Course Syllabus
Obiettivi
Coerentemente con gli obiettivi formativi del Corso di Studio, l'insegnamento si propone di fornire allo studente le conoscenze di base, con un profondo supporto teorico, riguardanti le tematiche del corso (principalmente ottimizzazione, e anche discretizzazione di equazioni ordinarie). Verranno altresì fornite le competenze necessarie a comprendere, analizzare e confrontare con senso critico i vari metodi proposti, nonché implementarli al calcolatore.
Contenuti sintetici
La parte principale del corso tratta di problemi di ottimizzazione in Rⁿ, la cui risoluzione è un passaggio fondamentale in molti problemi di matematica applicata (in modo diretto o sovente attraverso la loro discretizzazione con metodi numerici). Si tratteranno il problema della ricerca di punti fissi e zeri, ricerca di minimi liberi e ricerca di minimi vincolati. Il corso avrà un supporto teorico rigoroso per l’analisi dei metodi considerati.
Inoltre, parte del corso sarà svolta in laboratorio informatico (MATLAB) con sviluppo di codici da parte degli studenti. Nella parte finale del corso verranno invece presentati i fondamenti per la discretizzazione di equazioni differenziali ordinarie.
Programma esteso
Tutti gli argomenti svolti in aula avranno anche una parte di sviluppo dei codici in laboratorio informatico (MATLAB). Alcuni laboratori consisteranno nell'approssimazione di problemi al continuo e dunque comporteranno anche un passaggio di "discretizzazione". Metodi iterativi di punto fisso, proprietà di convergenza locale e globale. Ricerca degli zeri, metodi quasi-Newton con diversi esempi, convergenza locale. Ricerca di minimi, metodi line search con diversi esempi, proprietà varie di convergenza, applicazione al caso della ricerca degli zeri. Ricerca di minimi vincolati, gradiente proiettato, condizioin Kuhn-Tucker, lagrangiana, metodo di Uzawa. Equazioni differenziali ordinarie, metodi a un passo con diversi esempi, teoria di convergenza e di stabilità asintotica.
Prerequisiti
Sono sufficienti le normali conoscenze della laurea triennale in matematica.
Modalità didattica
Lezioni in aula (a lavagna) e lezioni in laboratorio informatico.
Materiale didattico
• C.T. Kelley, “Iterative methods for linear and nonlinear equations”, SIAM
• J. Nocedal, S.J. Wright, “Numerical Optimization”, Springer
• P.G. Ciarlet, “Introduction to numerical linear algebra and optimizations”, Cambridge Texts in Applied Math
• Dispense della parte su Eq. Diff. Ord.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Secondo semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L' esame di compone di un singolo orale, diviso in due parti. In una prima parte si discuterà un progetto di laboratorio (svolto individualmente), scelto dal docente tra quelli che lo studente ha deciso di portare all'esame (devono essere 3, a scelta dello studente tra quelli svolti in laboratorio durante l'anno). La seconda parte di tratta di un esame orale su tutte le tematiche svolte nel corso, per verificare se lo studente ha acquisito la conoscenza critica e operativa delle definizioni, dei risultati e delle loro dimostrazioni. Il peso relativo, sul voto finale, delle due parti, progetto e parte teorica, sono circa pari a 30% e 70% (entrambe dovendo essere sufficienti per passare l'esame). Nella discussione del progetto viene valutata la correttezza dei risultati e la comprensione dello studente circa gli aspetti pratici/computazionali del metodo utilizzato. Nella parte di esame teorico, vengono valutate principalmente la comprensione dell'argomento e il rigore matematico nel esporre i metodi e le relative dimostrazioni.
Orario di ricevimento
Flessibile, previo appuntamento via email.
Aims
In line with the educational objectives of the Bachelor Degree in Mathematics, the course aims at providing the basic knowledge, with a deep theoretical support, about the topics of the course (mainly optimization problems, and also discretization of ordinary differential equations). It will also build the skills needed to understand, analyse and compare the different methods, in addition to implementing them in the computer.
Contents
The main part of the course is about optimization problems in Rⁿ, whose resolution is a fundamental step in many applied math problems. We will consider the following topics: search for zeros of functions, then minima of functions, finally constrained minima. The last part of the course will instead consider the discretization of ordinary differential equations.
The course will provide a rigorous theoretical support of the methods considered, together with a computational lab part in MATLAB.
Detailed program
All the topics developed in class will have also a coding part in the computer Lab (MATLAB language). Some labs will consider PDE problems that, after discretization/approximation by some numerical scheme, become optimization problems in R^N. We will consider the following topics. Iterative methods for fixed points, local and global convergence properties. Search of zeros of vector valued functions, quasi-Newton methods, examples, local convergence, modifications for global convergence. Search of minima of functions (in open sets), line search methods, examples, convergence properties. Search of constrained minima, Kuhn-Tucker and lagrangian theory, projected gradient, Uzawa method, convergence properties. Ordinary differential equations, one step methods, convergence theory, absolute stability, RK methods.
Prerequisites
The standard knowledge of a third year math student is sufficient
Teaching form
Standard blackboard classes, plus practice classes in the computer Lab.
Textbook and teaching resource
• C.T. Kelley, “Iterative methods for linear and nonlinear equations”, SIAM
• J. Nocedal, S.J. Wright, “Numerical Optimization”, Springer
• P.G. Ciarlet, “Introduction to numerical linear algebra and optimizations”, Cambridge Texts in Applied Math
• Uploaded pdf text on the Ordinary Diff. Eq. part
Semester
Second semester.
Assessment method
The exam is an oral examination, and is divided into two parts. In the first part, the student presents a matlab laboratory project (to be developed individually), chosen by the teacher among a set of three previously selected by the student (these are 3 among the projects developed in the Lab during the course). The second part is an evaluation of the critical and operational knowledge of the definitions, results and proofs presented during the course. The relative weight of the project and the theoretical examination are roughly 30% and 70%, respectively. In the project discussion the teacher will evaluate the exactness of the results and the comprehension of the practical/computational aspects of the adopted numerical method. During the theoretical part of the exam, the teacher will mainly evaluate the comprehension of the topic and the mathematical rigour in presenting the numerical methods and the associated proofs.
Office hours
Flexible, arranged directly via email.