Course Syllabus
Obiettivi
Estendere le conoscenze di base dell’analisi al campo complesso. Introdurre i concetti matematici necessari per la formulazione della Meccanica Quantistica.
Contenuti sintetici
1) Analisi complessa. Funzioni olomorfe. Serie di potenze nel campo complesso. Teorema di Cauchy. Serie di Laurent. Teorema dei residui. Prolungamento analitico.
2) Spazi topologici, spazi metrici, spazi di Banach. Spazi di Hilbert. Sistemi ortonormali completi. Spazi Lp. Serie di Fourier. Operatori lineari negli spazi di Hilbert.
Operatori autoaggiunti e unitari. Teorema spettrale. Trasformata di Fourier. Trasformata di Laplace.
3) Distribuzioni
Programma esteso
Durante il corso verranno coperti i seguenti argomenti, non necessariamente nell'ordine indicato, con applicazioni alla soluzione di problemi ed equazioni differenziali di interesse fisico:
Analisi complessa: Il piano complesso. Funzioni complesse di variabile complessa. Funzione derivabile in C. Condizioni di Cauchy-Riemann. Integrazione nel piano complesso. Teorema di Cauchy. Comportamento di una funzione nelle vicinanze di una singolarità isolata. Sviluppo in serie di Laurent. Teorema dei residui. Tecniche di calcolo di integrali sull'asse reale mediante prolungamento analitico in C. Prolungamento analitico e funzioni polidrome.
Spazi funzionali: Richiami sugli spazi topologici, spazi metrici, spazi di Banach. Spazi di Hilbert. Sistemi ortonormali completi. Spazi L^p. Esempi di sistemi ortonormali notevoli: serie di Fourier, Polinomi di Hermite, Legendre, Laguerre. Operatori lineari negli spazi di Hilbert e loro proprietà. Operatori continui e limitati. Norma di un operatore. Problema spettrale, classificazione degli autovalori. Definizione di autofunzione. Operatori autoaggiunti e unitari. Autovalori e autofunzioni di operatori autoaggiunti. Teorema di decomposizione spettrale. Trasformata di Fourier in L1 e L2. Trasformata di Laplace.
Distribuzioni. Breve introduzione alla teoria delle distribuzioni. Distribuzioni notevoli. Operazioni con le distribuzioni.
Prerequisiti
I contenuti dei corsi di Analisi I, II e "Algebra e Geometria".
Modalità didattica
Lezione frontale in aula (5 CFU) ed esercitazioni in aula (3 CFU).
Materiale didattico
Principali riferimenti bibliografici:
Michela Petrini, Gianfranco Pradisi, Alberto Zaffaroni, A Guide to Mathematical Methods for Physicists With Problems and Solutions
World Scientific
J. Bak, D.J. Newman, Complex Analysis, Springer
L. Debnath, P. Mikusinski, Hilbert spaces with applications, Elsevier
Per esempi ed argomenti piu' avanzati:
Michela Petrini, Gianfranco Pradisi, Alberto Zaffaroni, A Guide to Mathematical Methods for Physicists Advanced Topics and Applications
World Scientific
Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mc Graw Hill (avanzato)
Eserciziari
M.R. Spiegel, Complex variables, Schaum Outline Series
M.R. Spiegel, Fourier Analysis, Schaum Outline Series
Altri esercizi e temi d'esame degli anni passati risolti saranno disponibili sulla pagina e-learning
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Secondo semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L'esame è composto da uno scritto (esercizi su tutto il programma) e un orale obbligatorio. L'esame orale verte su tutto il programma del corso inclusi esercizi e approfondimenti svolti durante le esercitazioni, che sono parte integrante del corso.
Vi potra' essere anche una discussione dello scritto. L'orale va sostenuto nei periodi di interruzione delle lezioni e nella stessa sessione dello scritto (estiva=Giugno-Luglio-Settembre oppure invernale= Gennaio-Febbraio) .
Durante il corso, vengono proposti due esami scritti parziali (con esercizi, problemi e domande aperte di teoria) che verranno valutati in 30-esimi.
Il primo parziale sara' su analisi complessa, il secondo su spazi funzionali, trasformate di Fourier/Laplace e distribuzioni.
