Course Syllabus
Obiettivi
Coerentemente con gli obiettivi formativi del Corso di Studio, l'insegnamento si propone di fornire allo studente le conoscenze riguardanti i fondamenti dell'Analisi Funzionale. Verranno altresì fornite le competenze necessarie a comprendere e analizzare le principali tecniche e i metodi dimostrativi connessi alla teoria, e le abilità utili ad applicarle per affrontare problemi in diversi ambiti della Matematica. Particolare enfasi verrà posta sugli aspetti topologici.
Contenuti sintetici
Spazi localmente compatti di Hausdorff. Spazi di funzioni continue. Spazi Lᵖ. Compattezza in C⁰ e in Lᵖ. Topologia deboli e debole* (debole stella). Compattezza nelle topologie deboli. Teoremi di rappresentazione di Riesz.
Programma esteso
Spazi metrici, spazi vettoriali normati, compattezza della palla chiusa e dimensione.
Spazi di funzioni continue. Lemma di Urysohn e cut-offs. Il Teorema di Stone-Weierstrass: densità e separabilità. Compattezza negli spazi di funzioni continue: il Teorema di Ascoli-Arzelà.
Spazi Lᵖ e loro proprietà basilari. Il Teorema di Lusin: densità e separabilità. Compattezza negli spazi Lᵖ : il Teorema di Kolmogorov-Riesz. L'embedding canonico di Frechet-Kuratowski per spazi metrici separabili e non separabili.
Funzionali lineari e topologia debole su uno spazio normato. Funzionali subadditivi positivamente omogenei. Forma generale del Teorema di Hahn-Banach. Convessità e separazione mediante iperpiani. Il Teorema di Mazur: chiusura debole e forte di insiemi convessi.
Topologia debole* (debole stella). Biduale ed embedding di James. Il Teorema di Banach-Alaoglu: compattezza debole* della palla chiusa nel duale.
Spazi riflessivi. Riflessività negli spazi Lᵖ. Uniforme convessità e riflessività. Convergenza forte e debole in spazi uniformemente convessi. I teoremi di Kakutani e di Eberlein-Smulyan: compattezza debole della palla chiusa e riflessività. Compattezza per successioni nella topologia debole*.
Spazi vettoriali topologici localmente convessi: definizione e proprietà elementari. Involucro convesso e punti estremali: il teorema di Krein-Milman.
Misure con segno. Il teorema di Radon-Nikodym. Dualità negli spazi di funzioni continue: il Teorema di Rappresentazione di Riesz.
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Prerequisiti
Elementi di teoria dell’integrazione astratta, elementi di teoria degli spazi Lᵖ, elementi di topologia generale. Conoscenze di base sugli spazi di Banach e sugli spazi di Hilbert.
Modalità didattica
Lezioni frontali dedicate ad introdurre i principali concetti teorici, a presentare nel dettaglio le dimostrazioni dei teoremi, e ad analizzare esempi espliciti. Durante il corso saranno assegnati anche degli esercizi da svolgere in autonomia a casa con lo scopo sia di applicare in casi concreti le nozioni teoriche apprese che di approfondire alcuni aspetti della teoria.
Materiale didattico
Referenze bibliografiche
- H. Brezis. Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Universitext. Springer, New York, 2011
- G.B. Folland. Real analysis. Modern techniques and their applications. A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1999.
- W. Rudin. Real and complex analysis. McGraw-Hill Book Co., New York, third edition, 1987
- T. Bühler and D. A. Salamon. Functional analysis. Graduate Studies in Mathematics, volume 191. AMS, Providence, RI, 2018
Ulteriore materiale
Sulla pagina E-Learning del corso verranno distribuiti i seguenti documenti:
- Alcune note del corso.
- Alcuni articoli di ricerca o di rassegna su parti tematiche del corso.
- Esercizi e problemi.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L'esame è unicamente orale. Esso consiste di un colloquio con valutazione, e si articola in una serie di quesiti atti a verificare la conoscenza e la padronanza da parte dello studente dei teoremi con relative dimostrazioni svolte nel corso.
