Syllabus del corso
Obiettivi
Lo studente deve acquisire i concetti e i risultati base dell'analisi matematica in una variabile reale.
Contenuti sintetici
Numeri naturali, interi, razionali, reali, complessi. Funzioni di una variabile reale, limiti, continuità, derivabilità. Derivate e primitive. Integrale di Riemann e integrale improprio. Nozioni elementari sulle equazioni differenziali ordinarie.
Programma esteso
- Numeri naturali, interi, razionali e reali. Numeri complessi: forma trigonometrica, formula di De Moivre ed estrazione di radice.
2. Generalità sulle funzioni. Dominio, codominio e grafico. Iniettività, suriettività, biunivocità e funzione inversa. Funzioni crescenti e decrescenti. Grafici e proprietà delle funzioni elementari.
3. Il concetto di limite per funzioni. Calcolo dei limiti e alcuni limiti notevoli. Continuità e punti di discontinuità. Forme di indecisione, limiti infiniti e limiti all'infinito.
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Derivata, suo significato geometrico e fisico. Retta tangente. Regole di derivazione e calcolo delle derivate. Punti di non derivabilità.
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Massimi e minimi. Teorema di Weierstrass, Teorema di Fermat, Teorema di Lagrange, Regola de l'Hospital. Convessità e flessi. Studio di funzione, con particolare enfasi nella comprensione di grafici di funzioni.
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Primitive e loro calcolo. Integrale di Riemann e sua interpretazione come area. Calcolo degli integrali definiti. Il teorema fondamentale del calcolo. Integrazione per parti e per sostituzione. Integrali impropri.
7. Equazioni differenziali ordinarie. Generalità, ordine, problema di Cauchy. Equazioni lineari del primo ordine. Equazioni a variabili separabili. Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti.
Prerequisiti
Algebra, geometria e trigonometria elementari, come trattati nella scuola secondaria superiore o nei Precorsi di questo Ateneo.
Modalità didattica
Lezioni frontali (40 h - 5 CFU), esercitazioni (36 h - 3 CFU). La lingua d'insegnamento delle lezioni frontali ed esercitazioni è l'italiano. Materiale di referenza supplementare, quale qualche testo o video-lezioni, potranno essere in inglese.
Materiale didattico
Libro di riferimento:
• J. Stewart. Calcolo - Funzioni di una variabile. Apogeo.
Altri libri:
• M. Conti, D.L. Ferrario, S. Terracini, G. Verzini. Analisi Matematica VOL. 1. Apogeo.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre, ottobre - gennaio.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L'esame si compone di una parte scritta e di una parte orale. Per sostenere l'orale è necessario venire ammessi
a alla prove stessa, a seguito della la prova scritta durante lo stesso appello. La parte scritta comprende un test a risposte chiuse, più precisamente
domande a scelta multipla, e di almeno una domanda aperta, erogate in modo computerizzato tramite la piattaforma Esamionline. La parte orale è obbligatoria per coloro che verranno ammessi con una insufficienza, dopo la prova scritta. Consisterà
in una domanda, comprendente magari più parti, a cui rispondere in modo completo, in 20 minuti di tempo, utilizzando risultati fondamentali trattati nel corso. Seguirà una discussione con lo studente della risposta data. Per gli studenti ammessi con una sufficienza dopo la prova scritta, la prova orale è facoltativa con domande che riguarderanno ogni parte del corso.
In casi eccezionali, e sotto richiesta dello studente, l'esame orale potrà essere tenuto in inglese.
Orario di ricevimento
Per appuntamento: simone.borghesi@unimib.it
Aims
The student must acquire basic concepts and results of mathematical analysis in one real variable.
Contents
Numerical sets: natural, integer, rational, real and complex numbers. Functions of one real variable, limits, continuity, differentiability. Derivative of a function. Riemann integral and improper integral. Elementary notions of ordinary differential equations.
Detailed program
1. Natural numbers, integer numbers, rational numbers, real numbers. Complex numbers: cartesian and polar forms, De Moivre formula, roots of a complex number.
2. Real valued functions of one real variable. Domain, codomain, and image of a function. Injectivity, surjectivity, inverse of a function. Increasing and decreasing functions. Graph and main properties of elementary functions.
3. Limit of a function at a point. Computation of limits. Continuity; points of discontinuity.
4. Derivative of a function at a point, geometrical and physical intepretations. Tangent line. Differentiation rules. Non-differentiable points.
5. Maxima and minima of a function. Weierstrass theorem, Fermat theorem, Lagrange theorem, de l'Hospital rule. Convexity and inflection points.
6. Primitives of a function. Area of plane figures and the Riemann integral. Computation of definite integrals. Fundamental theorem of calculus. Integration by parts and by substitution. Improper integrals.
7. Ordinary differential equations. General solution and Cauchy problem. Linear equations of the first order. Method of separation of variables. Second order linear equations with constant coefficients.
Prerequisites
Elementary algebra, geometry, and trigonometry, as covered in high school classes or in this University's preliminary courses.
Teaching form
Lectures (40h - 5 CFU), exercises sessions (36h - 3 CFU). Live lectures and exercise sessions will be held in Italian. Further references, such as some texts or the narration of some videos could be in English.
Textbook and teaching resource
Reference textbooks:
• J. Stewart, Calcolo. Funzioni di una variabile, Apogeo.
Further references:
• M. Conti, D.L. Ferrario, S. Terracini, G. Verzini. Analisi Matematica VOL. 1. Apogeo.
Semester
First semester, October - January
Assessment method
The exam consists in a written part - in which students are required to solve some exercises - and an oral part. In order to take the oral exam, students must have been admitted, following the written exam in the same session. The written exam includes multiple-choice questions, and at least one open question, through Esamionline's platform. The oral examination is mandatory for students
who have been admitted but their written exam has been considered insufficient. For them, the oral exam
consists in a question, possibly comprising few parts, concerning basic results covered in the course. The allowed
time is 20 minutes. A discussion of the given answer will follow. The oral exam is discretionary for students
having received a passing grade in the written examination. For them, the oral exam may cover any part of the course.
Under special circumstances and by a student's request, the oral examination may be held in english.
Office hours
By appointment: simone.borghesi@unimib.it