Il superamento dei due parziali (>=15/30) equivale al superamento dello scritto durante la sessione estiva.
Se la media dei voti dei due parziali è maggiore o uguale a 21/30 lo studente è esonerato dall'orale,
a meno che l'orale non sia richiesto esplicitamente dallo studente o dal docente.
In caso di prova orale il voto finale sara' la media tra la valutazione dello scritto e quella della prova orale.
Cio' comporta che la valutazione finale potra' anche risultare minore rispetto allo scritto.
Orario di ricevimento
Su appuntamento per e-mail
Aims
Generalize the basic notions of analysis to the complex plane. Introduce the mathematical concepts required in the formulation of Quantum Mechanics.
Contents
1) Complex analysis. Holomorphic functions. Power series in the complex domain. Chauchy theorem. Laurent series. Residue theorem. Analytic continuation.
2) Review of linear, topological and Banach spaces. Hilbert spaces. Lp spaces. Orthonormal basis. Fourier series. Linear operators in Hilbert spaces and their properties. Self-adjoint and unitary operators. Spectral decomposition. Fourier transform. Laplace transform.
3) Distributions.
Detailed program
The course will cover the following topics, not necessarily in the given order, with applications to problems and differential equations of interest in physics**:
Complex analysis: The complex plane. Complex functions of complex variable. The derivative of a function in C. Cauchy-Riemann conditions. Integration on the complex plane. Cauchy theorem. The behaviour of a complex function close to an isolated singularity. Laurent series expansion. Residue theorem. Computational techniques for integrals along the real axis by using the analytic continuation in C. Analytic continuation and multivalued functions.
Funtional spaces: Summary of the main properties of topological spaces, metric spaces, Banach spaces. Hilbert spaces. Orthonormal basis. Fisher-Riesz theorem. Lp spaces. Important examples of orthonormal basis: Fourier series, Hermite, Legendre, Laguerre polynomials. Linear operators in Hilbert spaces and their properties. Continuous and bounded operators. The norm of an operator. Spectral problem, classification of the eigenvalues. Definition of eigenfunctions. Self-adjoint and unitary operators. Eigenvalues and eigenvectors of self-adjoint operators. Theorem of spectral decomposition. Fourier transform in L1 and L2 its properties. Lapace Transform
Distributions: brief introduction to the theory of distributions. Examples of distributions. Operations on distributions.
Prerequisites
Contents of Analysis I, II and "Algebra and Geometry".
Teaching form
Class lectures (5 CFU) and tutorials (3 CFU).
Textbook and teaching resource
Main references:
Michela Petrini, Gianfranco Pradisi, Alberto Zaffaroni, A Guide to Mathematical Methods for Physicists With Problems and Solutions
World Scientific
J. Bak, D.J. Newman, Complex Analysis, Springer
L. Debnath, P. Mikusinski, Hilbert spaces with applications, Elsevier
More advanced references and topics:
Michela Petrini, Gianfranco Pradisi, Alberto Zaffaroni, A Guide to Mathematical Methods for Physicists Advanced Topics and Applications
World Scientific
Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mc Graw Hill (avanzato)
Esercises
M.R. Spiegel, Complex variables, Schaum Outline Series
M.R. Spiegel, Fourier Analysis, Schaum Outline Series
Other solved exercises and previous exams will be available on the e-learning page
Semester
Second semester
Assessment method
The exam consists of a written (exercises) and an compulsory oral part.
The oral part concerns the entire program, including exercises and applications, but also the discussion of the written exam.
The exam has to be completed during the breaks and in the same session (summer=Jun-Jul-Sep or winter=Jan-Feb) of the written exam .
During the course, two partial written exams are proposed (containing exercises, problems and open-ended theory questions) which will be graded in 30 points units.
The first partial exam will focus on Complex Analysis, while the second will cover Functional Spaces and Distributions.
Passing the partial exams (>=15/30) is equivalent to passing the written exam in the summer session.
If the average of the two grades is greater than or equal to 21/30 the student is exonerated from the oral exam, unless the oral exam is explicitly requested by the student or by the teacher.
In case the oral examination takes place the final score will be the average of the written and oral part.
Therefore, the final mark could be lower than the one of the written exam.
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