Course Syllabus
Obiettivi formativi
L'obiettivo è fornire le conoscenze propedeutiche di algebra lineare ai corsi Calcolo delle Probabilità e Analisi statistica multivariata.
Conoscenza e comprensione
Questo insegnamento fornirà conoscenze e capacità di comprensione relativamente a:
- Rappresentazione di spazi vettoriali, sistemi di generatori e basi
- Applicazioni lineari e loro relazione con matrici e sistemi lineari
- Proiezioni ortogonali
- Ruolo degli autovalori e autovettori di una matrice
Capacità di applicare conoscenza e comprensione
Alla fine dell'insegnamento gli studenti saranno in grado di:
- Studiare applicazioni lineari mediante la teoria delle matrici e dei sistemi lineari
- Determinare la miglior approssimazione di un elemento di uno spazio vettoriale tra gli elementi di un suo sottospazio
- Applicare la procedura di diagonalizzazione di matrici
L'insegnamento consente allo studente di acquisire solide basi nell'uso della algebra lineare necessarie in qualsiasi contesto lavorativo e che rappresentano una base imprescindibile per il proseguimento del percorso universitario.
Contenuti sintetici
Spazi vettoriali e applicazioni lineari; proiezioni ortogonali; matrici e diagonalizzazione; determinanti; similitudine di matrici.
Programma esteso
Spazi vettoriali su R. Combinazioni lineari ed indipendenza. Sistemi di generatori e basi. Dimensione di uno spazio vettoriale.
Algebra delle matrici. Prodotto tra matrici. Determinante e suo calcolo. Invertibilità di una matrice. Rango di una matrice. Matrici ortogonali e simmetriche.
Applicazioni lineari. Studio di applicazioni lineari mediante matrici e sistemi lineari. Teorema di nullità più rango.
Prodotto scalare standard e diseguaglianza di Cauchy-Schwartz. Norma e diseguaglianza triangolare. Elementi di geometria analitica. Basi ortonormali. Proiezioni ortogonali.
Autovalori e autovettori. Diagonalizzabilità. Forme quadratiche.Teorema spettrale e sue generalizzazioni.
Prerequisiti
Nessun prerequisito formale richiesto.
Metodi didattici
Lezioni frontali classiche, dedicate in parte agli aspetti teorici del corso, e in parte allo svolgimento di esercizi pratici, che consentono allo studente di acquisire un metodo e un'impostazione logica nella risoluzione dei problemi.
Modalità di verifica dell'apprendimento
L'esame consiste in una prova informatizzata più una eventuale prova orale. La prova d'esame consiste sia di esercizi simili a quelli visti a esercitazioni, sia di quesiti a contenuto più teorico. La prova è informatizzata, ma la risposta ad alcune tipologie di domande/esercizi può essere richiesta anche su carta. La durata della prova è di 2 ore e durante non è consentito l'utilizzo di libri di testo o appunti e dispense. L'uso di calcolatrici non è consentito.
La prova orale non è obbligatoria per tutti.
- Gli studenti che ottengano nella prova scritta una votazione di 16 o meno dovranno tornare ad un appello successivo.
- La prova orale è obbligatoria per coloro che ottengano nella prova scritta una votazione compresa tra 17 e 19 (estremi inclusi).
- La prova orale è facoltativa per chi ottenga un voto nella prova scritta maggiore o uguale a 26: questi studenti possono scegliere se accettare una votazione di 26 oppure sostenere una prova orale al fine di ottenere una votazione maggiore (fermo restando che la prova orale, se insoddisfacente, può portare ad un abbassamento della votazione finale o ad una insufficienza). In pratica se uno studente ottiene 28 nella prova scritta può decidere di verbalizzare il voto senza sostenere la prova orale: in tal caso verrà registrato il voto 26. Altrimenti, lo studente può decidere di sostenere una prova orale: a seconda dell'andamento della prova orale il voto 28 può essere abbassato (fino ad una eventuale insufficienza), confermato, o alzato.
- Per chi prenda almeno 17 nella prova scritta: la prova orale deve essere sostenuta in tutti quei casi che venga richiesta o dal docente o dallo studente (che intenda migliorare il voto dello scritto). Ad esempio, uno studente prende 24 nella prova scritta e potrebbe quindi saltare la prova orale, ma decide di farla per migliorare il proprio voto.
- La prova orale, ove prevista, va sostenuta nello stesso appello della prova scritta. In ogni caso l’esame finisce nell’appello in cui venga svolta la prova scritta.
