Course Syllabus
Obiettivi
L' insegnamento ha lo scopo di proseguire ed approfondire il percorso in geometria della Laurea Triennale. Non è propedeutico agli altri insegnamenti di Geometria, che possono comunque essere scelti indipendentemente, ma ha la finalità di unificare e collegare le altre tematiche.
La topologia differenziale indaga l’interazione tra la struttura differenziale e le proprietà topologiche delle varietà differenziali. Costituisce una base naturale per affrontare anche tematiche più astratte e generali in Topologia Algebrica. Le tecniche legate all’ambito differenziale forniscono inoltre un approccio concreto ed esplicito alla teoria dell’intersezione.
I risultati di apprendimento attesi comprendono:
Conoscenze: la conoscenza e la comprensione delle definizioni e degli enunciati fondamentali, nonché delle strategie di dimostrazione basilari utilizzate in topologia differenziale; la conoscenza e la comprensione di alcuni esempi chiave in cui si esplica la teoria.
Capacità: la capacità di applicare le tecniche e i concetti sviluppati alla discussione di esempi notevoli e alla soluzione di semplici esercizi, nonché di esporre in modo organico, con limpidezza e precisione, i risultati teorici appresi.
Contenuti sintetici
Trasversalità e teoria dell’intersezione. Teoria di De Rham su varietà differenziali.
Programma esteso
- Applicazioni trasverse ad una sottovarietà liscia, intersezione di varietà trasverse.
- Trasversalità per varietà a bordo.
- Applicazioni: classificazione della varietà lisce di dimensione 1 e Teorema del punto fisso di Brower.
- Teoremi di trasversalità e proprietà di genericità.
- Indice di intersezione modulo 2 e grado di una mappa modulo 2.
- Teoria dell’intersezione per varietà orientate.
- Numeri di intersezione per varietà orientate: teoria del grado.
- Coomologia di de Rahm.
- Dualità di Poincaré su una varietà orientata.
- Classe di Eulero, numero di Eulero e caratteristica di Eulero.
Prerequisiti
Sono presupposti: i contenuti di base dei corsi di Analisi, Geometria e Algebra Lineare del biennio della Laurea Triennale in Matematica; le nozioni di base sulle varietà differenziali e sulle forme differenziali, come introdotte nei corsi di Geometria II e III. Verrà fatto comunque un breve riepilogo quando necessario.
Modalità didattica
L' insegnamento si svolge mediante lezioni frontali alla lavagna.
Materiale didattico
Testi di riferimento:
R. Bott e L. Tu, Differential Forms in Algebraic Topology, Springer-Verlag
V. Guillemin, P. Haine, Differential forms, World Scientific Publishing Co.
V. Guillemin e A. Pollack, Differential Topology, Prentice Hall
J.W. Milnor, Topology from the Differentiable Point of View; University Press of Virginia.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
II semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L'esame consiste di una prova scritta seguita da una discussione orale della prova finalizzate alla valutazione della conoscenza, della comprensione e delle capacità che costituiscono gli obiettivi formativi dell'insegnamento.
La prova scritta si divide in due parti: nella prima vengono proposti quesiti di carattere teorico (definizioni, enunciati e dimostrazioni dei risultati discussi a lezione), nella seconda invece quesiti di applicazione della teoria (risoluzione di esercizi, costruzione di esempi o controesempi). Le due parti concorrono in equal misura alla determinazione del punteggio finale. La valutazione terrà conto dell'esattezza delle risposte, della chiarezza espositiva, della completezza, del rigore e della proprietà del linguaggio matematico utilizzato. L'esame è superato se si ottiene una valutazione di almeno 18/30.
Orario di ricevimento
Su appuntamento.
Sustainable Development Goals
Aims
The scope of this course is the continuation of the study of Geometry along the path started in the Laurea Triennale (Bachelor). While it is not a strict prerequisite to the other courses in Geometry, which can be taken independently, it aims to unify and connect the different themes and perspectives developed in them.
Differential topology studies the interplay between the differential structure and the topological properties of smooth manifolds. Differential topology is thus also a natural starting base to explore more abstract aspects of algebraic topology. These techniques also yield a geometric approach to intersection theory.
The expected learning outcomes include the following:
- the knowledge and understanding of the basic definitions and statements, as well as of the basic strategies of proof in the theory of differential topology; the knowledge and understanding of some of the most relevant basic applications and examples of the theory;
- the ability to apply the acquired abstract knowledge to the construction and discussion of simple examples and solution of exercises; the ability to expose and communicate effectively and clearly the theoretical content of the course.
Contents
Transversality and intersection theory.
De Rham Theory for smooth manifolds.
Detailed program
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Transversal maps, intersection of transversal varieties.
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Transverality for manifolds with boundary.
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Applications: classifications of 1-manifolds and Brower fixed point Theorem.
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Transversality Theorems.
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Intersection numbers mod 2 and degree of a map mod 2.
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Intersection Theory for oriented varieties.
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Intresection number for oriented varieties, degree of a map.
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De Rham cohomology.
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Poincarè duality on orientable manifolds.
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The Euler class and Euler characteristic.
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Transversal maps, intersection of transversal varieties. Applications: classifications of 1-manifolds and Brower fixed point Theorem. Transversality Theorems. Intersection numbers mod 2 and degree of a map mod 2. Intersection Theory for oriented varieties.
Prerequisites
The content of the courses of Analysis I, Linear Algebra and Geometry, Geometry I. The basics on differential varieties and differential forms (as content of Geometry II and Geometry III). Brief recalls will be offered as needed.
Teaching form
Front lessons at the blackboard.
Textbook and teaching resource
Reference texts:
R. Bott e L. Tu, Differential Forms in Algebraic Topology, Springer-Verlag
V. Guillemin, P. Haine, Differential forms, World Scientific Publishing Co.
V. Guillemin e A. Pollack, Differential Topology, Prentice Hall
J.W. Milnor, Topology from the Differentiable Point of View; University Press of Virginia.
Semester
Second semester
Assessment method
The exam comprises a written test, followed by an oral discussion of the test, which will evaluate the knowledge and understanding of the conceptual framework of the course, as well as the ability to expose it in a well-organized, consistent and effective manner. The test consists of two parts: in the first one there are theorethical questions involving definitions, statement's of theorems, proofs, in the second one computational questions as construction of examples and counterexamples and exercises. The two parts will contribute equally to the the final grade. The evaluation will take into account the exactness of the answers, the clarity of the exposition, the completeness, the rigour, and the mathematical language used.
In order to successfully complete the exam the students need to obtained a grade of at least 18/30.
Office hours
Upon appointment.
Sustainable Development Goals
Staff
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Sonia Brivio
