Course Syllabus
Obiettivi formativi
Il corso intende dare allo studente gli strumenti matematici di base per la comprensione di semplici modelli matematici in economia. Nello specifico l'obiettivo del corso è quello di insegnare allo studente l'analisi di funzioni di variabili reali, con cenni al calcolo in due variabili.
Contenuti sintetici
Funzioni reali di variabile reale e cenni alle funzioni reali di due variabili
Programma esteso
UNITA' 1 - Funzioni reali di una variabile reale.
Insiemi N,Z,Q, R. Insieme superiormente/inferiormente limitato; intervalli; estremo superiore/inferiore/massimo/minimo di un insieme.
Definizione di funzione e di successione; calcolo del campo di esistenza; definizione di immagine, insieme immagine, controimmagine, insieme
controimmagine, grafico; uso dell'espressione analitica di una funzione e di una successione. Uso del grafico di una funzione; funzione iniettiva, suriettiva, biettiva; funzioni inferiormente/superiormente limitate; estremo inferiore/superiore di una funzione; minimo/massimo, punto di minimo/massimo di una funzione; funzione pari/dispari; monotonia di una funzione e di una successione. Operazioni con funzioni, composizione, inversione. Trasformazioni semplici di grafici. Traslazioni orizzontali/verticali, riflessioni orizzontali/verticali; riflessioni parziali orizzontali/verticali; riscalamenti. Trasformazioni composte di grafici.
UNITA' 2 - Limiti:
Retta reale estesa e intorni; definizione di punto interno, esterno, di frontiera, isolato, diaccumulazione; definizione di limite di funzioni e successioni; limite destro/sinistro, limite per eccesso/per difetto; lettura di limiti dal grafico. Teorema di unicità del limite
(con dim.), teorema di permanenza del segno (con dim.), teorema del confronto (con dim.). Calcolodi limiti per funzioni e successioni.
Continuità. Algebra in R esteso, forme determinate, limiti di funzioni esponenziali, logaritmiche, arcotangente. Forme indeterminate, tecniche per risolvere alcune forme indeterminate (funzioni razionali/irrazionali). Equivalenza asintotica e proprietà. Ordini di infinito, gerarchie di infiniti.
Funzione trascurabile(o-piccolo). Limiti notevoli e relative equivalenze asintotiche. Forme indeterminate di tipo esponenziale e tecniche
di soluzione. Ordini di infinitesimo, gerarchia degli infinitesimi, o-piccoli. Continuità (da destra/sinistra) e discontinuità. Classificazione delle discontinuità. Riconoscimento delle discontinuità dal grafico e dall'espressione analitica. Asintoti orizzontali, verticali, obliqui. Teorema di Weierstrass con controesempi, teorema dei valor intermedi con controesempi, teorema degli zeri con controesempi.
UNITA' 3 - Derivate:
Rapporto incrementale e derivata di una funzione in un punto; funzione derivata; derivate di funzioni elementari; calcolo di derivate. Equazione della retta tangente; legame continuità-derivabilità, punto di flesso a tangente verticale, di cuspide, angoloso. Regola di de L'Hopital; Teorema di Rolle (con dim.) e controesempi; Teorema di Lagrange (con dim.) e controesempi; derivata della funzione inversa. Test di monotonia (con dim.)e controesempi;
definzione di estremi relativi; punto stazionario; Teorema di Fermat (con dim.); definizione di punto critico; test della derivata prima per estremi interni. Studio della montonia di una successione. Criterio delle derivate successive;test della derivata prima per estremi alla frontiera; definizione di funzione concava/convessa; test del primo ordine per la concavità; test del secondo ordine per la concavità; definizione di punto di flesso.
Polinomi di Taylor e McLaurin; Resto di Peano; uso del polinomio di Taylor per il calcolo di limiti.
UNITA' 4 - Studio completo di funzione e funzioni a due variabili:
Schema generale per lo studio di funzione. Domini analitici e grafici per funzioni reali di due variabili reali; curve di livello; derivate parziali, gradiente, punti stazionari.
Prerequisiti
Teoria degli insiemi. Potenze, logaritmi, esponenziali e loro proprietà.
Disequazioni di primo e secondo grado, disequazioni razionali, disequazioni logaritmiche ed
esponenziali. Equazioni cartesiana della retta, della circonferenza, della parabola, equazione della
retta passante per due punti. Cenni di trigonometria.
Metodi didattici
Lezioni frontali (in presenza se non altrimenti imposto dall'ateneo) articolate in
- lezioni teoriche, in cui si fornisce la conoscenza di definizioni, risultati, dimostrazioni ed esempi rilevanti;
- esercitazioni, in cui si forniscono competenze e abilità necessarie per utilizzare le nozioni teoriche per la risoluzione di esercizi.
Modalità di verifica dell'apprendimento
Esame scritto con 5 esercizi e 3 domande di teoria. Lo schema degli esercizi è il seguente:
Esercizio 1: Trasformazioni di grafici di funzioni elementari;
Esercizio 2: Limiti;
Esercizio 3: Vario;
Esercizio 4: Funzioni a due variabili;
Esercizio 5: Studio completo di funzione.
La prova scritta valuta la correttezza formale dei passaggi, l'adeguatezza del linguaggio matematico adottato, le competenze e le conoscenze acquisite durante il corso.
Una volta superato l'esame scritto, il professore o lo studente possono richiedere un esame orale integrativo. L'orale verte su tutto il programma del corso e può contribuire sia in maniera positiva sia in maniera negativa al voto finale.
Il corso non prevede il frazionamento dell';esame in prove intermedie.
