Course Syllabus
Obiettivi
Coerentemente con gli obiettivi formativi del Corso di Studio, l'insegnamento si prefigge di introdurre la teoria delle equazioni alle derivate parziali lineari con cenni ad alcune equazioni non lineari. Verranno acquisite le competenze necessarie a comprendere e analizzare le principali tecniche e metodi dimostrativi connessi alla teoria e le abilità utili per la soluzione di esercizi e l'analisi di problemi.
Contenuti sintetici
Teoria spettrale per operatori autoaggiunti e compatti. Equazioni ellittiche: regolarità, principi del massimo, autovalori e autofunzioni del Laplaciano. Equazione del trasporto e caratteristiche. Integrale di Bochner. Equazioni alle derivate parziali di tipo parabolico: soluzione fondamentale dell'equazione del calore, metodo di Galerkin, stime dell'energia e principio del massimo.
Programma esteso
Equazioni ellittiche del secondo ordine: regolarità delle soluzioni deboli, principi del massimo debole e forte.
Teoria spettrale: operatori aggiunti, autoaggiunti, compatti, spettro. Spettro di un operatore compatto. Teorema dell'alternativa di Fredholm. Teorema di decomposizione spettrale per operatori compatti autoaggiunti. Autovalori e autofunzioni del Laplaciano.
Equazione del trasporto: Metodo delle caratteristiche.
Integrale di Bochner: Definizione, principali caratteristiche e spazi di Sobolev definiti tramite l'integrale di Bochner.
Equazioni di tipo parabolico: Soluzione fondamentale dell'equazione del calore e suo utilizzo. Principio di Duhamel. Soluzioni deboli per equazioni paraboliche del secondo ordine. Metodo di Galerkin. Stime dell'energia, esistenza e unicità di soluzioni deboli. Principio del massimo. Rappresentazione delle soluzioni dell'equazione del calore tramite le autofunzioni del laplaciano. Equazioni paraboliche semilineari e metodo del punto fisso di Banach.
Prerequisiti
Spazi di Banach e di Hilbert, spazi Lᵖ, loro duali e rispettive proprietà, spazi di Sobolev e teoremi di immersione.
Modalità didattica
Lezioni frontali in Aula in cui si illustrano definizioni, risultati ed esempi rilevanti (talvolta anche legati ad applicazioni extra-matematiche).
Corso erogato in lingua italiana con possibilità di erogazione in lingua inglese in caso di richiesta/presenza di studenti stranieri.
Materiale didattico
- A. Bressan. Hyperbolic systems of conservation laws: the one-dimensional Cauchy problem. Vol. 20. Oxford University Press on Demand, 2000.
- A. Bressan. Lecture Notes on Functional Analysis. With applications to linear partial differential equations. American Mathematical Society, 2013.
- H. Brezis. Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Springer Science and Business Media, 2010.
- L. C. Evans, Partial Differential Equations, AMS Graduate Studies in Mathematics, Vol.19. Second Edition, Providence 2010.
- D. Gilbarg, N. S. Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order, Reprint of the 1998 edition. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2001.
Pagina del corso: https://elearning.unimib.it/course/view.php?id=44762
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Secondo semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L'esame consiste in una prova scritta e in una sua discussione orale.
La prova scritta consiste in un breve saggio. Verrà richiesto di svolgere due temi su quattro proposti, uno riguardante la prima parte del corso e uno riguardante la seconda, con due ore di tempo a disposizione. L’esposizione dovrà essere precisa, dettagliata, esauriente e coerente con il tema svolto e dovrà contenere alcune tra le dimostrazioni più significative. Verrà valutata la capacità di presentare una selezione di dimostrazioni e, soprattutto, la conoscenza critica e operativa delle definizioni e dei risultati presentati durante il corso, anche mediante l’illustrazione di esempi e controesempi.
La discussione orale si terrà qualche giorno dopo la prova scritta e consisterà in una breve discussione e correzione della prova scritta e verificherà la padronanza degli argomenti riportati nell’elaborato. Non verranno chiesti altri argomenti o dimostrazioni al di fuori dei due temi svolti.
Voto finale in trentesimi.
Orario di ricevimento
Su appuntamento.
Aims
According to the Mathematics Degree educational objectives, the course aim is the introduction to linear partial differential equations with hints to nonlinear ones. The skills needed to understand and analyse the most important techniques in the theory and the ability to solve exercises and problems will be provided.
Contents
Spectral theory for compact and selfadjoint operators. Elliptic equations: regularity, maximum principles, eigenvalues and eigenfunctions of the Laplacian. Transport equation and characteristics. Bochner's integral. Partial differential equations of parabolic type: fundamental solution of the heat equation, Galerkin's method, energy estimates and maximum principle.
Detailed program
Second order elliptic equations: regularity of weak solutions, weak and strong maximum principles.
Spectral theory: adjoint, selfadjoint, compact operators, spectrum. Spectrum of compact operators. Fredholm alternative. Spectral decomposition of selfadjoint compact operators. Eigenvalues and eigenfunctions of the Laplacian.
Transport equation: The method of characteristics.
Bochner integral: Definition, main properties and Sobolev spaces defined with the Bochner integral.
Parabolic equations: Fundamental solution for the heat equation and its application. Duhamel's principle. Weak solutions for second order parabolic equations. Galerkin's method. Energy estimates, existence and uniqueness of weak solutions. Maximum principle. Solution to the heat equation through Laplacian eigenfunctions. The Banach fixed point applied to the study of Semilinear parabolic equations.
Prerequisites
Banach and Hilbert spaces, Lᵖ spaces, their duals and properties, Sobolev spaces and immersion theorems.
Teaching form
Lectures in classroom where definitions, results and relevant examples are illustrated (sometimes with relation to extra-mathematical applications as well).
Course delivered in Italian with the possibility of being delivered in English if foreign students request it.
Textbook and teaching resource
- A. Bressan. Hyperbolic systems of conservation laws: the one-dimensional Cauchy problem. Vol. 20. Oxford University Press on Demand, 2000.
- A. Bressan. Lecture Notes on Functional Analysis. With applications to linear partial differential equations. American Mathematical Society, 2013.
- H. Brezis. Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Springer Science and Business Media, 2010.
- L. C. Evans, Partial Differential Equations, AMS Graduate Studies in Mathematics, Vol.19. Second Edition, Providence 2010.
- D. Gilbarg, N. S. Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order, Reprint of the 1998 edition. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2001.
Course webpage: https://elearning.unimib.it/course/view.php?id=44762
Semester
Second semester.
Assessment method
The exam consists of a written examination and an oral discussion.
The written examination consists in a short essay. The student is asked to develop two topics out of four proposed in two hours. The first chosen topic must be related to the first part of the course and the second topic to the second part. The exposition must be precise, detailed, exhaustive and consistent with the chosen topics and must contains some of the most significant proofs. The ability to present a selection of significant proofs and, above all, the critical and operational knowledge of the definitions and results presented during the course, also by the illustration of examples and counter-examples are evaluated.
The oral discussion is held a few days after the written examination and consists in a short discussion and correction of the short essay. It verifies the mastery of the chosen topics. No other topics or proofs are asked outside of the two chosen topics.
Final grade out of thirty.
Office hours
By appointment.
Staff
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Veronica Felli
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Graziano Guerra