Course Syllabus
Obiettivi
Fornire un'introduzione alla teoria delle distribuzioni e agli spazi di Sobolev.
I risultati di apprendimento attesi comprendono:
- Conoscenze: la conoscenza e la comprensione delle definizioni e degli enunciati fondamentali, nonché delle strategie di dimostrazione basilari utilizzate nell'analisi moderna; la conoscenza e la comprensione di alcuni esempi chiave in cui si esplica la teoria.
- Capacità: la capacità di riconoscere il ruolo dei concetti e degli strumenti avanzati dell'analisi moderna introdotti (tra cui convoluzione, distribuzioni, spazi di Sobolev) in diversi ambiti della matematica pura e applicata (analisi numerica, fisica matematica, probabilità); la capacità di applicare tale bagaglio concettuale alla costruzione di esempi concreti e alla risoluzione di esercizi; la capacità di esporre, comunicare e argomentare in modo chiaro e preciso sia i contenuti teorici del corso, sia le loro applicazioni a situazioni specifiche, anche inerenti ad altri ambiti.
Contenuti sintetici
Nozioni basilari sugli spazi vettoriali topologici, con particolare riferimento agli spazi di funzioni test e di distribuzioni, studio delle proprietà fondamentali delle distribuzioni e di alcune loro applicazioni, spazi di Sobolev, problemi ellittici del secondo ordine.
Programma esteso
Capitolo 1. Spazi vettoriali topologici
Spazi vettoriali topologici, spazi di Frechet, dualità, limitatezza.
Capitolo 2. Distribuzioni e operazioni con le distribuzioni
Distribuzioni, distribuzioni temperate. Le principali operazioni con le distribuzioni e le distribuzioni temperate: derivazione, convoluzione, pull-back.
Capitolo 3. Applicazioni
Applicazioni alle soluzioni fondamentali di operatori differenziali classici.
Capitolo 4. Spazi di Sobolev
Motivazioni, definizioni e proprietà. Proprietà degli spazi di Sobolev: Wᵏ,ᵖ(Ω) è uno spazio di Banach, approssimazione con funzioni regolari, prodotto e composizione di funzioni in spazi di Sobolev. Spazi di Sobolev in dimensione 1: esistenza di un rappresentante continuo e teorema fondamentale del calcolo per funzioni W¹,ᵖ(a, b). Teorema di Morrey. Disuguaglianza di Sobolev (Teorema di Sobolev-Gagliardo-Nirenberg). Immersioni di Sobolev. Operatore di prolungamento e teorema del prolungamento per il semispazio e per domini limitati regolari. Approssimazione globale con funzioni lisce. Immersioni di Sobolev per domini di estensione. Immersioni per spazi di Sobolev di ordine superiore. Teorema di Rellich-Kondrachov. Esistenza dell’operatore di traccia γ₀ᵖ:W¹,ᵖ(Ω) → Lᵖ(∂Ω) per 1 ≤ p < +∞ e Ω semispazio o dominio limitato regolare. Cenni agli spazi di Sobolev di ordine frazionario, teorema di Gagliardo. Caratterizzazione di W¹,ᵖ₀(Ω) tramite le tracce.
Capitolo 5. Problemi ellittici del secondo ordine
Lemma di Lax-Milgram. Problemi ellittici del secondo ordine: formulazione variazionale, esistenza di soluzioni. Disuguaglianza di Poincaré. Principio di Dirichlet. Problemi ellittici con condizioni al bordo di Neumann: formulazione variazionale e cenni agli spazi H(div,Ω). Disuguaglianza di Poincaré́-Wirtinger. Esistenza di soluzioni per il problema di Neumann sotto condizioni di compatibilità sui dati.
Prerequisiti
Calcolo in più variabili, algebra lineare, fondamenti di spazi di Hilbert e di spazi Lᵖ.
Modalità didattica
Lezioni frontali, con uso di lavagna. Parte delle ore sarà dedicata all'illustrazione dei principali risultati della teoria; la rimanente parte sarà dedicata allo svolgimento di esercizi, in precedenza assegnati, di applicazione della teoria svolta.
Materiale didattico
- Dispense disponibili sulla pagina e-learning del corso.
- A. Bressan. Lecture Notes on Functional Analysis. American Mathematical Society, 2013.
- H. Brezis. Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Springer Science & Business Media, 2010.
