Course Syllabus
Obiettivi
- Conoscere e comprendere i fondamenti della teoria dei numeri complessi, dell'algebra lineare, del calcolo differenziale in più variabili reali e delle equazioni differenziali.
- Essere in grado di applicare le tecniche e i metodi acquisiti sia alla soluzione di esercizi e problemi astratti che alla modellazione matematica e relativa soluzione di problemi provenienti dalle scienze sperimentali studiate all'interno del Corso di Laurea.
- Acquisire autonomia di giudizio nella applicazione delle metodologie apprese.
- Essere in grado di esporre in modo preciso ed esaustivo sia le conoscenze teoriche acquisite che le soluzioni, sviluppate in autonomia, di esercizi e problemi.
- Acquisire i prerequisiti necessari per la comprensione dei contenuti di tipo modellistico/matematico dei successivi corsi erogati all’interno del Corso di Laurea.
Contenuti sintetici
- I numeri complessi.
- Vettori in Rⁿ , matrici e sistemi lineari.
- Calcolo differenziale ed integrale in Rⁿ.
- Equazioni differenziali**.**
Programma esteso
I numeri complessi
Definizione. Modulo, argomento, complesso coniugato e loro proprietà. Forma algebrica e trigonometrica. Potenza e radice n-esima di un numero complesso, identità di Eulero. Teorema fondamentale dell'algebra.
Algebra lineare
Spazi vettoriali: somma di vettori, prodotto per uno scalare. Lo spazio vettoriale Rⁿ: prodotto interno, norma di un vettore e sue proprietà. Disuguaglianza di Schwarz, disuguaglianza triangolare, combinazioni lineari, vettori dipendenti ed indipendenti. Basi e loro proprietà, dimensione di uno spazio vettoriale. Matrici e operazioni tra matrici: matrice trasposta, somma di matrici, prodotto per uno scalare e prodotto tra matrici. Applicazioni lineari. Matrici quadrate: matrice identità, determinante, matrici singolari e matrice inversa. Rango (o caratteristica) di una matrice, suo significato e sua relazione con la verifica di indipendenza di un insieme di vettori. Sistemi di equazioni lineari: metodo di eliminazione di Gauss e teorema di Rouché-Capelli. Autovalori e autovettori di matrici quadrate e loro determinazione. Matrici simmetriche e teorema spettrale. Forme quadratiche e segno di una forma quadratica. Teorema di riconoscimento del segno di una forma
quadratica in n variabili e caso particolare di 2 variabili. Relazione tra segno di una forma quadratica e segno degli autovalori della matrice associata. Relazione tra forme quadratiche definite e norma dello spazio vettoriale.
Curve
Funzioni vettoriali di una variabile reale, limiti e continuità. Curve, curve chiuse, curve semplici e curve piane. Sostegno di una curva. Derivata e versore tangente a una curva. Archi di curva regolari e regolari a tratti. Curve piane in forma polare. Lunghezza di una curva di classe C¹ e di curve fornite in forma polare. Lunghezza di grafici di funzioni reali di variabile reale. Integrali di funzioni a valori vettoriali. Il modulo dell'integrale è minore o uguale dell'integrale del modulo. Integrali di linea di prima specie.
Calcolo differenziale per funzioni di più variabili reali
Insiemi in Rⁿ. Intorni sferici. Punti interni, esterni e di frontiera. Insiemi aperti: esempi e proprietà. Insiemi chiusi: esempi e proprietà. Insiemi limitati. Funzioni di più variabili reali: introduzione e primi esempi, esempio delle funzioni di stato. Grafici e insiemi di livello. Definizione e proprietà dei limiti per funzioni di più variabili. Limite infinito al finito e limite finito all'infinito. Funzioni continue e loro proprietà. Teorema di Weierstrass. Derivate parziali e gradiente, definizione di differenziabilità, legame tra differenziabilità e continuità e tra differenziabilità e derivabilità. Derivabilità lungo una direzione assegnata e formula del gradiente, significato geometrico del gradiente. Condizione sufficiente per la differenziabilità e la classe C¹(Rⁿ,R). Il differenziale primo. Derivata della funzione composta: il caso p(x)=g(f(x)) con f:Rⁿ->R e g:R->R e il caso p(t)=f(r(t)) con f:Rⁿ->R e r:R->Rⁿ. Curve di livello e gradiente. Funzioni positivamente omogenee e teorema di Eulero, applicazione ai potenziali termodinamici. Teorema del valor medio o dell'incremento finito. Derivate di ordine superiore e matrice Hessiana. Teorema di Schwarz e la classe C². Relazioni di Maxwell in termodinamica. Formula di Taylor con resto secondo Lagrange e con resto secondo Peano. Funzioni vettoriali di più variabili reali, matrice Jacobiana. Caso generale del teorema di derivazione della funzione composta.