Nella prova orale viene valutato se lo studente ha acquisito le competenze necessarie a presentare una selezione delle dimostrazioni svolte in aula, e, soprattutto, la conoscenza critica e operativa delle definizioni e dei risultati del corso, mediante l’illustrazione di esempi e controesempi.
Orario di ricevimento
Su appuntamento.
Aims
Consistent with the educational objectives of the Master's Degree in Mathematics, the course aims to provide students with the knowledge concerning the definitions and the basic statements of the Functional Analysis. The skills needed to understand and analyze the main techniques and demonstration methods related to the theory, and the skills to apply them to face problems to different areas of Mathematics will be also provided. Particular emphasis will be placed on topological aspects.
Contents
Locally compact Hausdorff spaces. Spaces of continuous functions. Spaces Lᵖ. Compactness in C⁰ and in Lᵖ. Weak and weak* (weak star) topologies. Compactness in the weak topologies. Riesz representation theorems.
Detailed program
Metric spaces, normed vector spaces, compactness of the closed ball and dimension.
Spaces of continuous functions. Urysohn Lemma and cut-offs. The Stone-Weierstrass theorem: density and separability. Compactness in the spaces of continuous functions: the Ascoli-Arzelà Theorem.
Lᵖ spaces and their basic properties. Density and separability: the Lusin Theorem. Compactness in the Lᵖ spaces: the Kolmogorov-Riesz Theorem. The canonical embedding of Frechet-Kuratowski for separable metric spaces.
Linear functionals and weak topology on a normed space. Sub-additive positively homogenous functionals. The Hahn-Banach theorem: general form. Convexity and hyperplane separation. Mazur Theorem: weak and strong closure of convex sets.
The weak* (weak star) topology. Bi-dual and the James embedding. The Banach-Alaoglu Theorem: weak* compactness of the closed ball in the dual space.
Reflexive spaces. Reflexivity in the Lᵖ spaces. Uniform convexity and reflexivity. Weak and strong convergence in uniformly convex spaces. Kakutani and Eberlein-Smulyan theorems: weak compactness of the closed ball and reflexivity. Sequential compactness in the weak* topology.
Locally convex topological vector spaces. Convex hull and extremal points: the Krein-Milman theorem.
Signed measures. The Radon-Nikodym Theorem. Duality in the spaces of continuous functions: the Riesz Representation Theorem.
Prerequisites
Elements of the theory of abstract integration, elements of Lᵖ space theory , elements of general topology. Basic knowledge of Banach spaces and Hilbert spaces.
Teaching form
Frontal lectures devoted to introduce the main theoretical concepts, to present detailed proofs of the theorems and to analyse explicit examples. Take-home exercises will be assigned in order both to apply the theoretical notions in concrete situations and to elaborate on some aspects of the theory.
Textbook and teaching resource
Bibliographic references
- H. Brezis. Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Universitext. Springer, New York, 2011.
- G.B. Folland. Real analysis. Modern techniques and their applications. A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1999.
- W. Rudin. Real and complex analysis. McGraw-Hill Book Co., New York, third edition, 1987
- T. Bühler and D. A. Salamon. Functional analysis. Volume 191 of Graduate Studies in Mathematics. AMS, Providence, RI, 2018.
Further material
On the E-Learning platform of the teaching will be made available:
- Some lecture notes.
- Some research and review articles on some specific topics of the course.
- Exercises and problems.
Semester
First semester.
Assessment method
The exam is solely oral and consists of a colloquium with assessment. It is divided into a series of questions designed to verify the student's knowledge and mastery of the theorems with related demonstrations carried out during the course.
In the oral exam it is assessed whether the student has acquired the necessary skills to present a selection of the demonstrations carried out in the classroom, and, above all, the critical and operational knowledge of the definitions and results of the course, by illustrating examples and counter-examples.
Office hours
By appointment
Key information
Staff
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Stefano Pigola