- L.C. Evans. Partial differential equations, American Mathematical Society.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
I semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L'esame consiste in una prova scritta, tesa a verificare il livello delle conoscenze e la capacità di applicarle alla risoluzione di esercizi, l’autonomia di analisi e giudizio, nonché le capacità espositive acquisite dallo studente. La prova si articola in due parti: la prima parte contiene domande di carattere teorico (dimostrazioni di parte dei risultati discussi a lezione), mentre la seconda richiede di risolvere esercizi di applicazione della teoria, sovente di tipo simile a quelli illustrati durante le esercitazioni. Le due parti concorrono in egual misura alla determinazione del voto complessivo finale.
Orario di ricevimento
Su appuntamento.
Aims
The aim of the course is to introduce the theory of distributions and Sobolev spaces.
The expected learning outcomes include:
- the knowledge and understanding of the fundamental definitions and statements, as well as of the basic strategies of proof of modern analysis; the knowledge and understanding of some crucial examples in which the theory manifests itself;
- the ability to recognize the role that concepts and techniques from modern analysis introduced in the lectures (such as convolution, distributions, Sobolev spaces) play in various areas of pure and applied mathematics (numerical analysis, mathematical physics, probability); the skill to apply such conceptual background to the construction of concrete examples and to the solution of exercises; the ability to communicate and explain in a clear and precise manner both the theoretical aspects of the course and their applications to specific situations, possibly to different contexts.
Contents
Basics on toppological vector spaces, in particular on spaces of test functions and distributions, fundamental properties of distributions with applications, Sobolev spaces, second order elliptic problems.
Detailed program
Chapter 1. Topological vector spaces
Topological vector spaces, Frechet spaces, duality, boundedness.
Chapter 2. Distributions and operations with distributions
Distributions, tempered distributions. The main operations with distributions: derivation, convolution, pull-back.
Chapter 3. Applications
Applications to fundamental solution of classical differential operators.
Chapter 4. Sobolev spaces
Motivations, definitions and properties. Properties of Sobolev spaces: Wᵏ,ᵖ(Ω) is a Banach space, approximation by smooth functions, product and composition of Sobolev spaces. Sobolev spaces in dimension 1: existence of a continuous representative and fundamental theorem of calculus for W¹,ᵖ(a, b) functions. Morrey Theorem. Sobolev inequality (Sobolev-Gagliardo-Nirenberg Theorem). Sobolev embeddings. Extension operator and Extension Theorem for half-spaces and bounded regular domains. Global approximation by smooth functions. Sobolev embeddings for extension domains. Embeddings for higher order Sobolev spaces. Rellich-Kondrachov Theorem. Existence of the Trace Operator γ₀ᵖ: W¹,ᵖ(Ω) → Lᵖ(∂Ω) with 1≤ p < +∞ and Ω being a half-space or bounded regular domain. Fractional Sobolev spaces and Gagliardo Theorem (hints). Characterization of W¹,ᵖ₀(Ω) by traces.
Chapter 5. Second order elliptic problems
Lax-Milgram Lemma. Second order elliptic problems: variational formulation, existence of solutions. Poincaré inequality. Dirichlet Principle. Elliptic problems with Neumann boundary conditions: variational formulation and some hints on H(div,Ω) spaces. Poincaré́-Wirtinger inequality. Existence of solutions for the Neumann problem under compatibility conditions
Prerequisites
Calculus in several variables, linear algebra, basics of Hilbert and Lᵖ spaces.
Teaching form
Lectures with blackboard. The teaching hours will be dedicated either to the illustration of main results in the theory, or to the solution of exercises (previously assigned) containing (possibly fine) applications of the theory.
Textbook and teaching resource
- Notes available on the e-learning page of the course.
- A. Bressan. Lecture Notes on Functional Analysis. American Mathematical Society, 2013.
- H. Brezis. Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Springer Science & Business Media, 2010.
- L.C. Evans. Partial differential equations, American Mathematical Society.
Semester
I semester.
Assessment method
The exam consists of a written test, aimed at verifying the level of knowledge, the ability to apply it to the resolution of exercises, the student's independence in making judgements, as well as his/her communication skills. The test is divided into two parts: the first part contains theoretical questions (proofs of part of the results illustrated during the course), while the second part contains exercises, often similar to those solved during the class hours. The two parts will contribute equally to the determination of the final grade.
Office hours
Upon appointment.
Staff
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Veronica Felli
-
Stefano Meda