generation. Simulating stochastic processes. Pricing a derivative and computing his greeks with the Montecarlo method.
Vasicek
model
Short rate
dynamics. Stochastic integral of a deterministic function with respect to the
Brownian motion. Derivation of the distribution of the short rate. Derivation
of the yield curve and example of calibration.
Merton model
Credit risk. Merton model: equity as a call option
on the asset value. Determination of the risk neutral probability of default.
Determination of the spread curve for a defaultable bond.
Prerequisites
The notions required for the access to ECOFIN.
Teaching methods
All lectures will be delivered in presence and at the same time broadcasted.
Assessment methods
Written exam with oral integration that can be required either by the student or by the professor.
Textbooks and Reading Materials
- Lectures notes and
slides
- J. Hull "Opzioni e futures"
- J. Cox, M. Rubinstein "Option markets"
Semester
First Semester
Teaching language
Italian