Course Syllabus

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Il corso intende dare  allo studente gli strumenti matematici di base per la comprensione  di semplici modelli matematici in economia. Nello specifico  l'obiettivo del corso è quello di insegnare allo studente l'analisi di funzioni di variabili reali, con cenni al calcolo in due variabili.





Funzioni reali di variabili reali. 

UNITA' 1 - Funzioni reali di una variabile reale:
Insiemi N,Z,Q, R. Insieme superiormente/inferiormente limitato; intervalli; estremo superiore/inferiore/massimo/minimo di un insieme.  Definizione di funzione; calcolo del campo di esistenza; definizione di immagine, insieme immagine, controimmagine, insieme controimmagine, grafico; uso dell'espressione analitica di una funzione. Uso del grafico di una funzione; funzione iniettiva, suriettiva, biettiva; funzioni inferiormente/superiormente limitate; estremo inferiore/superiore di una funzione; minimo/massimo, punto di minimo/massimo di una funzione; funzione pari/dispari; monotonia di una funzione. Operazioni con funzioni, composizione, inversione. Trasformazioni semplici di grafici. Traslazioni orizzontali/verticali, riflessioni orizzontali/verticali; riflessioni parziali orizzontali/verticali; riscalamenti. Trasformazioni composte di grafici.


UNITA' 2 - Limiti 
Retta reale estesa e intorni; definizione di punto interno, esterno, di frontiera, isolato, di accumulazione; definizione di limite, limite destro/sinistro, limite per eccesso/per difetto; lettura di limiti dal grafico. Teorema di unicità del limite (con dim.), teorema di permanenza del segno (con dim.),  teorema del confronto (con dim.). Calcolo di limiti. Continuità. Algebra in R esteso, forme determinate, limiti di funzioni esponenziali, logaritmiche, arcotangente. Forme indeterminate, tecniche per risolvere alcune forme indeterminate (funzioni razionali/irrazionali). Equivalenza asintotica e proprietà. Ordini di infinito, gerarchie di infiniti. Funzione trascurabile (o-piccolo). Limiti notevoli e relative equivalenze asintotiche. Forme indeterminate di tipo esponenziale e tecniche di soluzione. Ordini di infinitesimo, gerarchia degli infinitesimi, o-piccoli. Continuità (da destra/sinistra) e discontinuità. Classificazione delle discontinuità. Riconoscimento delle discontinuità dal grafico e dall'espressione analitica. Asintoti orizzontali, verticali, obliqui. Teorema di Weierstrass con controesempi, teorema dei valor intermedi con controesempi, teorema degli zeri con controesempi.

UNITA' 3 - Derivate 
Rapporto incrementale e derivata di una funzione in un punto; funzione derivata; derivate di funzioni elementari; calcolo di derivate. Equazione della retta tangente; legame continuità-derivabilità, punto di flesso a tangente verticale, di cuspide, angoloso. Regola di de L'Hopital; Teorema di Rolle (con dim.) e controesempi; Teorema di Lagrange (con dim.) e controesempi; Derivata della funzione inversa. Test di monotonia (con dim.) e controesempi; definzione di estremi relativi; punto stazionario; Teorema di Fermat (con dim.); definizione di punto critico; Test della derivata prima per estremi interni. Criterio delle derivate successive; Test della derivata prima per estremi alla frontiera; definizione di funzione concava/convessa; Test del primo ordine per la concavità; Test del secondo ordine per la concavità; definizione di punto di flesso. Polinomi di Taylor e McLaurin; Resto di Peano; uso del polinomio di Taylor per il calcolo di limiti.

UNITA' 4- Studio completo di funzione e funzioni a due variabili

Schema generale per lo studio di funzione. Domini analitici e grafici per funzioni reali di due variabili reali; curve di livello; derivate parziali, gradiente, punti stazionari.




Teoria degli insiemi. Potenze, logaritmi, esponenziali e loro proprietà. Disequazioni di primo e secondo grado, disequazioni razionali, disequazioni logaritmiche ed esponenziali. Equazioni cartesiana della retta, della circonferenza, della parabola, equazione della retta passante per due punti. Cenni di trigonometria.

Lezioni  frontali. 

Esercitazioni frontali. 

Incontri di tutoraggio.

In caso continui l'emergenza Covid-19 le lezioni, esercitazioni e tutoraggi verranno svolti secondo le modalità indicate dall'università.

Esame scritto con 5 esercizi e  3 domande di teoria. Lo schema degli esercizi è il seguente:

Esercizio 1: Trasformazioni di grafici di funzioni elementari;

Esercizio 2: Limiti;

Esercizio 3: Vario;

Esercizio 4: Funzioni a due variabili;

Esercizio 5: Studio completo di funzione.

