Course Syllabus
Obiettivi
Coerentemente con gli obiettivi formativi del corso di studio, l'insegnamento si propone di fornire agli studenti le conoscenze riguardanti alcuni importanti capitoli di Matematica, sostanzialmente trasversali rispetto alla Teoria dei Numeri, alla Geometria e all'Analisi, con una particolare attenzione agli aspetti didattici e al collegamento con altri campi della Matematica
Ciascun capitolo di questo insegnamento è suddiviso in una
- Parte A: in sostanza il testo di uno o più seminari rivolto/i a studenti della Scuola Superiore, su argomenti eventualmente non trattati nei loro programmi;
e una
- Parte B, che è un lungo approfondimento della Parte A, adeguato al livello di una laurea magistrale in Matematica.
Uno degli obiettivi di questo insegnamento è mostrare agli studenti come preparare lezioni su specifici argomenti innovativi e capire gli ulteriori approfondimenti necessari.
Gli studenti potranno usare parte del materiale come base per Honors courses nell'insegnamento in Scuole Superiori.
Contenuti sintetici
Punti interi. Poliedri. Equazioni Diofantee. Somme di Riemann.
Programma esteso
- Punti interi, poligoni e poliedri, programmazione lineare.
- Paradosso di Simpson, successioni di Farey, approssimazione diofantea.
- Il problema delle monete di Frobenius, partizioni, funzioni generatrici.
- Terne pitagoriche e somme di quadrati, la geometria dei numeri di Minkowski.
- Legge di Benford, distribuzione uniforme di punti, numeri normali.
- Somme di Riemann e integrali.
- Appendice: osservazioni sulla Didattica della Matematica.
Prerequisiti
In Matematica il termine elementare non è sinonimo di semplice. La matematica elementare è piuttosto quella che non richiede particolari prerequisiti. E anche per gran parte dei contenuti di questo insegnamento non ci sono reali prerequisiti: la matematica dei primi due anni della laurea triennale è sufficiente.
Modalità didattica
Lezioni in aula.
Materiale didattico
Saranno forniti appunti dettagliati su tutti gli argomenti trattati.
Ulteriori riferimenti:
M. Beck, S. Robins, Computing the continuous discretely. Integer-point enumeration in polyhedra. Springer (2015).
M. Bramanti, G. Travaglini, Studying Mathematics: The Beauty, the Toil and the Method, Springer (2018).
J. Sally, P. Sally, Roots to research. A vertical development of mathematical problems. Amer. Math. Soc. (2007).
G. Travaglini, Number Theory, Fourier Analysis and Geometric Discrepancy, Cambridge Univ. Press (2014).
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Secondo semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Scopo della verifica di profitto è valutare le conoscenze, competenze, abilità operative acquisite dalla studentessa / dallo studente, in altre parole la sua maturità matematica.
L'esame è orale ed è diviso in due parti.
- La studentessa / lo studente deve tenere un seminario originale su un argomento a scelta (concordato con il docente), legato ad argomenti svolti durante l'insegnamento di Matematica Elementare e comprensibile da studenti del quarto o quinto anno della Scuola Superiore. Saranno valutate l’originalità della presentazione, la chiarezza dell’esposizione e la capacità di suscitare l’interesse degli studenti.
- Una prova orale tradizionale sul programma del corso. La valutazione terrà conto della padronanza del programma del corso e della capacità di muoversi trasversalmente in vari campi della Matematica.
La valutazione finale terrà conto di entrambi i punti precedenti. Il voto è in trentesimi, e l'esame è superato se il voto è almeno 18/30. Non sono previste prove in itinere.
Orario di ricevimento
Su appuntamento.
Sustainable Development Goals
Aims
To introduce several classical and elementary results in Number Theory, Geometry and Analysis. Didactical aspects will be discussed as well as connections with other mathematical fields.
Each chapter of this course consists of
- Part A: the text of one or more conferences to high school students, concerning topics that may not be part of the current high school programs;
and
- Part B: a sequel and a deepening of Part A, at the level of a master degree in Math.
One of the goals of this course is to teach students how to prepare specific talks about innovative topics, possibly non contained in the high school programs, and to realize that they cannot avoid a serious deepening of these topics.
Students will be able to use part of this course for Honors courses in high schools.
Contents
Integer points. Polyhedra. Diophantine equations. Riemann sums.
Detailed program
- Integer points, polygons and polyhedra, linear programming.
- Simpson's paradox, Farey sequences, diophantine approximation.
- Frobenius' coin problem, partition, generating functions.
- Pythagorean triples and sums of squares, Minkowski's geometry of numbers.
- Benford's law, uniform distribution of sequences, normal numbers.
- Riemann sums and integrals.
- Appendix: remarks on Mathematics Education
Prerequisites
"Elementary" does not mean "simple". It means that there are very mild prerequisites. Here the first two years of undergraduate Math are enough.
Teaching form
Lessons.
Textbook and teaching resource
Detailed notes will be provided during the classes.
Further references:
M. Beck, S. Robins, Computing the continuous discretely. Integer-point enumeration in polyhedra. Springer (2015).
M. Bramanti, G. Travaglini, Studying Mathematics: The Beauty, the Toil and the Method, Springer (2018).
J. Sally, P. Sally, Roots to research. A vertical development of mathematical problems. Amer. Math. Soc. (2007).
G. Travaglini, Number Theory, Fourier Analysis and Geometric Discrepancy, Cambridge Univ. Press (2014).
Semester
Second
Assessment method
The student will be requested to understand all the contents of the course.
The exam consists of two parts.
- The student has to hold a seminar on a topic of her/his choice (approved by the teacher). He/she will be evaluated considering her/his mastering of the chosen topic, as well as the teaching skills he/she will exhibit through the seminar.
- An oral exam on the topics of the course. The student needs to master the whole programm and move easily between different parts of Math.
Mark out of thirty, the exam is passed if the evaluation is at least 18/30. No midterm exam.
Office hours
By appointment.
Sustainable Development Goals
Staff
-
Giancarlo Travaglini
