Calcolo differenziale in più variabili

Derivate direzionali. Funzioni differenziabili. Legame tra le derivate direzionali nel caso di funzioni differenziabili. Legami tra continuità e derivabilità e differenziabilità. Derivate di ordine successivo. Derivate di funzioni composte.

Massimi e minimi in insiemi aperti: condizione necessaria per funzioni differenziabili e curve di livello.

Matrici definite/semidefinite positive e relativi criteri Matrice Hessiana. Formula di Taylor arrestata al secondo ordine. Funzioni convesse e relativo criterio per il riconoscimento dei loro estremanti.

Riconoscimento dei massimi e minimi mediante la matrice Hessiana.

Calcolo integrale in piu' variabili

Integrale di Riemann di una funzione di più variabili a valori reali.

Insiemi misurabili secondo Peano-Jordan: condizione necessaria e sufficiente per la misurabilità nel caso di insiemi limitati. Esempi di insiemi misurabili e non.

Metodo di riduzione (Teorema di Fubini) per gli integrali multipli. Baricentro di un insieme misurabile bidimensionale. Volume dei solidi.

Cambio di variabili negli integrali doppi e tripli (*): coordinate polari, sferiche e cilindriche. Volume dei solidi di rotazione: Teorema di Guldino.

Integrali impropri.

Curve e superfici

Curve regolari/ regolari a tratti/ chiuse /semplici in Rn. Lunghezza di una curva: definizioni equivalenti e indipendenza dalla parametrizzazione (non è richiesta la dimostrazione del Teorema 15.4 del libro di Giusti). Ascissa curvilinea.

Teorema delle funzioni implicite (Dini) nel caso bidimensionale. Superfici in forma cartesiana; condizioni sufficienti affinché una superficie sia localmente un grafico. Prodotto vettoriale e teorema di Dini nel caso di una funzione da R³ in R2 (senza dimostrazione)

Massimi e minimi in insiemi compatti: moltiplicatori di Lagrange ( dimostrazione solo nel caso di un vincolo in R²).

Successioni e serie di funzioni

Spazi vettoriali normati: esempi (C[a,b], B[a,b],Cⁿ[a,b]). Spazi di Banach.

Teorema delle contrazioni.

Convergenza puntuale e uniforme per successioni/serie di funzioni a valori reali. Criterio di Weierstrass per le serie di funzioni. Convergenza uniforme e limitatezza/continuità delle funzione limite. Convergenza puntuale/ uniforme per funzioni derivabili/integrabili e relativi teoremi di passaggio al limite.

Serie di potenze: raggio di convergenza. Serie di Taylor. Approssimazione di integrali mediante l’uso di serie di potenze.

Equazioni differenziali

Problema di Cauchy per equazioni del primo ordine. Teorema di esistenza e unicità locale. Prolungamento delle soluzioni. Intervallo massimale di definizione e relative proprietà (*). Condizione di sublinearità. Teorema di esistenza e unicit`a globale (non è richiesta la dimostrazione nel caso sublineare).

Equazioni di ordine n: equivalenza con un sistema del primo ordine. Sistemi lineari del primo ordine. Struttura dello spazio delle soluzioni di un sistema omogeneo del primo ordine. Soluzioni nel caso non omogeneo. Metodo di variazione delle costanti arbitrarie nel caso di un’equazione di ordine n.

Matrice esponenziale: definizione e proprietà . Calcolo della matrice esponenziale nel caso in cui la matrice sia diagonalizzabile nel campo reale. E' richiesto il calcolo negli altri casi solo per matrici 3 x 3.

Metodi di soluzione per alcune equazioni e sistemi particolari.