Ottimizzazione
Punti estremanti. Estremi liberi e vincolati. Punti stazionari (o critici). Condizione necessaria per estremanti liberi (teorema di Fermat). Forma quadratica associata alla matrice Hessiana e suo legame con la natura dei punti critici. Retta ai minimi quadrati.
Integrali multipli
Significato geometrico e proprietà dell'integrale doppio. Domini semplici. Calcolo degli integrali doppi per riduzione su domini rettangolari e su domini semplici. Cambiamento di variabili. Formula generale per il cambiamento di variabili negli integrali doppi. Coordinate polari e cambiamento di variabili polari negli integrali doppi.
Equazioni differenziali
Definizione. Equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali con esempi. Modello di crescita esponenziale e modello logistico. Ordine di un'equazione differenziale e sistemi di equazioni differenziali. Equazioni differenziali in forma normale ed equivalenza con sistemi del primo ordine. Problema di Cauchy. Problema di Cauchy per equazioni differenziali in forma normale di ordine n. Teorema di esistenza (Peano) e teorema di esistenza e unicità locale. Soluzione delle equazioni differenziali a variabili separabili e delle equazioni differenziali lineari del primo ordine. Equazioni differenziali lineari di ordine n omogenee e non omogenee. Struttura dell'integrale generale delle omogenee e delle non omogenee. Soluzione delle equazioni lineari omogenee a coefficienti costanti. Equazioni differenziali associate al circuito RLC e all'oscillatore armonico smorzato e rispettivi integrali generali. Soluzione particolare di un equazione lineare a coefficienti costanti non omogenea quando il termine non omogeneo è un polinomio o un esponenziale reale/complesso (metodo di somiglianza). Soluzione particolare dell'equazione associata al circuito RLC con forzante periodica. Cenni alla soluzione qualitativa delle equazioni differenziali autonome: singole equazioni e sistemi 2X2. Analisi qualitativa delle soluzioni dei seguenti modelli: equazione logistica; equazione logistica con estinzione e raccolta; modello di Lotka-Volterra preda predatore; modello per due specie in competizione.
Prerequisiti
Calcolo differenziale e integrale per funzioni reali di una variabile reale. Non vi sono propedeuticità formali, ma è necessario conoscere e saper maneggiare i contenuti del corso di Matematica I per poter seguire il corso con profitto.
Modalità didattica
Lezioni frontali (erogate in lingua italiana), 6 cfu (48 ore)
Esercitazioni (erogate in lingua italiana), 2 cfu (20 ore)
Materiale didattico
Matematica Generale, A. Guerraggio, Bollati Boringhieri. (Numeri complessi e Algebra lineare)
Analisi Matematica II, M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa, ZANICHELLI. (Calcolo differenziale in più variabili ed equazioni differenziali)
Esercitazioni di Analisi Matematica 2, M. Bramanti, Esculapio, Bologna. (Esercizi)
Pagina elearning del corso: https://elearning.unimib.it/course/view.php?id=24206
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L’esame è strutturato in due prove.
1) Prova pratica (scritta): In questa prova viene valutata la conoscenza dei contenuti del corso e la capacità di applicarli alla risoluzione di esercizi e problemi. Si richiede di risolvere alcuni esercizi/problemi, di solito 6. Ogni esercizio vale 5 punti se non diversamente specificato. Vanno svolti in 120 minuti, giustificando per bene tutti i passaggi. Per essere ammessi alla prova teorica è necessario ottenere un punteggio di almeno 16.
