Course Syllabus
Obiettivi
Gli studenti dovranno apprendere l'uso delle operazioni di base all'interno di spazi vettoriali (somme e prodotti per scalari), delle operazioni di base con matrici a coefficienti reali. Con tali operazioni si definiscono concetti teorici come per esempio (in)dipendenza lineare, basi di spazi vettoriali, rango di matrici. Questi, insieme alle applicazioni lineari, costituiscono i fondamenti astratti per le applicazioni geometriche e ai sistemi di equazioni lineari che considereremo. Gli studenti dovranno sviluppare le capacità di ridurre un problema di tipo geometrico ad un enunciato di algebra lineare e saper risolverlo in tale ambiente.
Contenuti sintetici
Algebra lineare di base. Sistemi lineari; cenni alla regressione lineare. Geometria analitica nel piano, classificazione delle coniche. Geometria analitica nello spazio: piani, rette.
Programma esteso
- Algebra lineare: Spazi vettoriali, dipendenza lineare, basi. Prodotto scalare euclideo,
prodotto vettoriale e le loro interpretazioni geometriche.
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Matrici: operazioni, rango, invertibilità, determinante. Trasformazioni elementari e riduzione a scala.
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Sistemi di equazioni lineari: risultati di base e teoremi di Rouché-Capelli e Cramer. Cenni alla regressione lineare semplice (definizione e formula per retta regressiva).
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Applicazioni lineari: matrice associata, proprietà.
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Diagonalizzabilità di matrici: autovalori, autovettori molteplicità algebrica e geometrica. Teorema spettrale.
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Geometria analitica nel piano: sottospazi lineari affini, classificazione delle coniche.
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Geometria analitica nella spazio: sottospazi lineari affini.
Prerequisiti
Teoria di insiemi di base. Insiemi con strutture (monoidi, gruppi). Dimostrazioni per assurdo e induzione.
Modalità didattica
-- 4 ore alla settimana di lezioni;
-- 2 ore alla settimana di esercitazioni: il docente propone e risolve esercizi alla lavagna.
-- attività di tutoraggio: 2 ore settimanali. Il docente propone un esercizio alla volta agli studenti divisi per gruppi e concede qualche minuto perché discutano tra di loro la strategia di risoluzione. Successivamente, interpella gli studenti sulla loro soluzione proposta e procede con la risoluzione alla lavagna.
Materiale didattico
testi proposti:
Anichini-Conti “Geometria analitica e algebra lineare” (Pearson).
Enrico-Schlesinger "Algebra lineare e geometria" (Zanichelli)
Lipschutz Lipson "Linear Algebra"
Periodo di erogazione dell'insegnamento
secondo semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
La parte scritta può essere:
-- 2 prove intermedie (Aprile ed in concomitanza dell'appello di Giugno), entrambe tramite la piattaforma Perception, comprendenti 10 domande ciascuna, che potranno essere sia a risposta multipla che numerica aperta. La prima prova riguarderà la prima parte del programma e la seconda prova la parte rimanente.
-- in corrispondenza ad ogni appello dell'anno: una prova su Perception comprendente 10 domande a scelta multipla e numerica su tutto il programma.
La parte orale è obbligatoria per coloro che, al termine della prova scritta nel suo complesso, saranno insufficienti non gravi. Essa consisterà in una domanda a risposta numerica estratta a sorte su argomenti "imprescindibili" del corso. Tali studenti riceveranno un voto finale di 18 se e solo se risponderanno correttamente alla domanda.
Per gli studenti con valutazione dello scritto sufficiente, la prova orale è facoltativa.
Le domande proposte posso richiedere: ragionamento e deduzione, modellizzazione, richiedere calcoli per ottenere una risposta numerica.
Orario di ricevimento
Prof. Borghesi: per appuntamento.
Prof. Conti: per appuntamento.
Aims
Students will have to gain the ability to use vector spaces and matrices' basic structural operations. By means of such operations we define linear (in)dependence, bases of vector spaces and matrix rank. These concepts, along with linear maps, form the abstract tools needed for applications to systems of linear equations and analytic geometry.
Students will learn to express an analytic geometrical question in a linear algebraic statement and apply the results in this field to solve it.
Contents
Basic topics in Linear Algebra. Systems of Linear Equations; definition of Simple Linear Regression. Two-dimensional Analitic Geometry, Conics classification. Three dimensional Analytic Geometry: Planes, Straight Lines.
Detailed program
1. Linear Algebra: vector spaces, linear dependence, bases, Euclidean scalar product, vector product and their geometrical interpretations.
2. Matrices: operations, rank, invertibility, determinant, elementary operations, reduction to row/colum echelon form.
3. Systems of Linear Equations: Rouché-Capelli and Cramer Theorems. Definition of simple linear regression and formula for determining the regressive line.
4. Linear Transformations: associated matrix, properties.
5. Matrix diagonalization: eigenvalues, eigevectors, algebraig and geometric multeplicity. Spectral Theorem.
6. Two-dimensional Analytic Geometry: affine linear subspaces, conics classification.
7. Three-dimensional Analytic Geometry: affine linear subspaces.
Prerequisites
Basic Set Theory. Sets endowed with structures (monoids, groups). Proof by contradiction and by induction.
Teaching form
The course will be taught in ITALIAN.
-- 4 weekly hours of classes.
-- 2 weekly hours of exercise sessions: the teaching assistant solves specific exercises.
-- Tutoring: 2 weekly hours. The teaching assistant assigns exercises to the students divided in groups and allows few minutes for solving each of them, encouraging communications between group members. Afterwards, he asks the students to expose their work, and corrects or explains a possible solution of the exercises.
Textbook and teaching resource
suggested textbooks:
Anichini-Conti “Geometria analitica e algebra lineare” (Pearson).
Enrico-Schlesinger "Algebra lineare e geometria" (Zanichelli)
Lipschutz Lipson "Linear Algebra"
Semester
second semester
Assessment method
The written examination may comprise either:
-- 2 midterms (in April and June), each consisting in 10 questions and which may be multiple-choice and numerical open. The first midterm will cover the first half of the course, while the second one the remaining part.
-- "regular" exams offered thoughout the year: each will include a written examination consisting in 10 questions which may be multiple-choice and numerical open, regarding the topics of the whole course.
The oral examination is mandatory for students who have been admitted to this examination with an insufficient grade. Such students will have to answer to one further question regarding "basic" topics (as listed in the course elearning site) in order to earn a final score of 18.
The oral examination is voluntary for students who got a passing grade in the written examination.
The proposed questions may require: deduction reasoning, modelization, computing finalized to getting a numerical answer.
Office hours
Prof. Borghesi: email for appointment.
Prof. Conti: email for appointment.
Key information
Staff
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Gabriele Barbieri
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Simone Borghesi
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Simone Gallivanone
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Marina Pireddu
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Michele Rossi
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Andrea Rivezzi