Course Syllabus
Obiettivi
L'insegnamento si propone di fornire una selezione di strumenti, concetti e modelli avanzati del calcolo delle probabilità e dei processi stocastici, dal punto di vista sia teorico che applicativo.
Al termine del corso lo studente avrà acquisito le seguenti:
- conoscenze: una selezione di risultati avanzati del calcolo della probabilità (grandi deviazioni), dei processi stocastici (catene di Markov a tempo continuo) e dei modelli stocastici (grafi aleatori);
- competenze: comprensione operativa del linguaggio probabilistico e di tecniche dimostrative avanzate (ad es. coupling);
- abilità: capacità di applicare le nozioni teoriche per la risoluzione di esercizi e l'analisi di problemi e modelli.
Contenuti sintetici
L'insegnamento si apre con alcuni risultati di grandi deviazioni, teoria che fornisce un quadro che permette di studiare eventi rari su scala esponenziale. Nella seconda parte del corso si approfondiscono le catene di Markov a tempo discreto e si introducono le catene di Markov a tempo continuo, dando particolare importanza al Processo di Posson, l'esempio più importante di processo stocastico a tempo continuo con stati discreti. La terza parte del corso è dedicata ad approfondimenti sulle proprietà delle passeggiate aleatorie, un argomento fondamentale e ricco di spunti. L'ultima parte del corso si occupa della teoria dei grafi aleatori, un argomento di ricerca che sta ricevendo grande attenzione.
Programma esteso
1. Grandi deviazioni
- Il teorema di Cramér
- Entropia relativa e teorema di Sanov
- Il principio di grandi deviazioni
- Il principio di contrazione, il lemma di Varadhan, il Teorema di Gärtner-Ellis
2. Catene di Markov a tempo discreto e continuo
- Richiami (irriducibilità, classificazione degli stati, ...)
- Proprietà di Markov forte
- Misure invarianti e convergenza all'equilibrio
- Semigruppi e generatori su spazi numerabili
3. Processo di Poisson
- Legge degli incrementi
- Proprietà asintotiche
- Paradosso del tempo di attesa
4. Passeggiate aleatorie
a) Passeggiate aleatorie
- Passeggiata aleatoria semplici sugli interi
- Teorema di Polya per passeggiate aleatorie semplici
b) Passeggiate aleatorie in ambiente aleatorio
- Problema di Dirichlet per passeggiate aleatorie su grafi
- Teorema di Solomon per passeggiate aleatorie in ambiente aleatorio sugli interi
*c) Catene di Markov numerabili
- Criteri di Lyapunov per ricorrenza e transienza
- Una dimostrazione alternativa del Teorema di Polya
- Processi di diramazione con migrazione
- Passeggiate aleatorie sollecitate
5. Grafi aleatori
- Introduzione ai grafi aleatori
- Il modello di Erdos-Renyi
- Connettività e componente gigante nel modello di Erdos-Renyi
*potremmo non riuscire a coprire una parte del (o tutto il) materiale di questo argomento, dipende dalla velocità delle lezioni
Prerequisiti
Le conoscenze, competenze e abilità impartite negli insegnamenti di calcolo delle probabilità e processi stocastici (variabili aleatorie, martingale, legge condizionale) oltre che quelle impartite nei corsi di analisi matematica.
Modalità didattica
Lezioni frontali articolate in
- lezioni teoriche, in cui si fornisce la conoscenza di definizioni, risultati, dimostrazioni ed esempi rilevanti;
- lezioni pratiche, in cui si forniscono competenze e abilità necessaire per utilizzare le nozioni teoriche per l'analisi di modelli e la risoluzione di problemi.
Materiale didattico
Testi di riferimento:
- E. Pardoux, Markov processes and applications, Wiley Series in Probability and Statistics (2008)
- F. den Hollander, Large Deviations, Americal Mathematical Society (2008)
- R. van der Hofstad, Random Graphs and Complex Networks, Volume I, Cambridge University Press (2017)
- S. Asmussen, Applied Probability and Queues, Springer (2003)
- Lecture notes of the course "Topics in Random Walks" by Tal Orenshtein in 2019 at TU Berlin
- Q. Berger, F. Caravenna, P. Dai Pra, Probabilità: un primo corso attraverso esempi, modelli e applicazioni (II edizione), Springer (2021)
Altro materiale:
- Appunti delle lezioni
- Altre referenze / dispense fornite dai docenti
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Secondo semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L'esame si articola in due parti: una consegna di esercizi svolti in autonomia, che contribuisce per un sesto al voto finale, e una prova orale, che contribuisce per cinque sesti al voto finale, espresso in trentesimi.
La consegna di esercizi consiste nella risoluzione di alcuni esercizi proposti durante il corso, che lo studente dovrà svolgere in autonomia e consegnare con un anticipo di almeno una settimana rispetto alla prova orale, e ha lo scopo di valutare la continuità dell'apprendimento e le abilità pratiche.