2) Prova teorica:
La prova teorica consiste in due parti. La prima parte è costituita da 4 domande aperte (scritte). La seconda parte consiste in un colloquio di discussione della prima parte e su tutti gli argomenti svolti a lezione. Viene valutata la capacità di esporre chiaramente gli enunciati, le dimostrazioni di alcuni teoremi, le definizioni e le tecniche di calcolo introdotte. Per superare l'esame si deve ottenere un punteggio di almeno 16 sia nella prova pratica che in quella teorica, inoltre la media aritmetica dei due punteggi deve essere di almeno 18. Tale media aritmetica costituisce il voto finale dell'esame.
• Prove parziali: Durante il periodo delle lezioni si svolgono di norma due prove parziali che sostituiscono, in caso di superamento, la prova pratica. Per avere accesso alla prova teorica occorre aver riportato una votazione minima di punti 14 in ciascuna prova parziale. Le prove parziali sono costituite ciascuna da 10 problemi a risposta chiusa con il seguente punteggio. Risposta corretta: 3 punti ; risposta errata: −1 punti ; risposta non data: 0 punti.
Orario di ricevimento
Su appuntamento
Aims
- To acquire a basic knowledge of complex numbers theory, linear algebra, differential calculus in several real variables and differential equations.
- To acquire the ability to apply the learned methods and techniques both to the solution of exercises and abstract problems and to the mathematical modeling of problems related to the experimental sciences within the scope of the Degree Course.
- To acquire the ability of independently make judgments in the application of the learned methodologies to the modeling and solving of environmental problems.
- To acquire the ability to present in a precise and exhaustive way both the learned theoretical knowledge and the independently developed solutions of exercises and problems.
- To be able to understand the modeling/mathematical contents of the courses delivered within the Degree Course.
Contents
- Complex numbers.
- Vectors in Rⁿ , matrices and linear systems of equations.
- Differentiation and integration in Rn.
- Differential equations**.**
Detailed program
Complex numbers
Definition. Modulus, argument, complex conjugate and their properties. Algebraic and trigonometric form. Power and nth root of a complex number, fundamental theorem of algebra, Euler's identity.
Linear algebra
Vector spaces: sum of vectors, product for a scalar. The vector space Rⁿ: inner product, norm of a vector and its properties. Schwarz inequality, triangular inequality, linear combinations, dependent and independent vectors. Bases and their properties, dimension of a vector space. Matrices and matrix operations: transposed matrix, sum of matrices, product for a scalar and product between matrices. Linear functions. Square matrices: identity matrix, determinant, singular matrices and inverse matrix. Rank of a matrix, its meaning and its relation to the independence of a set of vectors. Systems of linear equations: Gauss elimination method and Rouché-Capelli theorem. Eigenvalues and eigenvectors of square matrices and their determination. Symmetric matrices and spectral theorem. Quadratic forms and sign of a quadratic form. Determination of the sign of a quadratic form in n variables and the special case of 2 variables. Relationship between the sign of a quadratic form and the sign of the eigenvalues of the associated matrix. Relationship between definite quadratic forms and the norm of the vector space.
Curves
Vector functions of a real variable, limits and continuity. Curves, closed curves, simple curves and plane curves. Support of a curve. Derivative and tangent vector to a curve. Regular and piecewise regular curves. Plane curves in polar form. Length of a C¹ curve. Length of graphs of real functions of real variable. Integrals of vector valued functions. The module of the integral is less than or equal to the integral of the module. Line integrals.