Durante il periodo del corso sara' possibile gli studenti potranno fare pratica sul sistema informatizzato da casa propria e, nel caso che svolgano tutti gli esercizi nel periodo previsto, potranno accumulare fino a 2 punti di bonus. Questo bonus si aggiungera' al voto dell'esame scritto, permettendo agli studenti di avere un voto migliorato nello scritto.
Testi di riferimento
- Schlesinger E., Algebra Lineare e Geometria, Zanichelli, 2017 (seconda edizione)
- Fioresi R.,Morigi M., Introduzione all'Algebra Lineare, Casa Editrice Ambrosiana, 2021 (seconda edizione)
- Appunti delle lezioni disponibili sul sito di elearning del corso.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
II semestre, III e IV ciclo (periodo approssimativo da marzo a giugno).
Lingua di insegnamento
Italiano.
Sustainable Development Goals
Learning objectives
This course aims to provide the foundations of linear algebra that will form the basis of the courses of Probability and Multivariate Statistical Analysis.
Knowledge and understanding
This course will provide knowledge and understanding in relation to:
- Representation of vector spaces and systems of generators and bases
- Linear applications and their relationship with matrices and linear systems
- Orthogonal projections
- Role of eigenvalues and eigenvectors of a matrix
Ability to apply knowledge and understanding
At the end of the course the students will be able to:
- Study linear applications through the theory of matrices and linear systems
- Determine the best approximation of an element of a vector space among the elements of a subspace
- Apply the procedure of diagonalization of matrices
The course allows the student to acquire a solid foundation in the use of linear algebra necessary in any work context and representing an essential basis for the continuation of the university studies.
Contents
Vector spaces and linear maps; orthogonal projections; matrices and diagonalization procedure; determinants; similarity of matrices.
Detailed program
Vector spaces on R. Linear combinations and independence. Systems of generators and bases. Dimension of a vector space.
Algebra of matrices. Product between matrices. Determinant and its computation. Invertible matrices. Rank of a matrix. Orthogonal and symmetric matrices.
Linear maps. Study of linear maps by matrices and linear systems. Rank plus nullity Theorem.
Standard scalar product and Cauchy-Schwartz inequality. Norm and triangular inequality. Elements of analytic geometry. Orthonormal bases. Orthogonal projections.
Eigenvalues and eigenvectors. Diagonalization procedure. Quadratic forms. Spectral Theorem and its extensions.
Prerequisites
No prerequisites are required.
Teaching methods
Classic frontal lessons, partly devoted to the theoretical aspects of the course, and partly to the resolution of practical exercises, which allow the student to acquire a method and a logical approach in solving problems.
Assessment methods
The exam consists of a computerized test plus a possible oral exam. The exam consists of exercises similar to those seen in exercises, and questions with more theoretical content. The test is computerized, but the answer to some types of questions / exercises can also be requested on paper. The duration of the test is 2 hours and during the use of textbooks or notes and handouts is not allowed. The use of calculators is not allowed.
The oral part of the exam is not mandatory for everyone.
-Students whose grade for the written exam is 16 or less will have to take the exam again at a later time.
-The oral part of the exam is mandatory for everyone whose grade for the written exam is either 17, 18 or 19.
-The oral part of the exam is elective for those attaining a grade is greater or equal to 26 in the written exam: such students can choose to either accept a final grade of 26 or take the oral part of the exam to achieve an even better grade (it being understood that if the oral part of the exam is unsatisfactory it can lead to a worsening of the grade and even to a failure of the whole exam). To be clear: a student achieving a 28 in the written part of the exam can choose to register a final grade of 26 (and not take the oral part of the exam) or to take the oral part of the exam: depending on the oral part of the exam the 28 can either be lowered (even to a possible failure of the exam), confirmed or improved.
- To those whose grade for the written part of the test is at least 17: the oral part of the exam must be taken in all cases that either the instructor or the student requests it be taken (if a student wants to improve the grade of the written part of the exam). For example, a student who got 24 in the written test might want to skip the oral part, but also take it to improve the grade.
- The oral part of the exam, when mandated, needs to be taken in the same round (appello) of the written part of the exam. In all cases, the exam ends in the same round of a written part.
During the course of the lectures students will be allowed to practice solving problems on the computerized system from their homes and, in case they work on all the problems during the required time frame, they can gain up to 2 extra points. The bonus points will be added to the grade of the written exam, allowing them to have an improved grade for the written part of the exam.
Textbooks and Reading Materials
- Schlesinger E., Algebra Lineare e Geometria, Zanichelli, 2017 (second edition)
- Fioresi R.,Morigi M., Introduzione all'Algebra Lineare, Casa Editrice Ambrosiana, 2021 (second edition)
- Notes of Lecures available on this platform.
Semester
II semester, III and IV cycle (approximately from March to June).
Teaching language
Italian.