La prova orale consiste in un colloquio della durata indicativa di 30-60 minuti in cui vengono valutate la conoscenza delle definizioni, enunciati ed esempi presentati durante il corso e la competenza e abilità nell'esposizione di una selezione di argomenti con i dettagli delle dimostrazioni.
Ci saranno 5 appelli d'esame (due tra giugno e luglio, uno a settembre, due a febbraio).
Orario di ricevimento
Su appuntamento
Sustainable Development Goals
Aims
To provide a selection among methods, concepts and advanced models of probability theory and stochastic processes, from a theoretical and practical point of view.
At the end of the course, students will have acquired the following:
- knowledge: a selection among advanced results of probability theory (large deviations), stochastic processes (continuous-time Markov chains) and stochastic modeling (random graphs);
- competence: operational understanding of the probability language and advanced proof techniques (e.g. coupling);
- skills: ability to apply theoretical notions to the solution of exercises and the analysis of problems and models.
Contents
The course starts with an introduction to large deviations, a theory that provides tools to investigate the probability of rare events at exponenial scale. In the second part of the course some advanced results for discrete time Markov chains are given, as well as an introduction to the continuous counterpart. In particular, the Poisson process will receive great attention since is the most important example of continuous-time stochastic process having discrete states. In the third part of the course we shall study topics related to random walks, a fundamental and rich object in probability. In the last part of the course we will discuss the theory of random graphs, a research topic that is receiving great attention.
Detailed program
1. Large deviations
- Cramer's Theorem
- Relative entropy and Sanov's Theorem
- Large deviations principle
- Contraction principle, Varadhan's lemma, Gärtner-Ellis Theorem
2. Discrete & Continuous-time Markov chains
- Reminders (irreducibility, classification of states, ...)
- Markov property
- Invariant measures and convergence to equilibrium
- Semigroups and generators on countable spaces
3. Poisson process
- Law of the increments
- Asymptotic properties
- Waiting time paradox
4. Random walks
a) Random walks
- Simple random walk on the integers
- Polya's Theorem for simple random walks on the square lattice
b) Random walks in random environments (RWRE)
- Dirichlet problem for random walks on graphs
- Solomon's theorem for RWRE on the integers
*c) Countable Markov chains
- Lyapunov function criteria for recurrence and transience
- Applications
- Another proof of Polya's Theorem
- Branching processes with migration
- Excited random walks
5. Random graphs
- Introduction to random graphs
- Erdos-Renyi model
- Connectivity and giant component in the Erdos-Renyi model
*we may not cover some (or all the) material in this topic, depending on the speed of classes
Prerequisites
The knowledge, competences and skills taught in classical probability and stochastic processes courses (random variables, martingales, conditional law) as well as those taught in mathematical analysis courses.
Teaching form
Lectures and recitations in the classroom, divided into:
- theoretical lectures, focused on the knowledge of definitions, results and relevant examples;
- practical lectures, focused on the skills necessary to apply the theoretical knowledge and competences to both the analysis of models and the solution of exercises.
Textbook and teaching resource
Reference textbooks:
- Q. Berger, F. Caravenna, P. Dai Pra, Probabilità: un primo corso attraverso esempi, modelli e applicazioni (II edizione), Springer (2021).
- E. Pardoux. Markov Processes and Applications: Algorithms, Networks, Genome and Finance, Wiley (2008).
- T. M. Liggett. Continous time Markox Processes (An Introduction), American Mathematical Society (2010).
- F. den Hollander. Large Deviations, Fields Institute Monographs, vol. 14. AMS (2008).
- R. van der Hofstad. Random Graphs and Complex Networks, Cambridge University Press (2017).
- G. Last, M. Penrose. Lectures on the Poisson Process, Cambridge University Press (2017).
- S. Asmussen, Applied Probability and Queues, Springer (2003).
- R. Durrett. Probability: theory and examples. 5th edition (2019). The book can be downloaded for free from his personal webpage https://services.math.duke.edu/~rtd/.
- R. Lyons and Y. Peres, Probability on Trees and Networks, Cambridge University Press (2016). The book can be downloaded for free from Lyons homepage https://rdlyons.pages.iu.edu/prbtree/book.pdf.
Other material:
- Lecture notes
- Other references / notes by the teacher
Semester
Spring term
Assessment method
The exam consists of two parts*:* individual assignment of exercises contribuiting one sixth to the final grade, and an oral exam contribuiting five sixths to the final grade, which will be converted as a 30 point score.
The individual assignment of exercises consists in the resolution of some exercises proposed during the course, which have to be solved autonomously by the students and due (at least) one week before the oral exam. This examination tests the continuity of learning as well as practical skills.
The oral exam consists in an interview lasting about 30-60 minutes and tests the knowledge of definitions, statements and examples presented during the course, as well as presentation skills related to a selection of topics and detailed proofs.
There will be 5 exam sessions (two between June and July, one in September and two in February).
Office hours
By appointment
Sustainable Development Goals
Staff
-
Tal Orenshtein
-
Maurizia Rossi