Una volta superato l'esame scritto, il professore o lo studente possono richiedere un esame orale integrativo. L'orale verte su tutto il programma del corso e può contribuire sia in maniera positiva che in maniera negativa al voto finale.


Il corso NON prevede il frazionamento dell'esame in prove intermedie.  



  • Slides del corso
  • Torriero, A., Scovenna M., Scaglianti, L.: Manuale di matematica. Metodi e applicazioni. CEDAM
  • Scovenna, M., Grassi, R.: Matematica – Esercizi e temi d’esame. CEDAM.
Ulteriori testi a cui fare riferimento:
  • Guerraggio, A. (2009): Matematica. Prentice Hall, seconda edizione.
  • Monti, G., Pini, R.: Lezioni di matematica generale: funzioni reali di variabile reale, L.E.D.

Primo semestre.

Italiano.

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The course will provide the basic mathematical notions for understanding simple mathematical models in economics. Specifically the course will focus on real functions of real variables.  

Real functions of real variables. 

Unit 1- Real functions of a single real variable

Sets N,Z,Q, R. Real numbers. Infimum and supremum, maximum and minimum of subsets of R. Extended real numbers R*.  Real functions of a single real variable. Main features, domain and range. Infimum and supremum, absolute maximum and minimum of a function. Injective, surjective, bijective functions. Compound and inverse function. Elementary functions. Deductible graphs. 

Unit 2- Limits

Topology of  R. Definition of a limit. Uniqueness of limits theorem. Permanence principle.Existence of limits theorem:limit comparison test, existence of limit theorem for monotone functions. Continuous functions. Discontinuities.  Continuous functions on closed bounded sets Weierstrass's Theorem. Bolzano's Theorem.  Darboux's Theorem. Limits. Indeterminate forms. notable special limits and applications. Infinite and infinitesimal and their comparisons. Landau symbol: o (o piccolo), ~ (asintotico). Asyntotics. 

Unit 3- Derivatives

Derivative of a function. Geometrical meaning of the derivative and tangent line equation. Non-derivability points. Derivability and continuity. Elementary functions derivatives. Derivation rule. higher order derivates. De l'Hôpital Theorem. Compound and inverse function derivative. Sufficient condition for derivability. Fermat Theorem. Rolle Theorem. Lagrange Theorem and corollaries.  Taylor andMc Laurin formulas and applications. Convexity and concavity of a function and inflection points. 

Unit 4- Study of a function and real functions in two variables

Study of a function. Real functions in two real variables: domain, level and partial derivatives.

Set theory. Powers, logarithms, exponentials and their properties. First and second degree inequalities, rational inequalities, logarithmic and exponential inequalities. Cartesian equations of the line, of the circumference, of the parabola, equation of the line passing through two points. Basics of trigonometry.

Frontal lessons.

Frontal exercises.

Tutoring meetings.

If the Covid-19 emergency will continue, the lessons, exercises and tutoring will be carried out according to the procedures indicated by the university.


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Written exam with 5 exercises and 3 theory questions. The outline of the exercises is as follows:

Exercise 1: Transformations of graphs of elementary functions;

Exercise 2: Limits;

Exercise 3: Various;

Exercise 4: Two-variable functions;

Exercise 5: Full Function Study.

Once the written exam has been passed, the professor or student can request a supplementary oral exam. The oral exam focuses on the entire program of the course and can contribute both positively and negatively to the final grade.

The course does NOT include the splitting of the exam into intermediate tests.

  • Slides provided by the professor
  • Torriero, A., Scovenna M., Scaglianti, L.: Manuale di matematica. Metodi e applicazioni. CEDAM
  • Scovenna, M., Grassi, R.: Matematica – Esercizi e temi d’esame. CEDAM.
Further reading material:
  • Guerraggio, A. (2009): Matematica. Prentice Hall, seconda edizione.
  • Monti, G., Pini, R.: Lezioni di matematica generale: funzioni reali di variabile reale, L.E.D.


First  term.

Italian.

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Key information

Field of research
SECS-S/06
ECTS
6
Term
Annual
Activity type
Mandatory
Course Length (Hours)
52
Degree Course Type
Degree Course
Language
Italian

Staff

    Teacher

  • Paolo Bartesaghi
    Paolo Bartesaghi
  • Valeria Bignozzi
    Valeria Bignozzi
  • Francesca Cottini
    Francesca Cottini

Enrolment methods

Manual enrolments
Self enrolment (Student)