Syllabus del corso
Obiettivi formativi
Il principale obiettivo di questo insegnamento è fornire una preparazione rigorosa sul calcolo differenziale ed integrale in una variabile.
Conoscenza e comprensione
Questo insegnamento fornisce conoscenze e capacità di comprensione relativamente a:
- Linguaggio matematico e metodo di studio per argomenti di carattere matematico
- Natura dei numeri interi e dei numeri reali, definizione e manipolazione di successioni e serie numeriche
- Classi di funzioni reali e loro proprietà
- Natura e proprietà degli integrali e delle funzioni integrali rilevanti in statistica
Capacità di applicare conoscenza e comprensione Alla fine dell'insegnamento e del loro lavoro personale le studentesse / gli studenti saranno in grado di:
- Schematizzare un problema di carattere tecnico o scientifico, affrontandolo anche attraverso la creazione di opportuni esempi, spezzare il problema in passi e individuare eventuali problemi analoghi che possano fornire indicazioni
- Comprendere ed usare il linguaggio matematico presente in libri o articoli di matematica o statistica
- Utilizzare criticamente gli strumenti del calcolo differenziale e del calcolo integrale in una variabile
- Svolgere autonomamente calcoli relativi a serie numeriche, derivate, integrali, funzioni di distribuzione
L'insegnamento consente alle studentesse / agli studenti di acquisire solide basi nell'uso del calcolo differenziale e integrale in una variabile, necessarie in qualsiasi contesto lavorativo, e che rappresentano una base imprescindibile per il proseguimento del percorso universitario.
Contenuti sintetici
Linguaggio comune e linguaggio matematico. Studio di un libro di matematica.
Numeri reali.
Successioni e serie.
Calcolo differenziale in una variabile.
Sviluppi e serie di Taylor.
Integrale di Riemann in una variabile.
Funzioni integrali e funzioni di ripartizione.
Programma esteso
Linguaggio comune e linguaggio matematico. Proposizioni e proprietà, variabili logiche. Il linguaggio degli insiemi. Implicazioni, dimostrazioni e contresempi. Negazioni e dimostrazioni indirette. Sostituzione di una variabile in una formula. Uso degli indici: sommatorie. Lo studio di un libro di Matematica. Definizioni astratte ed esempi. Studio di una dimostrazione: verifica dei passaggi, considerazione di opportuni esempi, applicazione a situazioni analoghe.
Numeri reali. Proprietà metriche ed aritmetiche. Potenze con esponente reale.
Equazioni e disequazioni. Estremo superiore. Limiti di successioni. Successioni monotone. Forme di indecisione. Il numero e. Serie numeriche. La serie geometrica.
Limiti di funzioni e proprietà delle funzioni continue. Funzioni composte e loro limiti.Derivate. Studio del comportamento locale e globale di una funzione. Il teorema del valor medio. Derivate successive. Convessità. Sviluppi e serie di Taylor. La serie esponenziale.
Integrale di Riemann. Teorema fondamentale del Calcolo Integrale. Tecniche di integrazione.
Integrale di Riemann generalizzato: criteri di convergenza. Serie numeriche e integrali generalizzati. La funzione Gamma. Funzioni integrali e loro grafici. Funzioni di ripartizione e loro grafici.
Prerequisiti
- Algebra elementare (disequazioni di II grado e irrazionali, esponenziali e logaritmi)
- Geometria Euclidea elementare
- Geometria Analitica elementare
- Trigonometria (funzioni trigonometriche, equazioni e disequazioni)
- Proprietà elementari dei numeri interi e dei numeri razionali
Metodi didattici
Lezioni frontali in aula.
Modalità di verifica dell'apprendimento
Esame scritto ed esame orale obbligatorio.
Non ci sono prove intermedie.
Un esito inferiore a 15 della prova scritta preclude l'ammissione alla prova orale corrispondente.
La prova scritta consiste di esercizi relativi al programma dell'insegnamento. Alla pagina https://elearning.unimib.it/course/view.php?id=37754 sono reperibili i testi e le soluzioni dettagliate di tutte le prove scritte a partire dal 2006.
Scopo della prova scritta è verificare la capacità di svolgere in forma corretta e completa esercizi di analisi, evidenziando sia la capacità di calcolo sia la capacità di ragionamento e di utilizzo autonomo di strumenti acquisiti seguendo l'insegnamento. Durante la prova scritta è possibile consultare libri o appunti, ma non è consentito utilizzare alcun tipo di calcolatrice. La prova orale permette di capire meglio il livello di comprensione e padronanza della materia acquisite dalle studentesse / dagli studenti. Durante la prova orale, che in parte può consistere in risposte scritte ad alcune domande relative alla teoria, si richiede la conoscenza e la comprensione delle dimostrazioni dei teoremi svolte durante le lezioni, e la capacità di esporre e discutere le definizioni e le tecniche di calcolo introdotte. In relazione all'esito della prova scritta, durante la prova orale può essere richiesto anche lo svolgimento di esercizi.