Differential calculus for functions of several real variables
Sets in Rⁿ. Spherical neighborhoods. Internal, external and boundary points. Open sets: examples and properties. Closed sets: examples and properties. Bounded sets. Functions of several real variables: introduction and first examples, state functions of thermodinamics. Graphs and level sets. Definition and properties of limits for functions of several variables. Infinite limit to the finite and finite limit to infinity. Continuous functions and their properties. Weierstrass theorem. Partial derivatives and gradient, definition of differentiability, link between differentiability and continuity and between differentiability and derivability. Derivability along a given direction and the gradient formula, geometric meaning of the gradient. Sufficient condition for the differentiability and the class C¹(Rⁿ, R). The first differential. Derivative of the composite function: the case p (x) = g (f (x)) with f: Rⁿ-> R and g: R-> R and the case p (t) = f (r (t)) with f: Rⁿ-> R and r: R-> Rⁿ. Level curves and the gradient. Positively homogeneous functions and Euler theorem, application to thermodynamic potentials. Mean value theorem. Higher order derivatives and the Hessian matrix. Schwarz's theorem and the C² class. Maxwell's relations in thermodynamics. Taylor's formula Lagrange and Peano remainders. Vector functions of several real variables, Jacobian matrix. General case of the derivation theorem for the composite function.
Optimization
Extreme points. Free and constrained extrema. Stationary (or critical) points. Necessary condition for extrema (Fermat's theorem). Quadratic form associated with the Hessian matrix and its link with the nature of the critical points. Least squares linear approximation.
Multiple integrals
Geometric meaning and properties of the double integral. Simple domains. Computation of double integrals through reduction on rectangular domains and on simple domains. Change of variables. General formula for the change of variables in double integrals. Polar coordinates in double integrals.
Differential equations
Definition. Ordinary and partial differential equations with examples. Exponential growth model and logistic model. Order of a differential equation and systems of differential equations. Differential equations in normal form and equivalence with first order systems. Cauchy problem. Cauchy problem for differential equations in normal form of order n. Existence theorem (Peano) and local existence and uniqueness theorem. Differential equations with separable variables and linear differential equations of the first order. Homogeneous and non homogeneous linear differential equations of order n. General structure of the solution. Linear homogeneous equations with constant coefficients. Differential equations associated to the RLC circuit and to the damped harmonic oscillator and their solution. Particular solution of non homogeneous linear equations with constant coefficients when the non-homogeneous term is a polynomial or a real / complex exponential (similarity method). Solution of the equation associated with the RLC circuit with periodic forcing. Introduction to the qualitative solution of autonomous differential equations: single equations and 2X2 systems. Qualitative analysis of the solutions of the following models: logistic equation; logistic equation with extinction and collection; Predator prey Lotka-Volterra model; two competing species model.
Prerequisites
Differential and integral calculus for real functions of a single real variable. Even if it is not formally required, it is necessary to know and to be able to handle the contents of Mathematics I in order to be able to follow the course profitably.
Teaching form
Lessons (delivered in Italian), 6 ECTS (48 hours)
Exercise classes, 2 ECTS (20 hours)
Textbook and teaching resource
Matematica Generale, A. Guerraggio, Bollati Boringhieri. (Complex numbers and linear algebra)
Analisi Matematica II, M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa, ZANICHELLI. (Differential calculus for functions of several real variables and differential equations)
Esercitazioni di Analisi Matematica 2, M. Bramanti, Esculapio, Bologna. (Exercises)
https://elearning.unimib.it/course/view.php?id=24206
Semester
First semester
Assessment method
The exam is structured in two halves.
1) Practical half (written): It evaluates the knowledge of the course contents and the ability to apply them to problem solving. The student is requested to solve some exercises, usually 6 in 120 minutes. Each exercise gives 5 points unless otherwise specified. To be admitted to the theoretical half it is necessary to obtain a score of at least 16.
2) Theoretical half:
It consists of two parts. The first part consists of 4 open questions (written). The second part consists of an oral discussion of the first part and on all the topics covered in the course. The ability to clearly present the course topics, the definitions, the statements and some proofs of the theorems are evaluated. To pass the exam, a score of at least 16 must be obtained in each of the two halves, in addition the arithmetic average of the two scores must be at least 18. This average is the final grade given to the exam.
•Two tests are normally held during the teaching period. They replace the practical part if a minimum score of 14 is attained in each test. The tests consist of 10 closed ended questions each with the following score: correct answer 3 points, wrong answer -1 points, no answer 0 points.
Office hours
By appointment
Staff
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Graziano Guerra
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Nicola Turchi