Course Syllabus
Obiettivi
Lo scopo dell'insegnamento è introdurre lo studente alla teoria delle varietà riemanniane, ossia le varietà differenziali dotate di una metrica riemanniana, che consiste nell’assegnazione di un prodotto scalare euclideo a ogni spazio tangente, che vari in modo liscio con il punto base. Il corso si propone di familiarizzare lo studente con i concetti e le tecniche di base della geometria differenziale, partendo dal concetto fondante di connessione di Levi-Civita come generalizzazione dal contesto ‘piatto’ a quello ‘curvo’ della derivata ordinaria di un campo vettoriale. A partire dalla connessione di Levi Civita, verranno infatti introdotti gli invarianti di curvatura e le geodetiche. Un aspetto che ci si propone di illustrare è l’interazione tra le caratteristiche locali della struttura riemanniana, compendiate dalla curvatura, e la ‘forma globale’ della varietà stessa, ossia le sue caratteristiche topologiche.
I risultati di apprendimento attesi includono:
- Conoscenze: la conoscenza e la comprensione delle definizioni e degli enunciati fondamentali, nonché delle strategie di dimostrazione basilari utilizzate in geometria differenziale; la conoscenza e la comprensione di alcuni esempi chiave in cui si esplica la teoria;
- Capacità: la capacità di applicare le conoscenze astratte acquisite alla risoluzione di esercizi di calcolo e problemi teorici, richiamando in modo corretto e conseguente i risultati utilizzati; la capacità di applicare il bagaglio concettuale appreso alla costruzione e discussione di esempi concreti e alla risoluzione di esercizi; la capacità di esporre, comunicare e argomentare in modo chiaro, pertinente e preciso i contenuti teorici del corso.
Contenuti sintetici
Varietà differenziali, metriche riemanniane, connessioni, invarianti di curvatura, ipersuperfici e gruppi di Lie, sommersioni riemanniane, sottovarietà riemanniane, trasporto parallelo e geodetiche. Alcuni notevoli risultati globali (quali, tempo permettendo, i Teoremi di Gauss, Hopf-Rinow, Hadamard, Bonnet-Myers).
Programma esteso
Brevi cenni preliminari sulle varietà differenziali; metriche riemanniane; Teorema fondamentale e della Geometria Riemanniana connessione di Levi Civita; tensore di curvatura; curvatura sezionale, di Ricci e scalare; classi di esempi: gruppi di Lie, ipersuperfici, metriche a simmetria rotazionale; operatore forma; equazioni di Gauss e Codazzi-Mainardi; Teorema Egregium; Teorema di Hadamard; sommersioni riemanniane, formula di ‘O Neill e Gray, mappa di Hopf; trasporto parallelo lungo una curva; geodetiche, esistenza e unicità; esempi; mappa esponenziale e sue proprietà; coordinate normali; isometrie. Campi vettoriali di Jacobi. Alcuni Teoremi globali (Teoremi di Gauss, Hopf-Rinow, Hadamard, Bonnet-Myers).
Prerequisiti
Le competenze di geometria, analisi e algebra offerte dal percorso comune della laurea triennale in matematica sono, in linea di principio, adeguate per affrontare il corso con profitto; realisticamente, tuttavia, chi non ha acquisito le conoscenze di base sulle varietà differenziali contenute per esempio nel corso di Geometria III del nostro corso di laurea triennale dovrà fare in parallelo del lavoro preliminare in autonomia, perché la discussione dei prerequisiti sarà limitata a un breve richiamo.
Modalità didattica
Lezioni frontali: 8 cfu.
Materiale didattico
Testi di riferimento:
L. Tu, Differential Geometry, Springer
M. Do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhauser
Loring Tu, Differential Geometry, Connections, Curvature, and Characteristic Classes, GTM Springer 2017
Letture consigliate:
M. Do Carmo, Differential forms and applications, Springer Verlag 1996;
P. Petersen, Riemannian Geometry, Springer Verlag 2006
Periodo di erogazione dell'insegnamento
II semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Durante lo svolgimento del corso, verranno offerte due prove in itinere, attinenti alla prima e alla seconda metà del corso, rispettivamente, ciascuna delle quali consisterà in una combinazione flessibile ma bilanciata di esercizi computazionali e domande teoriche, sulla falsariga di quanto viene proposto nelle prove degli appelli regolari (vedasi descrizione qui sotto). Le domande teoriche verteranno su definizioni, enunciati di teoremi, dimostrazioni, costruzione di esempi e controesempi e semplici problemi teorici. Per superare l'esame mediante le prove in itinere, lo studente deve ottenere la sufficienza (18/30) in entrambe. Le due prove in itinere contribuiranno in egual misura alla formazione del voto finale.
Gli studenti che non superano l'esame mediante le prove in itinere potranno sostenere gli appelli regolari. In occasione di ogni sessione d’esame, verranno offerte due prove scritte, attinenti, come le prove in itinere, alla prima metà e alla seconda metà del corso, rispettivamente e strutturate nello stesso modo. Ogni prova scritta consisterà quindi di una combinazione flessibile ma bilanciata di esercizi computazionali e di domande teoriche.
Attraverso gli esercizi computazionali, verrà valutata la capacità dello studente di maneggiare con padronanza e precisione il formalismo introdotto e di utilizzarlo per eseguire semplici calcoli, nonché di mettere all'opera le conoscenze teoriche trasmesse, richiamandole in modo preciso e pertinente.
Attraverso le domande teoriche verranno valutate la conoscenza e la comprensione dell'impianto concettuale del corso, nonché la capacità di organizzare in modo lucido, efficace e ben strutturato un’esposizione coerente e puntuale.