Testi di riferimento
Libri di testo
Torriero, A., Scovenna M., Scaglianti, L.: Manuale di matematica. Metodi e applicazioni. CEDAM
Scovenna, M., Grassi, R.: Matematica – Esercizi e temi d’esame. CEDAM.
Ulteriori testi a cui far eventuale riferimento
Guerraggio, A. (2009): Matematica. Prentice Hall, seconda edizione.
Monti, G., Pini, R.: Lezioni di matematica generale: funzioni reali di variabile reale, L.E.D.
Ulteriore materiale didattico
Appunti del corso e materiale didattico fornito sulla piattaforma di elearning
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre, primo anno.
Lingua di insegnamento
Italiano
Learning objectives
The course aims at giving to the student the basical mathematics tools in order to treat simple mathematical models in economics. In details the aim of the course is to teach to the student real analysis for real functions, with outlines to the calculus in two variables.
Contents
Real functions of real variables and outlines of real functions of two real variables.
Detailed program
UNIT 1 - Real functions of one real variable.
Sets N, Z, Q, R. Sets bounded from above and from belowo; intervals; upper / lower extreme and maximum / minimum of a set.
Definition of function and sequence; calculation of the field of existence; definition of image, image set, reverse image, reverse image set, graph; use of the analytic expression of a function and a sequence. Use of the graph of a function; injective, surjective, bijective functions; functions bopunded from below and from above; lower / upper bound of a function; minimum / maximum, minimum / maximum point of a function; even / odd function; monotonicity of a function and a sequence. Operations with functions, composition, inversion. Simple transformations of graphs. Horizontal / vertical translations, horizontal / vertical reflections; partial horizontal / vertical reflections; rescaling. Composed transformations of graphs.
UNIT 2 - Limits:
Real extended line and neighborhoods; definition of internal, external, border, isolated, accumulation point; definition of limit of functions and sequences; right / left limit, limit by excess/ defect; reading limits from the graph. Uniqueness of the limit theorem(with dim.), sign permanence theorem (with proof), comparison theorem (with proof). Calculation of limits for functions and sequences.
Continuity. Algebra in extended R, determined forms, limits of exponential and logarithmic functions, arctangent. Indeterminate forms, techniques for solving some indeterminate forms (rational / irrational functions). Asymptotic equivalence and properties. Orders of infinity, hierarchies of infinities.
Negligible function (o-small). Remarkable limits and relative asymptotic equivalences. Indeterminate forms of exponential type and techniques
of solution. Orders of infinitesimal, hierarchy of infinitesimal, o-small. Continuity (from right / left) and discontinuity. Classification of discontinuities. Recognition of discontinuities from the graph and from the analytical expression. Horizontal, vertical, oblique asymptotes. Weierstrass theorem with counterexamples, intermediate value theorem with counterexamples, zero theorem with counterexamples.
UNIT 3 - Derivates:
Incremental ratio and derivative of a function at a point; derivative function; derivatives of elementary functions; calculation of derivatives. Equation of the tangent line; continuity-derivability link, point of inflection to vertical tangent, of cusp, angular. Rule of de L'Hopital; Rolle's theorem (with proof) and counterexamples; Lagrange's theorem (with proof) and counterexamples; derivative of the inverse function. Monotony test (with dim.) And counterexamples; definition of relative extremes; stationary point; Fermat's theorem (with proof); definition of critical point; test of the first derivative for internal extremes. Study of the montonicity of a sequence. Criterion of successive derivatives; test of the first derivative for boundary extremes; definition of concave / convex function; first order test for concavity; second order test for concavity; definition of inflection point.
Taylor and McLaurin polynomials; reminder of Peano; use of the Taylor polynomial for the computation of limits.
UNIT 4 -Complete study of a functions and functions of two variables
General scheme for the study of function. Analytic and graphical domains for real functions of two real variables; level curves; partial derivatives, gradient, stationary points.
Prerequisites
Set theory. Powers, logarithms, exponentials and their properties.
First and second degree inequalities, rational inequalities, logarithmic and exponentials inequalities. Cartesian equations of the line, of the circumference, of the parabola, equation of straight line passing through two points. Basics of trigonometry.
Teaching methods
Lectures (in attendance unless otherwise required by the university) divided into:
- theoretical lectures, focused on the knowledge of definitions, results, proofs and relevant examples
- exercise classes, focused on the skills necessary to apply the theoretical knowledge and competencies to the solution of exercises.
Assessment methods
Written exam with 5 exercises and 3 theory questions. The outline of the exercises is as follows:
Exercise 1: Transformations of graphs of elementary functions;
Exercise 2: Limits;
Exercise 3: Various;
Exercise 4: Two-variable functions;
Exercise 5: Full Function Study.
The written test evaluates the formal correctness of the passages, the adequacy of the mathematical language adopted, the skills and knowledge acquired during the course.
Once the written exam has been passed, the professor or student can request a supplementary oral exam. The oral exam focuses on the entire program of the course and can contribute both positively and negatively to the final grade.
The course does not include the splitting of the exam into intermediate tests.
Textbooks and Reading Materials
Textbooks
Torriero, A., Scovenna M., Scaglianti, L.: Manuale di matematica. Metodi e applicazioni. CEDAM
Scovenna, M., Grassi, R.: Matematica – Esercizi e temi d’esame. CEDAM.
Additional texts to which reference may be made
A. Guerraggio, (2014): Matematica. Prentice Hall, second edition.
G. Monti, R. Pini: Lezioni di matematica generale: funzioni reali di variabile reale, L.E.D.
Additional teaching material
Course notes and teaching material provided on the e-learning platform
Semester
First semester, first year
Teaching language
Italian