Testi di riferimento
Libro di testo:
M. Bramanti, C. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 1, Zanichelli, 2008.
Altro materiale utile:
M. Bramanti, G. Travaglini, Matematica. Questione di Metodo, Zanichelli.
M. Bramanti, Precalculus, Progetto Leonardo, Esculapio.
M. Bramanti, Esercizi di Calcolo Infinitesimale e Algebra Lineare, Seconda Edizione, Progetto Leonardo, Esculapio.
M. Boella, Analisi matematica e algebra lineare, vol.1, Pearson.
Appunti, video di tutte le lezioni e centinaia di esercizi svolti saranno disponibili a
https://elearning.unimib.it/course/view.php?id=43528
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre (da settembre a gennaio)
Lingua di insegnamento
Italiano
Learning objectives
This course mainly aims at providing a rigorous introduction to differential and integral calculus for functions of one variable.
Knowledge and understanding This course provides knowledge and understanding of:
- The language of Mathematics and the method of studying math issues
- Nature of integer and real numbers, definition and handling of numerical sequences and series
- Families of functions and their properties
- Nature and properties of integrals which are relevant in Statistics
Ability to apply knowledge and understanding
At the end of the course and of their personal work the students will be able to:
- Schematise a technical or scientific problem, to approach this latter by finding suitable examples, to break the problem into steps, to recognise similar problems which may suggest a solution
- Understand the mathematical language used in math or statistical books or papers
- Use the tools of differential and integral calculus in a critical way
- Carry out by herself/himself calculations related to numerical series, differentiation, integration, and cumulative distribution functions
The course provides a solid background of one dimensional differential and integral calculus, needed in every working environment. Moreover such a background is fully necessary for the completion of statistical studies.
Contents
Mathematical and daily language. Studying a Math book.
Sequences and series.
Differential calculus of one variable. Functions.
Taylor series.
Integral calculus of one variable.
Integral functions and cumulative distribution functions.
Detailed program
Mathematical and daily language. Quantifiers and conjunctions. Structure of a mathematical sentence. The language of sets. Negating a mathematical sentence. Contrapositives and converses. Unknowns in mathematical statements. Indices in sums and in set theoretic operations. Studying a Math book. Definitions and examples. Studying a proof: checking the steps, looking at a few examples, applying the argument to similar problems.
Real numbers: metric and arithmetic properties. Powers with a real exponent. Equations and inequalities. Supremum. Sequences and limits. Monotone sequences. Indeterminate forms. The number "e". Computing some limits. Series. Geometric series.
Limits and continuity of functions. Composition of functions. Differentiation of a function. Using differential calculus to draw the graph of a function. The mean value theorem. Higher order derivatives. Convexity. Taylor expansions and Taylor series. The exponential series.
Riemann integral. The fundamental theorem of Calculus. Improper integrals. Numerical series and improper integrals. The Gamma function. Cumulative distribution functions and their graphs.
Prerequisites
- Algebra: inequalities (I and II degree, irrational, exponential, logarithmic).
- Euclidean Geometry.
- Analytic Geometry.
- Trigonometry (trigonometric functions, equations and inequalities).
- Elementary properties of integer and rational numbers.
Teaching methods
Lessons.
Assessment methods
Written and (compulsory) oral exam.
No midterm exam.
A result of the written exam below grade 15 precludes the admission to the corresponding oral exam.
The written exam consists of Math exercises concerning the content of the course. At https://elearning.unimib.it/course/view.php?id=37754 texts and detailed solutions of all the written exams starting from 2006 are available.
The aim of the written exam is to check the ability to solve Calculus problems in a correct and detailed way, and to show math skills and ability of reasoning and applying the tools provided during the course. The students are allowed to consult books or personal notes during the written exam, but they are not allowed to use calculators. The oral exam gives a definitely better understanding of how the students master the topics of the course. The oral exam consists partly of a written test concerning the theory of the course, checks knowledge and understanding of the proofs of the theorems presented during the course, as well as the ability to introduce and discuss definitions and computational techniques. The solutions of few exercises can be part of the oral exam, depending on the outcome of the written exam.
Textbooks and Reading Materials
Main reference:
M. Bramanti, C. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 1, Zanichelli, 2008.
Useful references:
M. Bramanti, G. Travaglini, Matematica. Questione di Metodo, Zanichelli.
M. Bramanti, Precalculus, Progetto Leonardo, Esculapio.
M. Bramanti, Esercizi di Calcolo Infinitesimale e Algebra Lineare, Seconda Edizione, Progetto Leonardo, Esculapio.
M. Boella, Analisi matematica e algebra lineare, vol.1, Pearson.
Notes, videos of all the lessons and hundreds of solved tasks at
https://elearning.unimib.it/course/view.php?id=43528
Semester
First semester (from September to January).
Teaching language
Italian
Scheda del corso
Staff
-
Giancarlo Travaglini