Per superare l'esame negli appelli regolari, lo studente ottenere la sufficienza di 18/30 in ciascuna delle due prove scritte. Non è necessario che le prove vengano superate nel medesimo appello d’esame. E’ altresì consentito superare una delle due prove in corrispondenza di una prova in itinere e un’altra in occasione di un appello regolare.
A ogni esercizio/quesito (o problema) teorico di ciascuna prova verrà attribuito un punteggio parziale massimo, in ragione della sua difficoltà e lunghezza; nella valutazione dello studente verrà assegnato un punteggio in corrispondenza di ogni esercizio/quesito (o problema) teorico non superiore a quello massimo previsto, in ragione dell'esattezza, della completezza, del rigore, della chiarezza e dell'organicità dello svolgimento.
L’esatta suddivisione del corso nelle due parti verrà comunicata durante lo stesso e con ampio anticipo rispetto alle prove.
Orario di ricevimento
Su appuntamento
Sustainable Development Goals
Aims
The aim of the course is to introduce the foundations of the theory of Riemannian manifolds, that is, manifolds endowed with a Riemannian metric, which consists in the assignment to each tangent space of a smoothly varying Euclidean product. The students will familiarize with the most basic concepts and techniques of differential geometry, moving from the foundational concept of Levi-Civita connection. Starting from the latter, the basic local curvature invariants and the notion of geodesic will be introduced. A key aspect which we propose to illustrate is the interplay between local aspects of the Riemannian metric, and the global topological structure of the underlying manifold.
The expected learning outcomes include the following:
- the knowledge and understanding of the basic definitions and statements, as well as of the basic strategies of proof in the theory in differential geometry; the knowledge and understanding of some of the key foundational examples of the theory;
- the ability to apply the acquired abstract knowledge to the solution of simple computational exercises and theoretical problems, referring in a precise and well-organized manner to the pertinent results being used; the ability to apply the theoretical background to the construction and discussion of simple examples and solution of exercises; the ability to expose and communicate effectively and clearly the theoretical content of the course.
Contents
Differentiable manifolds and Riemannian metrics, connections, curvature invariants, hypersurfaces and Lie groups, Riemannian submersions, Riemannian submanifolds, parallel transport and geodesics. Some notable global results, such as, time permitting, the Theorems of Gauss, Hopf-Rinow, Hadamard, Bonnet-Myers.
Detailed program
Brief recalls on differentiable manifolds; Riemannian metrics; the fundamental theorem of Riemannian Geometry and the Levi-Civita connection; the curvature tensor and local curvature invariants; examples: Lie groups, hypersurfaces, metrics with rotational symmetry; shape operator; equations of Gauss and Codazzi-Mainardi; Theorema Egregium; Riemannian submersions and the formula of Gray and ‘O Neill; the Hopf map; parallel transport and geodesics, existence and uniqueness; examples; the exponential map; normal coordinates,; Jacobi vector fields; some global results, such as the Theorems of Gauss, Hopf-Rinow, Hadamard, Bonnet-Myers.
Prerequisites
The content of the courses of the first two years of the Laurea Triennale in Mathematics should in principle be an adequate background. However, those students who do not have the basic notions on differentiable manifolds offered in, say, the course of Geometry III of the same program should expect to do some parallel extra work, since the discussion on prerequisites will be limited to some brief recalls.
Teaching form
Lectures: 8 CFU
Textbook and teaching resource
Main references:
L. Tu, Differential Geometry, Springer
M. Do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhauser
Loring Tu, Differential Geometry, Connections, Curvature, and Characteristic Classes, GTM Springer 2017
Recoomended reading:
M. Do Carmo, Differential forms and applications, Springer Verlag 1996;
P. Petersen, Riemannian Geometry, Springer Verlag 2006
Semester
2nd semester
Assessment method
During the course, two written partial tests will be offered, each referred to one half of the course. Each partial test will consist of a balanced flexible combination of computational exercises and theoretical questions. The exercises and theoretical questions in these tests will be along the lines of those offered in the practical and theoretical tests of the regular exam sessions (see below). The two partial tests will contribute equally to the final grade. To pass the exam through the partial tests, the student needs to pass each of them, thus obtaining a grade of at least 18/30 in both.
Alternatively, students may pass the exam through the regular exam sessions that follow the end of the course, and exactly the same pattern will be offered in every exam session. Thus, each session comprises two written tests, each referred to one half of the course, and consisting of a balanced combination of computational exercises and theoretical questions. The theoretical questions will involve definitions, statements of theorems, proofs, construction of examples and counterexamples, and simple theoretical problems.
The exercises will measure the student's ability to master the acquired formalism and apply it to some simple computations, to build on the acquired theoretical knowledge, and to invoke it in a pertinent and precise manner.
The theoretical questions will evaluate the knowledge and understanding of the conceptual framework of the course, as well as the ability to expose it in a well-organized, consistent and effective manner.
In order to pass the exam in one of the regular sessions, the student needs to obtain a grade of at least 18/30 in each of the two tests, which will contribute equally to the final grade. The two tests needn’t be undertaken in the same session. It is also allowed to pass one the tests during the course and the other in a regular exam session.
To each exercise/theoretical question (or problem) a maximum partial grade will be assigned by the commission, depending on its difficulty and length. In the evaluation, every student will be given a grade in correspondence to each exercise/theoretical question (or problem) up to the maximum one, measuring the exactness, the completeness, the rigour, the clarity and the overall coherence of the development.
The exact subdivision of the course in two parts will be communicated well in advance during its duration.
Office hours
Upon appointment
Sustainable Development Goals
Staff
-
Roberto Paoletti
